- Kombinatoriske tall
- Demonstrasjon
- eksempler
- Identitet 1
- Identitet 2
- Nok en demonstrasjon
- Induksjonssikker
- kuriositeter
- referanser
Den binomialformelen er en ligning som forteller oss hvordan man skal utvikle et uttrykk av formen (a + b) n for et naturlig tall n. En binomial er ikke noe mer enn summen av to elementer, som (a + b). Det lar oss også vite for et begrep gitt av en k b n-k hva som er den medfølgende koeffisienten.
Dette teoremet tilskrives ofte den engelske oppfinneren, fysikeren og matematikeren Sir Isaac Newton; Imidlertid er det funnet forskjellige poster som indikerer at dens eksistens allerede var kjent i Midtøsten, rundt år 1000.
Kombinatoriske tall
Binomialteoremet forteller oss matematisk følgende:
I dette uttrykket er a og b reelle tall og n er et naturlig tall.
La oss se på noen grunnleggende konsepter som er nødvendige før du gir demoen.
Kombinatorialtallet eller kombinasjonene av n i k uttrykkes som følger:
Denne formen uttrykker verdien av hvor mange undergrupper med k-elementer som kan velges fra et sett med n-elementer. Dets algebraiske uttrykk er gitt av:
La oss se et eksempel: anta at vi har en gruppe på syv baller, hvorav to er røde og resten er blå.
Vi vil vite hvor mange måter vi kan ordne dem på rad. En måte kan være å plassere de to røde i første og andre posisjon, og resten av ballene i de gjenværende stillingene.
I likhet med forrige tilfelle kunne vi gi de røde ballene henholdsvis den første og siste posisjonen, og okkupere de andre med blå baller.
Nå er en effektiv måte å telle hvor mange måter vi kan ordne ballene på rad, ved å bruke kombinatoriske tall. Vi kan se hver posisjon som et element i følgende sett:
Da gjenstår det bare å velge en undergruppe av to elementer, der hvert av disse elementene representerer posisjonen som de røde ballene vil innta. Vi kan ta dette valget i samsvar med forholdet gitt av:
På denne måten har vi at det er 21 måter å bestille disse ballene på.
Den generelle ideen om dette eksemplet vil være veldig nyttig når det gjelder å bevise binomialtellingen. La oss se på et bestemt tilfelle: hvis n = 4, har vi (a + b) 4 , som ikke er noe mer enn:
Når vi utvikler dette produktet, sitter vi igjen med summen av begrepene oppnådd ved å multiplisere ett element av hver av de fire faktorene (a + b). Dermed vil vi ha vilkår som vil være av formen:
Hvis vi ønsket å oppnå begrepet i form a 4 , må vi bare multiplisere som følger:
Merk at det bare er en måte å skaffe dette elementet på; men hva skjer hvis vi nå ser etter begrepet på formen a 2 b 2 ? Siden "a" og "b" er reelle tall, og derfor gjelder kommutasjonsloven, har vi at en måte å oppnå dette uttrykket er å multiplisere med medlemmene som indikert med pilene.
Å utføre alle disse operasjonene er vanligvis noe kjedelig, men hvis vi ser begrepet "a" som en kombinasjon der vi vil vite hvor mange måter vi kan velge to "a" fra et sett med fire faktorer, kan vi bruke ideen fra forrige eksempel. Så vi har følgende:
Dermed vet vi at i den endelige utvidelsen av uttrykket (a + b) 4 vil vi ha nøyaktig 6a 2 b 2 . Ved å bruke den samme ideen til de andre elementene, må du:
Så legger vi til uttrykkene som er oppnådd tidligere, og vi har at:
Dette er et formelt bevis for den generelle saken der "n" er et hvilket som helst naturlig tall.
Demonstrasjon
Legg merke til at begrepene som er igjen ved å utvide (a + b) n er av formen a k b n-k , hvor k = 0,1, …, n. Ved å bruke ideen til forrige eksempel, har vi måten å velge «k» -variabler «a» av «n» -faktorene på:
Ved å velge på denne måten velger vi automatisk nk-variabler "b". Av dette følger det at:
eksempler
Med tanke på (a + b) 5 , hva vil utviklingen være?
Ved den binomiale teorem har vi:
Binomialteoremet er veldig nyttig hvis vi har et uttrykk der vi ønsker å vite hva koeffisienten til et spesifikt begrep er uten å måtte gjøre full utvidelse. Som et eksempel kan vi ta følgende ukjente: hva er koeffisienten til x 7 og 9 i utvidelsen av (x + y) 16 ?
Ved den binomiale teorem har vi at koeffisienten er:
Et annet eksempel vil være: hva er koeffisienten x 5 og 8 i utvidelsen av (3x-7y) 13 ?
Først omskriver vi uttrykket på en praktisk måte; dette er:
Deretter har vi ved bruk av den binomiale teorem at koeffisienten som søkes er når vi har k = 5
Et annet eksempel på bruken av dette teoremet er beviset på noen vanlige identiteter, for eksempel de som vi vil nevne neste.
Identitet 1
Hvis «n» er et naturlig tall, har vi:
For beviset bruker vi den binomielle teorem, der både «a» og «b» tar verdien av 1. Da har vi:
På denne måten har vi bevist den første identiteten.
Identitet 2
Hvis "n" er et naturlig tall, da
Ved den binomiale teorem har vi:
Nok en demonstrasjon
Vi kan lage et annet bevis for den binomiale teorem ved å bruke den induktive metoden og Pascal sin identitet, som forteller oss at hvis «n» og «k» er positive heltall som tilfredsstiller n ≥ k, så:
Induksjonssikker
La oss først se at den induktive basen holder. Hvis n = 1, har vi:
Vi ser faktisk at den blir oppfylt. La nå n = j slik at:
Vi vil se at for n = j + 1 er det sant at:
Så vi må:
Ved hypotese vet vi at:
Deretter bruker du distribusjonsegenskapen:
Deretter har vi utviklet hvert av summasjonene:
Nå, hvis vi grupperer på en praktisk måte, har vi det:
Ved å bruke identiteten til pascal har vi:
Til slutt, merk at:
Derfor ser vi at den binomiale teorem gjelder for alle "n" som tilhører de naturlige tallene, og med dette ender beviset.
kuriositeter
Kombinatorialtallet (nk) kalles også binomialkoeffisienten fordi det nettopp er koeffisienten som vises i utviklingen av binomialen (a + b) n .
Isaac Newton ga en generalisering av dette teoremet for saken der eksponenten er et reelt tall; Dette teoremet er kjent som Newtons binomiale teorem.
Allerede i gamle tider var dette resultatet kjent for det spesielle tilfellet hvor n = 2. Denne saken er nevnt i Euclids elementer.
referanser
- Johnsonbaugh Richard. Diskret matematikk. PHH
- Kenneth.H. Rosen. Diskret matematikk og dens applikasjoner. SAMCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
- Seymour Lipschutz Ph.D & Marc Lipson. Diskret matematikk. McGraw-Hill.
- Ralph P. Grimaldi. Diskret og kombinatorisk matematikk. Addison-Wesley Iberoamericana
- Green Star Luis. . Diskret og kombinatorisk matematikk Anthropos