Den Bayes teorem er en prosedyre som tillater oss å uttrykke den betingede sannsynligheten for en tilfeldig hendelse A gitt B, i form av sannsynlighetsfordelingen av hendelsen A og B siden sannsynlighetsfordelingen for bare A.
Dette teoremet er veldig nyttig, siden vi takket være det kan relatere sannsynligheten for at en hendelse A inntreffer vel vitende om at B skjedde, med sannsynligheten for at det motsatte oppstår, det vil si at B oppstår gitt A.
Bayes teorem var en sølvproposisjon av pastor Thomas Bayes, en engelsk teolog fra 1700-tallet som også var matematiker. Han var forfatter av flere verk innen teologi, men i dag er han kjent for et par matematiske avhandlinger, blant hvilke nevnte Bayes teorem skiller seg ut som hovedresultatet.
Bayes behandlet dette teoremet i et verk med tittelen "Et essay til å løse et problem i doktrinen om sjanser", utgitt i 1763, og som det er utviklet store antall på. studier med applikasjoner innen ulike kunnskapsområder.
Forklaring
For det første, for en bedre forståelse av dette teoremet, er noen grunnleggende forestillinger om sannsynlighetsteori nødvendige, spesielt multiplikasjonsteoremet for betinget sannsynlighet, som sier at
For E og A vilkårlige hendelser i et eksempelrom S.
Og definisjonen av partisjoner, som forteller oss at hvis vi har A 1 , A 2 , …, A n hendelser av et prøveområde S, vil de danne en partisjon av S, hvis A i er gjensidig utelukkende og deres forening er S.
Gitt dette, la B være en annen hendelse. Så vi kan se B som
Hvor A i krysset B er gjensidig eksklusive hendelser.
Og som konsekvens,
Deretter bruker du multiplikasjonsteoremet
På den annen side er den betingede sannsynligheten for Ai gitt B definert av
Ved å erstatte det passende har vi det for alle i
Bruksområder av Bayes teorem
Takket være dette resultatet har forskningsgrupper og forskjellige selskaper klart å forbedre systemer som er basert på kunnskap.
I undersøkelsen av sykdommer kan for eksempel Bayes teorem bidra til å skille sannsynligheten for at en sykdom er funnet i en gruppe mennesker med et gitt kjennetegn, idet de tar som data de globale sykdomsratene og utbredelsen av nevnte egenskaper i både friske og syke mennesker.
På den annen side, i verden av høyteknologier, har det påvirket store selskaper som har utviklet, takket være dette resultatet, "kunnskapsbasert" programvare.
Som et daglig eksempel har vi Microsoft Office-assistenten. Bayes teorem hjelper programvaren med å evaluere problemene som brukeren presenterer og bestemme hvilke råd han skal gi ham og dermed kunne tilby en bedre service i henhold til brukerens vaner.
Spesielt ble denne formelen ignorert inntil nyere tid, dette er hovedsakelig fordi da dette resultatet ble utviklet for 200 år siden, det var lite praktisk bruk for dem. Imidlertid, i vår tid, takket være store teknologiske fremskritt, har forskere funnet måter å implementere dette resultatet på.
Løste øvelser
Oppgave 1
Et mobiltelefonselskap har to maskiner A og B. 54% av produserte mobiltelefoner er laget av maskin A og resten av maskin B. Ikke alle produserte mobiltelefoner er i god stand.
Andelen defekte mobiltelefoner laget av A er 0,2 og av B er 0,5. Hva er sannsynligheten for at en mobiltelefon fra den fabrikken er mangelfull? Hva er sannsynligheten for at når du vet at en mobiltelefon er mangelfull, kommer den fra maskin A?
Løsning
Her har du et eksperiment som gjøres i to deler; i første del skjer hendelsene:
A: celle laget av maskin A.
B: celle laget av maskin B.
Siden maskin A produserer 54% av mobiltelefoner og resten produseres av maskin B, følger det at maskin B produserer 46% av mobiltelefoner. Sannsynlighetene for disse hendelsene er gitt, nemlig:
P (A) = 0,54.
P (B) = 0,46.
Hendelsene i den andre delen av eksperimentet er:
D: defekt mobiltelefon.
E: ikke-defekt mobiltelefon.
Som det fremgår av uttalelsen, er sannsynligheten for disse hendelsene avhengig av resultatet oppnådd i første del:
P (DA) = 0,2.
P (DB) = 0,5.
Ved å bruke disse verdiene kan sannsynlighetene for komplementene til disse hendelsene også bestemmes, det vil si:
P (EA) = 1 - P (DA)
= 1 - 0,2
= 0,8
og
p (EB) = 1 - P (DB)
= 1 - 0,5
= 0,5.
Nå kan hendelse D skrives som følger:
Bruke multiplikasjonsteoremet for resultater av betinget sannsynlighet:
Hvorpå det første spørsmålet blir besvart.
Nå trenger vi bare å beregne P (AD), som Bayes teorem brukes for:
Takket være Bayes teorem kan det anføres at sannsynligheten for at en mobiltelefon ble laget av maskin A, vel vitende om at mobiltelefonen er mangelfull, er 0,319.
Oppgave 2
Tre bokser inneholder svarte og hvite baller. Sammensetningen av hver av dem er som følger: U1 = {3B, 1N}, U2 = {2B, 2N}, U3 = {1B, 3N}.
En av boksene er valgt tilfeldig og en ball blir trukket tilfeldig som viser seg å være hvit. Hva er boksen mest sannsynlig blitt valgt?
Løsning
Ved å bruke U1, U2 og U3, vil vi også representere den valgte ruten.
Disse hendelsene utgjør en partisjon av S og det er bekreftet at P (U1) = P (U2) = P (U3) = 1/3 siden valget av boksen er tilfeldig.
Hvis B = {den trukket ballen er hvit}, vil vi ha P (B-U1) = 3/4, P (B-U2) = 2/4, P (B-U3) = 1/4.
Det vi ønsker å oppnå er sannsynligheten for at ballen er tatt ut av boksen Ui vel vitende om at nevnte ball var hvit, det vil si P (Ui -B), og se hvilken av de tre verdiene som var høyest å vite om hvilken boksen har sannsynligvis vært utvinning av køballen.
Bruke Bayes teorem på den første av boksene:
Og for de to andre:
P (U2-B) = 2/6 og P (U3-B) = 1/6.
Deretter er den første av boksene den med størst sannsynlighet for å ha blitt valgt for ekstraksjon av kulekulen.
referanser
- Kai Lai Chung. Elementær proabilitetsteori med stokastiske prosesser. Springer-Verlag New York Inc
- Kenneth.H. Rosen. Diskret matematikk og dens applikasjoner. SAMCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
- Paul L. Meyer. Sannsynlighet og statistiske anvendelser. SA ALHAMBRA MEXICANA.
- Seymour Lipschutz Ph.D. 2000 løste problemer med diskret matematikk. McGraw-Hill.
- Seymour Lipschutz Ph.D. Teori- og sannsynlighetsproblemer. McGraw-Hill.