SENTRAL SYMMETRI: EGENSKAPER, EKSEMPLER OG ØVELSER - MATTE - 2026

To punkter A og A 'har sentral symmetri med hensyn til et punkt O når segmentet AA' passerer gjennom det, og det er også midtpunktet til AA '. Punkt O kalles sentrum for symmetri.

Den sentrale symmetriske av en trekant ABC i forhold til et punkt O, er en annen trekant A'B'C som har følgende egenskaper:

-Homologiske segmenter har samme lengde

-De tilsvarende vinkler har samme mål.

Figur 1. Trekant ABC og dets symmetriske A'B'C. Kilde: F. Zapata.

Figur 1 viser en trekant ABC (rød) og dens sentrale symmetri A'B'C '(grønn), med hensyn til sentrum av symmetri O.

I denne samme figuren ville en oppmerksom observatør innse at samme resultat oppnås ved å bruke en rotasjon av den opprinnelige trekanten, så lenge den er 180º og er sentrert ved O.

Derfor tilsvarer en sentral symmetri en 180º sving i forhold til symmetriens sentrum.

Egenskaper ved sentral symmetri

En sentral symmetri har følgende egenskaper:

-Symmetriens sentrum er midtpunktet i segmentet som blir et punkt med symmetrien.

-Et symmetrisk punkt for en annen som er lokalisert i sentrum av symmetri, sammenfaller med symmetriens sentrum.

-Den sentrale symmetriske av en trekant er en kongruent trekant (lik) som originalen.

-Bildet ved sentral symmetri av en sirkel er en annen sirkel med lik radius.

-En omkrets har sentral symmetri med hensyn til sitt eget senter.

Figur 2. Design med sentral symmetri. Kilde: Pixabay.

-Ellipsen har sentral symmetri med hensyn til sentrum.

-Et segment har sentral symmetri med tanke på midtpunktet.

-Den liksidige trekanten har ikke sentral symmetri i forhold til sentrum, fordi dens symmetri, selv om den er kongruent med den første, gir en rotert sidesidig trekant.

-Torgene har sentral symmetri med hensyn til sentrum.

-En femkant har ingen sentral symmetri i forhold til sentrum.

-Regulære polygoner har sentral symmetri når de har et jevnt antall sider.

eksempler

Symmetri-kriterier har mange anvendelser innen vitenskap og ingeniørfag. Sentral symmetri er til stede i naturen, for eksempel iskrystaller og spindelvev har denne typen symmetri.

Videre blir mange problemer lett løst når man utnytter eksistensen av sentral symmetri og andre typer symmetri. Derfor er det praktisk å raskt identifisere når det oppstår.

Figur 3. Iskrystaller har sentral symmetri. Kilde: Pixabay.

Eksempel 1

Gitt et punkt P med koordinater (a, b), må vi finne koordinatene til dets symmetriske P 'med hensyn til opprinnelsen O til koordinatene (0, 0).

Den første tingen er å konstruere punktet P ', som det tegnes en linje som går gjennom opprinnelsen O og gjennom punktet P. Ligningen for denne linjen er y = (b / a) x.

La oss nå kalle (a ', b') koordinatene til det symmetriske punktet P '. Punkt P 'må ligge på linjen som går gjennom O og derfor er det sant: b' = (b / a) a '. Videre må avstanden OP være lik OP ', som i analytisk form er skrevet slik:

√ (a ² + b ² ) = √ (a ' ² + b' ² )

Følgende er å erstatte b '= i forrige uttrykk og kvadratere begge sider av likheten for å eliminere kvadratroten: (a ² + b ² ) =

Ved å trekke ut en felles faktor og forenkle, får vi at a ' ² = a ² . Denne ligningen har to reelle løsninger: a '= + a eller a' = -a.

For å få b 'bruker vi igjen b' = (b / a) a '. Hvis den positive løsningen av a 'er erstattet, kommer vi til at b' = b. Og når den negative løsningen erstattes, så er b '= -b.

Den positive løsningen gir for P 'samme punkt P, så det kastes. Den negative løsningen gir definitivt koordinatene til det symmetriske punktet:

P ': (-a, -b)

Eksempel 2

Det kreves å vise at et segment AB og dets sentrale symmetriske A'B har samme lengde.

