Den Bolzano teorem angir at hvis en funksjon er kontinuerlig på hvert punkt av en lukket intervall og er tilfreds med at bildet av "a" og "b" (under funksjonen) har motsatte fortegn, så vil det være minst ett punkt " c "i det åpne intervallet (a, b), på en slik måte at funksjonen evaluert i" c "vil være lik 0.
Dette teoremet ble erklært av filosofen, teologen og matematikeren Bernard Bolzano i 1850. Denne forskeren, født i dagens Tsjekkia, var en av de første matematikerne i historien som ga et formelt bevis på egenskapene til kontinuerlige funksjoner.
Forklaring
Bolzanos teorem er også kjent som mellomverdi-setningen, som hjelper til med å bestemme spesifikke verdier, spesielt nuller, for visse reelle funksjoner for en reell variabel.
I en gitt funksjon fortsetter f (x) - som er at f (a) og f (b) er forbundet med en kurve-, der f (a) er under x-aksen (den er negativ), og f (b) med over x-aksen (det er positivt), eller omvendt, grafisk vil det være et avskjæringspunkt på x-aksen som vil representere en mellomverdi «c», som vil være mellom «a» og «b», og verdien av f (c) vil være lik 0.
Ved grafisk analyse av Bolzanos teorem kan det sees at for hver kontinuerlig funksjon f definert på et intervall, der f (a) * f (b) er mindre enn 0, vil det være minst en rot «c» til den funksjonen i av intervallet (a, b).
Dette teoremet fastslår ikke antall poeng i det åpne intervallet, den sier bare at det er minst 1 poeng.
Demonstrasjon
For å bevise Bolzanos teorem antas det uten tap av generalitet at f (a) <0 og f (b)> 0; Dermed kan det være mange verdier mellom "a" og "b" som f (x) = 0, men bare en trenger å bli vist.
Vi starter med å evaluere f ved midtpunktet (a + b) / 2. Hvis f ((a + b) / 2) = 0, slutter beviset her; Ellers er f ((a + b) / 2) positiv eller negativ.
En av halvdelene av intervallet er valgt, slik at tegnene til funksjonen evaluert i ytterpunktene er forskjellige. Dette nye intervallet blir.
Nå, hvis f evaluert i midtpunktet av ikke er null, blir den samme operasjonen som før utført; det vil si at halvparten av dette intervallet er valgt som oppfyller skiltenes tilstand. La dette være det nye intervallet.
Hvis du fortsetter med denne prosessen, vil du ha to sekvenser {an} og {bn}, slik at:
{an} øker og {bn} synker:
a ≤ a1 ≤ a2 ≤… ≤ an ≤…. ≤ …. ≤ bn ≤…. ≤ b2 ≤ b1 ≤ b.
Hvis du beregner lengden på hvert intervall, må du:
b1-a1 = (ba) / 2.
b2-a2 = (ba) / 2².
….
bn-an = (ba) / 2 ^ n.
Derfor er grensen når n nærmer seg uendelig (bn-an) lik 0.
Ved å bruke at {an} øker og begrenses og {bn} avtar og begrenses, har vi at det eksisterer en verdi «c» slik at:
a ≤ a1 ≤ a2 ≤… ≤ an ≤… .≤ c ≤…. ≤ bn ≤…. ≤ b2 ≤ b1 ≤ b.
Grensen for en er "c" og grensen for {bn} er også "c". Derfor gitt en hvilken som helst δ> 0, er det alltid et "n" slik at intervallet blir inneholdt i intervallet (c-δ, c + δ).
Nå må det vises at f (c) = 0.
Hvis f (c)> 0, så siden f er kontinuerlig, eksisterer det en ε> 0 slik at f er positiv over hele intervallet (c - ε, c + ε). Som nevnt ovenfor, er det imidlertid en verdi "n" slik at f endringer logger seg på og dessuten er inneholdt i (c - ε, c + ε), som er en selvmotsigelse.
Hvis f (c) <0, eksisterer det en ε> 0 slik at f er negativ gjennom hele intervallet (c - ε, c + ε), siden f er kontinuerlig; men det finnes en verdi "n" slik at f endrer pålogging. Det viser seg at det er inneholdt i (c - ε, c + ε), som også er en selvmotsigelse.
Derfor er f (c) = 0, og det er dette vi ønsket å bevise.
Hva er den til?
