TORRICELLIS TEOREM: HVA DET BESTÅR AV, FORMLER OG ØVELSER - FYSISK - 2026

Den teoremet Torricelli eller prinsipp Torricelli angir at hastigheten av væsken som kommer ut av åpningen i veggen av en tank eller beholder, er identisk med den som erverver en gjenstand slippes fritt fra en høyde lik den flate fri for væske til hullet.

Teoremet er illustrert i følgende figur:

Illustrasjon av Torricellis teorem. Kilde: self made.

På grunn av Torricellis teorem, kan vi da oppgi at væskens utgangshastighet gjennom en åpning som er i høyden h under væskeens frie overflate er gitt med følgende formel:

Hvor g er akselerasjonen av tyngdekraften og h er høyden fra hullet til væskeens frie overflate.

Evangelista Torricelli var en fysiker og matematiker født i byen Faenza, Italia i 1608. Torricelli er kreditert oppfinnelsen av kvikksølvbarometeret og som anerkjennelse er det en trykkenhet kalt "torr", tilsvarende en millimeter kvikksølv (mm Hg).

Bevis for teorem

I Torricellis teorem og i formelen som gir hastigheten, antar den at viskositetstapene er ubetydelige, akkurat som ved fritt fall antas det at friksjonen på grunn av luften rundt det fallende objektet er ubetydelig.

Ovennevnte antakelse er rimelig i de fleste tilfeller og innebærer også bevaring av mekanisk energi.

For å bevise teoremet, vil vi først finne formelen for hastigheten for et objekt som frigjøres med null initialhastighet, fra samme høyde som væskeoverflaten i tanken.

Prinsippet for konservering av energi vil bli brukt for å oppnå hastigheten til den fallende gjenstanden akkurat når den har sunket ned en høyde h lik den fra hullet til den frie overflaten.

Siden det ikke er friksjonstap, er det gyldig å anvende prinsippet om bevaring av mekanisk energi. Anta at den fallende gjenstanden har masse m og høyden h måles fra væskens utgangsnivå.

Fallende objekt

Når gjenstanden frigjøres fra en høyde som tilsvarer den for væskeens frie overflate, er dens energi bare gravitasjonspotensial, siden dens hastighet er null og derfor er dens kinetiske energi null. Den potensielle energien Ep er gitt av:

Ep = mgh

Når den passerer foran hullet, er dens høyde null, da er den potensielle energien null, så den har bare kinetisk energi Ec gitt av:

Ec = ½ mv ²

Siden energien er bevart Ep = Ec fra det som er oppnådd:

½ mv ² = mgh

Løsning for hastigheten v oppnås da Torricelli-formelen:

Væske som kommer ut av hullet

Deretter vil vi finne væskeens utgangshastighet gjennom hullet, for å vise at det faller sammen med det som nettopp ble beregnet for et fritt fallende objekt.

For dette vil vi basere oss på Bernoullis prinsipp, som ikke er mer enn bevaring av energi tilført væsker.

Bernoullis prinsipp er formulert slik:

Tolkningen av denne formelen er som følger:

• Den første termen representerer væskens kinetiske energi per volumenhet
• Det andre representerer arbeidet som er utført av trykk per tverrsnittsareal
• Den tredje representerer gravitasjonspotensialenergien per volumenhet væske.

Når vi tar utgangspunkt i at det er et ideelt fluid under ikke-turbulente forhold med relativt lave hastigheter, er det aktuelt å bekrefte at den mekaniske energien per volumenhet i væsken er konstant i alle dens områder eller tverrsnitt.

I denne formelen V er fluidets hastighet, ρ densiteten av væsken, P trykket og z den vertikale posisjonen.

Figuren nedenfor viser Torricellis formel med utgangspunkt i Bernoullis prinsipp.

Vi bruker Bernoullis formel på den frie overflaten av væsken som vi betegner med (1) og på utgangshullet som vi betegner med (2). Nullhodenivået er valgt i takt med utløpshullet.

Under forutsetningen at tverrsnittet i (1) er mye større enn i (2), kan vi da anta at nedstigningshastigheten til væsken i (1) praktisk talt er ubetydelig.

Av denne grunn V ₁ = 0 er satt , det trykk som væsken utsettes for i (1) er atmosfæretrykk og den Høyde målt fra åpningen blir timer.

For utløpsseksjonen (2) antar vi at utløpshastigheten er v, trykket som væsken utsettes for utløpet også er atmosfæretrykk og utløpshøyden er null.

Verdiene som tilsvarer seksjoner (1) og (2) erstattes i Bernoullis formel og settes like. Likheten holder fordi vi antar at væsken er ideell og det ikke er noen tyktflytende friksjonstap. Når alle begrepene er forenklet, oppnås hastigheten ved utgangshullet.

Boksen ovenfor viser at resultatet som er oppnådd er det samme som for en fritt fallende gjenstand,

Løste øvelser

Oppgave 1

I ) Det lille utløpsrøret til en vanntank er 3 m under vannoverflaten. Beregn utløpshastigheten til vannet.

Løsning:

Følgende figur viser hvordan Torricellis formel brukes i dette tilfellet.

Oppgave 2

II ) Forutsatt at utløpsrøret til tanken fra forrige øvelse har en diameter på 1 cm, beregne vannutløpsstrømmen.

Løsning:

Strømningshastighet er volumet av væske som går ut per tidsenhet, og beregnes ganske enkelt ved å multiplisere arealet av utløpsåpningen med utgangshastigheten.

Følgende figur viser detaljene i beregningen.

Oppgave 3

III ) Bestem hvor høy den frie overflaten av vannet er i en beholder hvis du vet

at i et hull i bunnen av beholderen, kommer vannet ut i 10 m / s.

Løsning:

Selv når hullet er i bunnen av beholderen, kan Torricelli-formelen fortsatt brukes.

Følgende figur viser detaljene i beregningene.

referanser

1. Wikipedia. Torricellis teorem.
2. Hewitt, P. Conceptual Physical Science. Femte utgave .119.
3. Ung, Hugh. 2016. Sears-Zemanskys universitetsfysikk med moderne fysikk. 14. ed. Pearson. 384.