Fra og med koordinatene til punkt A, som er (Ax, Ay) og de av punkt B: (Bx, By), er lengden på segment AB gitt av:

d (AB) = √ ((Bx - Ax) ² + (By - Ay) ² )

Analogt vil det symmetriske segmentet A'B ha lengden gitt av:

d (A'B ') = √ ((Bx' - Ax ') ² + (av' - Ay ') ² )

Koordinatene til det symmetriske punktet A 'er Ax' = -Ax og Ay '= -Ay. Tilsvarende er de av B 'Bx' = -Bx og By '= -By. Hvis disse koordinatene er erstattet i ligningen for avstanden d (A'B ') har vi:

d (A'B ') = √ ((-Bx + Ax) ² + (-By + Ay) ² ) som tilsvarer:

√ ((Bx - Ax) ² + (By - Ay) ² ) = d (AB)

Dermed blir vist at begge segmentene har samme lengde.

Løste øvelser

- Oppgave 1

Vis analytisk at den sentrale symmetriske O for en sirkel med radius R og sentrum O er den samme originale sirkelen.

Løsning

Ligningen for en sirkel med radius R og sentrum O (0,0) er:

x ² + y ² = R ² (Ligning av omkretsen C)

Hvis på hvert punkt P av omkretsen y av koordinater (x, y) dets symmetriske P 'av koordinater (x', y ') blir funnet, er ligningen for den symmetriske omkretsen:

x ' ² + y' ² = R ² (Ligning av den symmetriske sirkelen C ')

Nå viser vi til resultatet fra eksempel 1, der det konkluderes med at koordinatene til et punkt P ', symmetrisk til P og med koordinater (a, b), er (-a, -b).

Men i denne øvelsen har punkt P koordinater (x, y), så dets symmetriske P 'vil ha koordinater x' = -xe y '= -y. Å erstatte dette i ligningen til den symmetriske sirkelen vi har:

(-x) ² + (Y) ² = R ²

Noe som tilsvarer: x ² + y ² = R ² , og konkluderer med at den sentrale symmetriske av en sirkel i forhold til dens sentrum er selve sirkelen.

- Oppgave 2

Vis i geometrisk form at den sentrale symmetrien bevarer vinklene.

Løsning

Figur 4. Konstruksjon av de symmetriske punktene for øvelse 2. Kilde: F. Zapata.

Det er tre punkter A, B og C på flyet. Dets symmetri A ', B' og C 'er konstruert i forhold til sentrum av symmetri O, som vist i figur 4.

Nå må vi vise at vinkelen ∡ABC = β har samme mål som vinkelen ∡A'B'C '= β'.

Siden C og C 'er symmetriske, er OC = OC'. Tilsvarende OB = OB 'og OA = OA'. På den annen side er vinkelen ∡BOC = ∡B'OC fordi de er motarbeidet av toppunktet.

Derfor er trekantene BOC og B'OC kongruente fordi de har en lik vinkel mellom to like sider.

Siden BOC er kongruent med B'OC ', er vinklene γ og γ' like. Men disse vinklene, i tillegg til å oppfylle γ = γ ', er interne veksler mellom linjene BC og B'C', noe som innebærer at linjen BC er parallell med B'C '.

Tilsvarende er BOA kongruent med B'OA 'hvorfra det følger at α = α'. Men α og α 'er vekslende indre vinkler mellom linjene BA og B'A', hvorfra det konkluderes at linjen BA er parallell med B'A '.

Siden vinkelen ∡ABC = β har sidene parallelt med vinkelen ∡A'B'C '= β', og også begge er akutte, konkluderes det med at:

∡ABC = ∡A'B'C '= β = β'

Beviser på denne måten at den sentrale symmetrien sparer målene på vinklene.

referanser

1. Baldor, JA 1973. Plane and Space Geometry. Mellomamerikansk kultur.
2. Matematiske lover og formler. Vinkelmålsystemer. Gjenopprettet fra: ingemecanica.com.
3. Wentworth, G. Plane Geometry. Gjenopprettet fra: gutenberg.org.
4. Wikipedia. Sentral symmetri. Gjenopprettet fra: es.wikipedia.com
5. Wikipedia. Transportbånd. Gjenopprettet fra: es.wikipedia.com
6. Zapata F. Konjugere indre og ytre vinkler. Gjenopprettet fra: lifeder.com