AKSIAL SYMMETRI: EGENSKAPER, EKSEMPLER OG ØVELSER - MATTE - 2026

Den aksiale symmetrien er når punktene i en figur sammenfaller med punktene til en annen figur med en rett bisektor kalt symmetriakse. Det kalles også radiell, roterende eller sylindrisk symmetri.

Den brukes vanligvis i geometriske figurer, men den er lett observerbar i naturen, siden det er dyr som sommerfugler, skorpioner, marihøner eller mennesker som viser aksial symmetri.

Aksialsymmetri blir vist på dette bildet av Toronto skyline og dets refleksjon i vannet. (Kilde: pixabay)

Hvordan finne aksialsymmetrisk

For å finne den aksiale symmetrien P 'til et punkt P i forhold til en linje (L), utføres følgende geometriske operasjoner:

1.- Vinkelrett på linjen (L) som går gjennom punkt P.

2.- Avskjæringen av de to linjene bestemmer et punkt O.

3.- Lengden på segmentet PO måles, deretter kopieres denne lengden på linjen (PO) fra O i retningen fra P til O, og bestemmer punktet P '.

4.- Punkt P 'er den aksiale symmetriske av punktet P med hensyn til aksen (L), siden linjen (L) er bisektoren til segmentet PP', og er O midtpunktet for nevnte segment.

Figur 1. To punkter P og P 'er aksialt symmetriske til en akse (L) hvis aksen er en halvdel av segmentet PP'

Egenskaper ved aksial symmetri

- Aksialsymmetri er isometrisk, det vil si avstandene til en geometrisk figur og tilhørende symmetri er bevart.

- Målingen på en vinkel og dens symmetriske er like.

- Den aksiale symmetrien til et punkt på symmetriaksen er selve punktet.

- Den symmetriske linjen på en linje parallelt med symmetriaksen er også en linje parallell med nevnte akse.

- En sekantlinje til symmetriaksen har som symmetrisk linje en annen sekantlinje som igjen skjærer symmetriaksen på samme punkt på den opprinnelige linjen.

- Det symmetriske bildet av en linje er en annen linje som danner en vinkel med symmetriaksen av samme mål som den for den opprinnelige linjen.

- Det symmetriske bildet av en linje vinkelrett på symmetriaksen er en annen linje som overlapper den første.

- En linje og dens aksiale symmetriske linje danner en vinkel hvis halvering er symmetriaksen.

Figur 2. Aksialsymmetri bevarer avstander og vinkler.

Eksempler på aksial symmetri

Naturen viser mange eksempler på aksial symmetri. For eksempel kan du se symmetrien i ansikter, insekter som sommerfugler, refleksjonen på rolige vannflater og speil eller bladene fra planter, blant mange andre.

Figur 3. Denne sommerfuglen viser nær perfekt aksial symmetri. (Kilde: pixabay)

Figur 4. Ansiktet til jenta har aksial symmetri. (Kilde: pixabay)

Axiale symmetriøvelser

Oppgave 1

Vi har trekanten av toppunktene A, B og C hvis kartesiske koordinater er henholdsvis A = (2, 5), B = (1, 1) og C = (3,3). Finn de kartesiske koordinatene til trekanten symmetrisk om Y-aksen (ordinatakse).

Løsning: Hvis et punkt P har koordinater (x, y), er det symmetrisk om ordinataksen (Y-aksen) P '= (- x, y). Med andre ord, verdien av abscissen endrer tegn, mens verdien på ordinaten forblir den samme.

I dette tilfellet vil den symmetriske trekanten med toppunktene A ', B' og C 'ha koordinater:

A '= (- 2, 5); B '= (- 1, 1) og C' = (- 3, 3) som det fremgår av figur 6.

Figur 6. Hvis et punkt har koordinater (x, y), vil dets symmetriske med hensyn til Y-aksen (ordinataksen) ha koordinater (-x, y).

Oppgave 2

Med henvisning til trekant ABC og dens symmetriske A'B'C fra oppgave 1, sjekk at de tilsvarende sidene av den originale trekanten og dens symmetriske har samme lengde.

