- Bevis for det grunnleggende teorem om aritmetikk
- Det unike ved førstegangsfaktorisering
- applikasjoner
- Primtall i naturen
- Prime numre og online shopping
- Løste øvelser
- - Oppgave 1
- Løsning
- - Oppgave 2
- Løsning
- referanser
Det grunnleggende teoremet om aritmetikk sier at ethvert naturlig tall større enn 1 kan spaltes som et produkt av primtall - noen kan gjentas - og denne formen er unik for dette tallet, selv om rekkefølgen på faktorene kan være annerledes.
Husk at et primtall p er et som bare innrømmer seg selv og 1 som positive delere. Følgende tall er primater: 2, 3, 5, 7, 11, 13 og så videre, siden det er uendelig mange. Nummer 1 regnes ikke som et hovedmål, siden det bare har en divisor.
Figur 1. Euklid (til venstre) beviste det grunnleggende teorem om aritmetikk i sin bok Elements (350 f.Kr.), og det første fullstendige beviset skyldes Carl F. Gauss (1777-1855) (til høyre). Kilde: Wikimedia Commons.
På sin side kalles tallene som ikke samsvarer med det ovennevnte, sammensatte tall, for eksempel 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14 … La oss ta tallet 10 for eksempel, og vi ser umiddelbart at det kan spaltes som et produkt av 2 og 5:
10 = 2 × 5
Både 2 og 5 er faktisk primtall. Teoremet sier at dette er mulig for et hvilket som helst nummer n:
Hvor p 1 , p 2 , p 3 … p r er primtall og k 1 , k 2 , k 3 , … k r er naturlige tall. Så primtallene fungerer som byggesteinene fra og med multiplisering, de naturlige tallene er bygget fra.
Bevis for det grunnleggende teorem om aritmetikk
Vi begynner med å vise at hvert tall kan spaltes til hovedfaktorer. La være et naturlig tall n> 1, prim eller sammensatt.
For eksempel hvis n = 2, kan det uttrykkes som: 2 = 1 × 2, som er prim. Fortsett med følgende tall på samme måte:
3 = 1 × 3
4 = 2 × 2
5 = 1 × 5
6 = 2 × 3
7 = 1 × 7
8 = 2 × 2 × 2
Vi fortsetter slik, dekomponerer alle de naturlige tallene til vi når tallet n -1. La oss se om vi kan gjøre det med følgende nummer: n.
Hvis n er prim, kan vi dekomponere det som n = 1 × n, men antar at n er sammensatt og har en divisor d, logisk sett mindre enn n:
1 <d <n.
Hvis n / d = p 1 , med p 1 et primtall, skrives n som:
n = p 1 .d
Hvis d er prime er det ikke mer å gjøre, men hvis det ikke er det, er det et tall n 2 som er en divisor av d og mindre enn dette: n 2 <d, så d kan skrives som produktet av n 2 av en annen primtall p 2 :
d = p 2 n 2
Som når du bytter ut det originale tallet n ville gi:
n = p 1 .p 2 .n 2
Anta at heller ikke n 2 er et primtall, og vi skriver det som produktet av et primtall p 3 , av dens divisor n 3 , slik at n 3 <n 2 <n 1 <n:
n 2 = p 3 .n 3 → n = p 1 p 2 p 3 .n 3
Vi gjentar denne prosedyren et begrenset antall ganger til vi får:
n = p 1 .p 2 .p 3 … p r
Dette betyr at det er mulig å dekomponere alle hele tall fra 2 til tallet n, som et produkt av primtall.
Det unike ved førstegangsfaktorisering
La oss nå bekrefte at bortsett fra rekkefølgen på faktorene, er denne nedbrytningen unik. Anta at n kan skrives på to måter:
n = p 1 .p 2 .p 3 … p r = q 1. q 2 .q 3 … ..q s (med r ≤ s)
Selvfølgelig er q 1 , q 2 , q 3 … også primtall. Siden p 1 deler seg (q 1. q 2 .q 3 … ..q s ), så er p 1 lik en av “q”, det spiller ingen rolle hvilken, så vi kan si at p 1 = q 1 . Vi deler n med p 1 og oppnår:
p 2 .p 3 … p r = . q 2 .q 3 … ..q s
Vi gjentar prosedyren til vi deler alt med p r , så får vi:
1 = q r + 1 … q s
Men det er ikke mulig å komme frem til q r + 1 … q s = 1 når r <s, bare hvis r = s. Selv om man innrømmer at r = s, innrømmes det også at "p" og "q" er de samme. Derfor er nedbrytningen unik.
applikasjoner
Som vi har sagt tidligere, representerer primtallene, hvis du vil, atomenene til tallene, deres grunnleggende komponenter. Så det grunnleggende teoremet om aritmetikk har mange bruksområder, det mest åpenbare: Vi kan lettere jobbe med store tall hvis vi uttrykker dem som et produkt av mindre tall.
