Den sum teleskopiske er et avdelingskontorer tallserie. Den tar for seg summeringen av elementer fra en begynnelsesverdi til “n” av uttrykk hvis argument adlyder et av følgende mønstre:
(F x - F x + 1 ); (F x + 1 - F x )
Som også:
Kilde: Pixabay.com
De representerer en summering av elementer som når de utvikles, blir utsatt for kanselleringer av motsatte vilkår. Gjør det mulig å definere følgende likhet for teleskopiske summeringer:
Navnet kommer fra forholdet til utseendet til et klassisk teleskop, som kan brettes og brettes ut, noe som særlig endrer dimensjonen. På samme måte kan teleskopiske summeringer, som har uendelig karakter, oppsummeres i det forenklede uttrykket:
F 1 - F n + 1
Demonstrasjon
Når du utvikler summeringen av vilkår, er eliminering av faktorer ganske åpenbar. Hvor for hvert av tilfellene, vil motsatte elementer vises i neste iterasjon.
Det første tilfellet, (F x - F x + 1 ), vil bli tatt som et eksempel , siden prosessen fungerer på en homolog måte for (F x + 1 –F x ).
Å utvikle de tre første verdiene {1, 2, 3} viser trenden med forenkling
X 1 (F 1 - F 1 + 1 ) = F 1 - F 2
X 2 (F 2 - F 2 + 1 ) = F 2 - F 3
X 3 (F 3 - F 3 + 1 ) = F 3 - F 4
Hvor når du uttrykker summen av de beskrevne elementene:
X 1 + X 2 + X 3 = F 1 - F 2 + F 2 - F 3 + F 3 - F 4
Det blir observert at begrepene F 2 og F 3 er beskrevet sammen med motsetningene, noe som gjør deres forenkling uunngåelig. På samme måte skal det bemerkes at betegnelsene F 1 og F- 4 opprettholdes.
Hvis summen ble laget fra x = 1 til x = 3, betyr det at elementet F 4 tilsvarer den generiske betegnelsen F n + 1.
Dermed demonstrerer likhet:
Hvordan løses det?
Hensikten med de teleskopiske sammendragene er å lette arbeidet, slik at det ikke er nødvendig å utvikle et uendelig antall begreper, eller å forenkle noen kjede med tillegg som er for lang.
For sin oppløsning vil det bare være nødvendig å evaluere begrepene F 1 og F n + 1 . Disse enkle erstatningene utgjør det endelige resultatet av summasjonen.
Totaliteten av vilkårene vil ikke komme til uttrykk, bare fordi de er nødvendige for å demonstrere resultatet, men ikke for den normale beregningsprosessen.
Det viktige er å legge merke til konvergensen i nummerserien. Noen ganger vil ikke summasjonsargumentet komme til uttrykk teleskopisk. I disse tilfellene er implementering av alternative faktoreringsmetoder veldig vanlig.
Den karakteristiske faktoriseringsmetoden i teleskopiske tilsetninger er den for enkle fraksjoner. Dette skjer når en original brøk blir dekomponert i en sum av flere brøk, der det teleskopiske mønsteret (F x - F x + 1 ) eller (F x + 1 - F x ) kan observeres .
Nedbryting til enkle brøk
For å verifisere konvergens av numeriske serier er det veldig vanlig å transformere rasjonelle uttrykk med den enkle brøkmetoden. Målet er å modellere plottet i form av en teleskopisk summering.
For eksempel representerer følgende likhet en nedbrytning til enkle brøker:
Når du utvikler nummerserien og bruker de tilsvarende egenskapene, tar uttrykket følgende form:
Hvor den teleskopiske formen blir verdsatt (F x - F x + 1 ).
Prosedyren er ganske intuitiv og består i å finne verdiene til telleren som, uten å bryte likheten, tillater å skille produktene som er i nevneren. Ligningene som oppstår ved bestemmelsen av disse verdiene, heves i henhold til sammenligninger mellom begge sider av likheten.
Denne prosedyren blir observert trinn for trinn i utviklingen av øvelse 2.
