CHEBYSHOVS TEOREM: HVA DET ER, APPLIKASJONER OG EKSEMPLER - MATTE - 2026

Den teorem Chebyshev (Chebyshev eller ulikhet) er en av de mest viktige klassiske resultatene av teorien av sannsynlighet. Det gjør det mulig å estimere sannsynligheten for en hendelse som er beskrevet i form av en tilfeldig variabel X, ved å gi oss en grense som ikke er avhengig av fordelingen av den tilfeldige variabelen, men på variansen til X.

Teoremet er oppkalt etter den russiske matematikeren Pafnuty Chebyshov (også skrevet som Chebychev eller Tchebycheff) som til tross for at han ikke var den første som oppga teorem, var den første som ga et bevis i 1867.

Denne ulikheten, eller de som på grunn av deres egenskaper kalles Chebyshovs ulikhet, brukes hovedsakelig for å tilnærme sannsynligheter ved å beregne høyder.

Hva består den av?

I studien av sannsynlighetsteori forekommer det at hvis fordelingsfunksjonen til en tilfeldig variabel X er kjent, kan dens forventede verdi eller matematiske forventning E (X) - og dens varians Var (X) beregnes, så lenge som slike beløp finnes. Samtalen er imidlertid ikke nødvendigvis sant.

Det vil si at å vite E (X) og Var (X) er det ikke nødvendigvis mulig å oppnå distribusjonsfunksjonen til X, derfor er mengder som P (-X-> k) for noen k> 0 veldig vanskelige å få. Men takket være Chebyshovs ulikhet er det mulig å estimere sannsynligheten for den tilfeldige variabelen.

Chebyshovs teorem forteller oss at hvis vi har en tilfeldig variabel X over et prøveområde S med en sannsynlighetsfunksjon p, og hvis k> 0, så:

Bruksområder og eksempler

Blant de mange bruksområdene til Chebyshovs teorem kan følgende nevnes:

Begrensende sannsynligheter

Dette er den vanligste applikasjonen og brukes til å gi en øvre grense for P (-XE (X) -≥k) hvor k> 0, bare med variansen og forventningen til den tilfeldige variabelen X, uten å vite sannsynlighetsfunksjonen .

Eksempel 1

Anta at antall produkter produsert i et selskap i løpet av en uke er en tilfeldig variabel med gjennomsnittlig 50.

Hvis det er kjent at variansen til en uke med produksjonen er lik 25, hva kan vi si om sannsynligheten for at produksjonen denne uken vil avvike mer enn 10 fra gjennomsnittet?

Løsning

Bruke Chebyshovs ulikhet har vi:

Fra dette kan vi oppnå at sannsynligheten for at i produksjonsuken antall artikler overstiger gjennomsnittet med mer enn 10 er høyst 1/4.

Bevis for begrensningsteoremer

Chebyshovs ulikhet spiller en viktig rolle i å bevise de viktigste grense-setningene. Som et eksempel har vi følgende:

Svak lov av store antall

Denne loven sier at gitt en sekvens X1, X2, …, Xn, … av uavhengige tilfeldige variabler med samme gjennomsnittsfordeling E (Xi) = μ og varians Var (X) = σ ² , og et kjent gjennomsnittlig utvalg av:

Så for k> 0 har vi:

Eller tilsvarende:

Demonstrasjon

La oss først legge merke til følgende:

Siden X1, X2, …, Xn er uavhengige, følger det at:

Derfor er det mulig å oppgi følgende:

Deretter bruker vi Chebyshovs teorem:

Til slutt følger teoremet av at grensen til høyre er null når n nærmer seg uendelig.

Det skal bemerkes at denne testen bare ble gjort for tilfellet der variasjonen av Xi eksisterer; det vil si at den ikke spriker. Dermed observerer vi at teoremet alltid er sant hvis E (Xi) eksisterer.

Chebyshov begrense teorem

Hvis X1, X2, …, Xn, … er en sekvens av uavhengige tilfeldige variabler slik at det finnes noe C <uendelig, slik at Var (Xn) ≤ C for all naturlig n, så for alle k> 0:

Demonstrasjon

Siden varianssekvensen er ensartet avgrenset, har vi den Var (Sn) ≤ C / n, for alle naturlige n. Men vi vet at:

Gjør n tendens til uendelig, følgende resultater:

Siden en sannsynlighet ikke kan overstige verdien av 1, oppnås det ønskede resultatet. Som en konsekvens av dette teoremet, kan vi nevne Bernoullis spesielle tilfelle.

Hvis et eksperiment gjentas n ganger uavhengig med to mulige utfall (fiasko og suksess), der p er sannsynligheten for suksess i hvert eksperiment og X er den tilfeldige variabelen som representerer antall oppnådde suksesser, for hver k> 0 du må:

Prøvestørrelse

Når det gjelder varians, lar Chebyshov-ulikheten oss finne en prøvestørrelse n som er tilstrekkelig for å garantere at sannsynligheten for at -Sn-μ -> = k oppstår er så liten som ønsket, noe som tillater en tilnærming til gjennomsnittet.

La oss X1, X2, … Xn spesifikt være et utvalg av uavhengige tilfeldige variabler av størrelse n og anta at E (Xi) = μ og dens varians σ ² . Da har vi Chebyshov ulikhet:

Eksempel

Anta at X1, X2, … Xn er et utvalg av uavhengige tilfeldige variabler med Bernoulli-fordeling, slik at de tar verdien 1 med sannsynlighet p = 0,5.

Hva må være størrelsen på prøven for å kunne garantere at sannsynligheten for at forskjellen mellom det aritmetiske middelverdi Sn og dens forventede verdi (som overstiger mer enn 0,1), er mindre enn eller lik 0,01?

Løsning

Vi har at E (X) = μ = p = 0.5 og at Var (X) = σ ² = p (1-p) = 0.25. Ved Chebyshovs ulikhet har vi for alle k> 0:

Nå, med k = 0,1 og 5 = 0,01, har vi:

På denne måten konkluderes det med at en prøvestørrelse på minst 2500 er nødvendig for å garantere at sannsynligheten for hendelsen -Sn - 0,5 -> = 0,1 er mindre enn 0,01.

Ulikheter av typen Chebyshov

Det er flere ulikheter knyttet til Chebyshovs ulikhet. En av de mest kjente er Markov-ulikheten:

I dette uttrykket er X en ikke-negativ tilfeldig variabel med k, r> 0.

Markov-ulikheten kan ta forskjellige former. La for eksempel Y være en ikke-negativ tilfeldig variabel (slik at P (Y> = 0) = 1) og antar at E (Y) = μ eksisterer. Anta også at (E (Y)) ^r = μ _r eksisterer for noe heltall r> 1. Så:

En annen ulikhet er Gauss, som forteller oss at gitt en unimodal tilfeldig variabel X med modus på null, så for k> 0,

referanser

1. Kai Lai Chung. Elementær proabilitetsteori med stokastiske prosesser. Springer-Verlag New York Inc
2. Kenneth.H. Rosen. Diskret matematikk og dens applikasjoner. SAMCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
3. Paul L. Meyer. Sannsynlighet og statistiske anvendelser. SA ALHAMBRA MEXICANA.
4. Seymour Lipschutz Ph.D. 2000 løste problemer med diskret matematikk. McGraw-Hill.
5. Seymour Lipschutz Ph.D. Teori- og sannsynlighetsproblemer. McGraw-Hill.