På samme måte kan vi finne den største felles multippelen (LCM) og den største felles divisoren (GCF), en prosedyre som hjelper oss med å gjøre summer av brøk lettere, finne røtter med stort antall, eller operere med radikaler, rasjonalisere og løse applikasjonsproblemer av veldig mangfoldig art.
Videre er primtall ekstremt gåtefulle. Et mønster er ennå ikke gjenkjent i dem, og det er ikke mulig å vite hvilken som vil være den neste. Det største hittil ble funnet av datamaskiner og har 24.862.048 sifre, selv om de nye primtalene vises sjeldnere hver gang.
Primtall i naturen
Cicadas, cicádidos eller cicadas som bor i nordøst i USA dukker opp i sykluser på 13 eller 17 år. De er begge primtall.
På denne måten unngår cikaderene å falle sammen med rovdyr eller konkurrenter som har andre fødselsperioder, og de forskjellige varianter av cikader konkurrerer heller ikke med hverandre, siden de ikke sammenfaller i løpet av samme år.
Figur 2. Magicicada-cikaden i det østlige USA dukker opp hvert 13. til 17 år. Kilde: Pxfuel.
Prime numre og online shopping
Primtall brukes i kryptografi for å holde kredittkortdetaljer hemmelige når du kjøper over Internett. På denne måten kommer dataene om at kjøperen kommer til butikken nøyaktig uten å gå tapt eller falle i hånden til skruppelløse mennesker.
Hvordan? Dataene på kortene er kodet i et nummer N som kan uttrykkes som et produkt av primtall. Disse primtallene er nøkkelen som dataene avslører, men de er ukjente for publikum. De kan bare dekodes på nettet de henvises til.
Å nedbryte et tall i faktorer er en enkel oppgave hvis tallene er små (se de løste øvelsene), men i dette tilfellet brukes primtall på 100 sifre som nøkkelen, som når du multipliserer dem gir mye større tall, hvis detaljerte dekomponering innebærer en enorm oppgave .
Løste øvelser
- Oppgave 1
Bryt 1029 ned i hovedfaktorer.
Løsning
1029 kan deles med 3. Det er kjent fordi summen er et multiplum av 3: 1 + 0 + 2 + 9 = 12. Når faktorene ikke endrer produktet, kan vi starte der:
1029 3
343
1029 = 3 × 343
På den annen side 343 = 7 3 , da:
1029 = 3 × 7 3 = 3 × 7 × 7 × 7
Og siden både 3 og 7 er primtall, er dette nedbrytningen av 1029.
- Oppgave 2
Faktor trinomial x 2 + 42x + 432.
Løsning
Trinomialet skrives om i formen (x + a). (x + b) og vi må finne verdiene til a og b, slik at:
a + b = 42; ab = 432
Nummeret 432 blir dekomponert i hovedfaktorer, og derfra velges den aktuelle kombinasjonen etter prøving og feiling, slik at de tilsatte faktorene gir 42.
432 = 2 4 × 3 3 = 2 × 3 3 × 2 3 = 2 4 × 3 2 × 3 = …
Herfra er det flere muligheter for å skrive 432:
432 = 16 × 27 = 24 × 18 = 54 × 8 = 6 × 72….
Og alle av dem kan bli funnet ved å kombinere produkter blant de viktigste faktorene, men for å løse den foreslåtte øvelsen, er den eneste egnede kombinasjonen: 432 = 24 × 18 siden 24 + 18 = 42, da:
x 2 + 42x + 432 = (x + 24). (x +18)
referanser
- Baldor, A. 1986. Teoretisk praktisk aritmetikk. Compañía Cultural Editora de Textos Americanos SA
- BBC World. The Hidden Code of Nature. Gjenopprettet fra: bbc.com.
- De Leon, Manuel Primtall: foresatte på internett. Gjenopprettet fra: blogs.20minutos.es.
- UNAM. Number Theory I: Fundamental Theorem of Arithmetic. Gjenopprettet fra: teoriadenumeros.wikidot.com.
- Wikipedia. Det grunnleggende teorem om aritmetikk. Gjenopprettet fra: es.wikipedia.org.