Historie
Det er ganske usikkert å kunne definere det historiske øyeblikket de teleskopiske summasjonene ble presentert. Implementeringen begynner imidlertid å bli sett på det syttende århundre, i studiene av numeriske serier utført av Leibniz og Huygens.
Begge matematikerne, som utforsker summasjonene av trekantetall, begynner å merke trender i konvergensen av visse serier med suksessive elementer. Men enda mer interessant er begynnelsen på modelleringen av disse uttrykkene, i elementer som ikke nødvendigvis følger hverandre.
Faktisk har uttrykket som tidligere ble brukt for å referere til enkle brøk:
Det ble introdusert av Huygens og fanget umiddelbart Leibniz oppmerksomhet. Som over tid kunne observere konvergensen til verdien 2. Uten å vite det, implementerte han det teleskopiske summeringsformatet.
Øvelser
Oppgave 1
Definer til hvilket begrep følgende sum konvergerer:
Når man manuelt utvikler summen, blir følgende mønster observert:
(2 3 - 2 4 ) + (2 4 - 2 5 ) + (2 5 - 2 6 ). . . . (2 10 - 2 11 )
Hvor faktorene fra 2 4 til 2 10 tilstede positive og negative deler, noe som gjør deres kansellering tydelig. Da er de eneste faktorene som ikke vil bli forenklet, de første "2 3 " og de siste "2 11 ".
På denne måten oppnås følgende når du implementerer teleskopisk oppsummeringskriterium:
Oppgave 2
Transformer argumentet til en sammenfatning av teleskopisk type og definer seriens konvergens:
Som antydet i uttalelsen, er det første du må gjøre å dekomponere i enkle brøker, for å gjenta argumentasjonen på nytt og uttrykke det på en teleskopisk måte.
Du må finne 2 fraksjoner hvis nevner er henholdsvis "n" og "n + 1", der metoden som brukes nedenfor må få verdiene til telleren som tilfredsstiller likheten.
Vi fortsetter med å definere verdiene til A og B. Først legger du til brøkene.
Da forenkles nevnerne og en lineær ligning etableres.
I neste trinn opereres uttrykket til høyre inntil et mønster som kan sammenlignes med "3" til venstre oppnås.
For å definere ligningene som skal brukes, må resultatene fra begge sider av likheten sammenlignes. Med andre ord, ingen verdier av variabelen n blir observert på venstre side, på denne måten vil A + B måtte være lik null.
A + B = 0; A = -B
På den annen side vil den konstante verdien A måtte være lik den konstante verdien 3.
A = 3
Og dermed.
A = 3 og B = -3
Når tellerverdiene for de enkle brøkene allerede er definert, blir summeringen omarbeidet.
Hvor den generiske formen for teleskopisk summering allerede er oppnådd. Den teleskopiske serien er utviklet.
Hvor når du deler med et veldig stort antall vil resultatet komme nærmere og nærmere null, og observere seriens konvergens til verdien 3.
Denne typen serier kunne ikke løses på noen annen måte, på grunn av det uendelige antall iterasjoner som definerer problemet. Imidlertid rammer denne metoden sammen med mange andre grenen for undersøkelse av numeriske serier, hvis mål er å bestemme konvergensverdiene eller definere divergensen til nevnte serie.
referanser
- Infinitesimal kalkuletime. Manuel Franco, Manuel Franco Nicolás, Francisco Martínez González, Roque Molina Legaz. EDITUM, 1994.
- Integrert kalkulus: sekvenser og serier med funksjoner. Antonio Rivera Figueroa. Grupo Editorial Patria, 21. oktober. 2014.
- Et kurs i kalkulus og reell analyse. Sudhir R. Ghorpade, Balmohan V. Limaye. Springer Science & Business Media, 5. juni. 2006.
- Uendelig serie. Tomlinson Fort. The Clarendon Press, 1930.
- Elementer av teorien om uendelige prosesser. Lloyd Leroy Smail. McGraw-Hill Book Company, Incorporated, 1923.