Løsning: For å finne avstanden eller lengden på sidene bruker vi den euklidiske avstandsformelen:

d (A, B) = √ ((Bx - Ax) ^ 2 + (By - Ay) ^ 2) = √ ((1-2) ^ 2 + (1-5) ^ 2) = √ ((- 1 ) ^ 2 + (-4) ^ 2) = √ (17) = 4.123

Lengden på den tilsvarende symmetriske siden A'B er beregnet nedenfor:

d (A ', B') = √ ((Bx'-Ax ') ^ 2 + (By'-Ay') ^ 2) = √ ((- 1 + 2) ^ 2 + (1-5) ^ 2 ) = √ ((1) ^ 2 + (-4) ^ 2) = √ (17) = 4.123

På denne måten blir det verifisert at aksial symmetri bevarer avstanden mellom to punkter. Prosedyren kan gjentas for de to andre sidene av trekanten og dens symmetriske for å kontrollere invariansen i lengden. For eksempel -AC- = -A'C'- = √5 = 2,236.

Oppgave 3

I forhold til trekant ABC og dens symmetriske A'B'C fra oppgave 1, sjekk at de tilsvarende vinklene til den originale trekanten og dens symmetriske har samme vinkelmål.

Løsning: For å bestemme målene for vinklene BAC og B'A'C ', vil vi først beregne skalarproduktet til vektorene AB med AC og deretter det skalare produktet av A'B' med A'C ' .

Husker at:

A = (2, 5), B = (1, 1) og C = (3,3)

A '= (- 2, 5); B '= (- 1, 1) og C' = (- 3, 3).

Det har:

AB = <1-2, 1-5> og AC = <3-2, 3-5>

på samme måte

A'B ' = <-1 + 2, 1-5> og AC = <-3 + 2, 3-5>

Da blir følgende skalareprodukter funnet:

AB⋅AC = <-1, -4> ⋅ <1, -2> = -1⋅1 + (-4) ⋅ (-2) = -1 + 8 = 7

på samme måte

A'B'⋅A'C ' = <1, -4> ⋅ <-1, -2> = 1⋅ (-1) + (-4) ⋅ (-2) = -1 + 8 = 7

Målet på vinkelen BAC er:

∡BAC = ArcCos ( AB⋅AC / (- AB- ⋅- AC- )) =

ArcCos (7 / (4 123-22236)) = 40,6º

Tilsvarende er målet for vinkelen B'A'C:

∡B'A'C '= ArcCos ( A'B'⋅A'C' / (- A'B'- ⋅- A'C'- )) =

ArcCos (7 / (4 123-22236)) = 40,6º

Å konkludere med at aksial symmetri bevarer målene på vinklene.

Oppgave 4

La et punkt P være av koordinater (a, b). Finn koordinatene til dens aksiale symmetri P 'med hensyn til linjen y = x.

Løsning: Vi kaller (a ', b') koordinatene til det symmetriske punktet P 'med hensyn til linjen y = x. Midtpunktet M i segmentet PP 'har koordinater ((a + a') / 2, (b + b ') / 2) og er også på linjen y = x, så følgende likhet gjelder:

a + a '= b + b'

På den annen side har segmentet PP 'helning -1 fordi det er vinkelrett på linjen y = x med skråning 1, slik at følgende likhet gjelder:

b - b '= a' -a

Løsning for de to foregående likhetene a 'og b' konkluderes med at:

a '= av den b' = a.

Det vil si gitt et punkt P (a, b), er dens aksiale symmetri med hensyn til linjen y = x P '(b, a).

referanser

1. Arce M., Blázquez S og andre. Transformasjoner av flyet. Gjenopprettet fra: educutmxli.files.wordpress.com
2. Beregning cc. Aksial symmetri. Gjenopprettet fra: calculo.cc
3. Superprof. Aksial symmetri. Gjenopprettet fra: superprof.es
4. wikipedia. Aksial symmetri. Gjenopprettet fra: es.wikipedia.com
5. wikipedia. Sirkulær symmetri. Gjenopprettet fra: en.wikipedia.com