Fra sin grafiske tolkning brukes Bolzanos teorem for å finne røtter eller nuller i en kontinuerlig funksjon, gjennom halvering (tilnærming), som er en inkrementell søkemetode som alltid deler intervallene med 2.
Deretter tas et intervall eller hvor tegnendringen skjer, og prosessen gjentas til intervallet blir mindre og mindre, for å kunne nærme seg ønsket verdi; det vil si til verdien som funksjonen lager 0.
Sammendrag: For å anvende Bolzanos teorem og dermed finne røttene, begrense nullene til en funksjon eller gi en løsning på en ligning, utføres følgende trinn:
- Det blir bekreftet om f er en kontinuerlig funksjon på intervallet.
- Hvis intervallet ikke er gitt, må man finne hvor funksjonen er kontinuerlig.
- Det blir verifisert om ytterpunktene i intervallet gir motsatte tegn når de vurderes i f.
- Hvis det ikke oppnås motsatte tegn, må intervallet deles i to delintervaller ved bruk av midtpunktet.
- Evaluer funksjonen i midtpunktet og kontroller at Bolzano-hypotesen er tilfreds, der f (a) * f (b) <0.
- Avhengig av tegnet (positiv eller negativ) for funnet verdi, gjentas prosessen med et nytt delintervall til den nevnte hypotesen er oppfylt.
Løste øvelser
Oppgave 1
Bestem om funksjonen f (x) = x 2 - 2, har minst en reell løsning i intervallet.
Løsning
Vi har funksjonen f (x) = x 2 - 2. Siden den er polynom, betyr det at den er kontinuerlig i et hvilket som helst intervall.
Det blir bedt om å avgjøre om det har en reell løsning i intervallet, så nå er det bare nødvendig å erstatte endene av intervallet i funksjonen for å kjenne tegnet til disse og vite om de oppfyller betingelsen om å være forskjellige:
f (x) = x 2 - 2
f (1) = 1 2 - 2 = -1 (negativ)
f (2) = 2 2 - 2 = 2 (positive)
Derfor, tegn på f (1) ≠ tegn f (2).
Dette sikrer at det er minst ett punkt "c" som hører til intervallet, der f (c) = 0.
I dette tilfellet kan verdien av "c" enkelt beregnes som følger:
x 2 - 2 = 0
x = ± √2.
Dermed hører √2 ≈ 1,4 til intervallet og oppfyller at f (√2) = 0.
Oppgave 2
Vis at ligningen x 5 + x + 1 = 0 har minst en reell løsning.
Løsning
La oss først merke til at f (x) = x 5 + x + 1 er en polynomfunksjon, som betyr at den er kontinuerlig på alle reelle tall.
I dette tilfellet er det ikke gitt noe intervall, så verdier må velges intuitivt, helst nær 0, for å evaluere funksjonen og finne tegnendringene:
Hvis du bruker intervallet må du:
f (x) = x 5 + x + 1.
f (0) = 0 5 + 0 + 1 = 1> 0.
f (1) = 1 5 + 1 + 1 = 3> 0.
Siden det ikke er noen tegnendring, gjentas prosessen med et nytt intervall.
Hvis du bruker intervallet må du:
f (x) = x 5 + x + 1.
f (-1) = (-1) 5 + (-1) + 1 = -1 <0.
f (0) = 0 5 + 0 + 1 = 1> 0.
I dette intervallet er det en tegnendring: tegn på f (-1) ≠ tegn på f (0), noe som betyr at funksjonen f (x) = x 5 + x + 1 har minst en ekte rot «c» i intervallet, slik at f (c) = 0. Med andre ord er det sant at x 5 + x + 1 = 0 har en reell løsning i intervallet.
referanser
- Bronshtein I, SK (1988). Manual of Mathematics for Engineers and Students. . Redaksjonell MIR.
- George, A. (1994). Matematikk og sinn. Oxford University Press.
- Ilín V, PE (1991). Matematisk analyse. I tre bind. .
- Jesús Gómez, FG (2003). Lærere i videregående opplæring. Bind II. GAL.
- Mateos, ML (2013). Grunnleggende egenskaper for analyse i R. Editores, 20. desember.
- Piskunov, N. (1980). Differensial og integrert beregning. .
- Sydsaeter K, HP (2005). Matematikk for økonomisk analyse. Felix Varela.
- William H. Barker, RH (nd). Kontinuerlig symmetri: Fra Euklid til Klein. American Mathematical Soc.