ISOMETRISKE TRANSFORMASJONER: SAMMENSETNING, TYPER OG EKSEMPLER - MATTE - 2026

De isometriske transformasjonene er endringer av posisjon eller orientering av en gitt figur som ikke endrer formen eller størrelsen på dette. Disse transformasjonene er klassifisert i tre typer: oversettelse, rotasjon og refleksjon (isometri). Generelt lar geometriske transformasjoner deg lage en ny figur fra en gitt.

En transformasjon til en geometrisk figur betyr at den på en eller annen måte har gjennomgått en viss forandring; det vil si at den ble endret. I henhold til betydningen av originalen og lignende i planet, kan geometriske transformasjoner klassifiseres i tre typer: isometrisk, isomorf og anamorfisk.

kjennetegn

Isometriske transformasjoner oppstår når størrelsene på segmentene og vinklene mellom den opprinnelige figuren og den transformerte figuren bevares.

I denne typen transformasjon blir verken formen eller størrelsen på figuren endret (de er kongruente), det er bare en endring i dens posisjon, verken i retning eller retning. På denne måten vil de innledende og endelige figurene være like og geometrisk kongruente.

Isometri refererer til likhet; med andre ord, geometriske figurer vil være isometriske hvis de har samme form og størrelse.

I isometriske transformasjoner er det eneste som kan observeres en endring av posisjon i planet, en stiv bevegelse oppstår takket være hvilken figuren går fra en startposisjon til en endelig. Denne figuren kalles homolog (lignende) av originalen.

Det er tre typer bevegelser som klassifiserer en isometrisk transformasjon: oversettelse, rotasjon og refleksjon eller symmetri.

typer

Ved oversettelse

Det er disse isometrier som gjør at alle punkter i planet kan beveges i en rett linje i en gitt retning og avstand.

Når en figur transformeres ved oversettelse, endrer den ikke sin orientering i forhold til startposisjonen, og mister heller ikke sine interne mål, målene for dens vinkler og sider. Denne typen forskyvning er definert av tre parametere:

- En retning, som kan være horisontal, vertikal eller skrå.

- En retning, som kan være til venstre, høyre, opp eller ned.

- Avstand eller størrelse, som er lengden fra startposisjonen til slutten av et hvilket som helst punkt som beveger seg.

For at en isometrisk transformasjon ved oversettelse skal være oppfylt, må følgende betingelser være oppfylt:

- Figuren må alltid beholde alle dens dimensjoner, både lineære og kantete.

- Figuren endrer ikke sin posisjon i forhold til den horisontale aksen; det vil si at vinkelen aldri varierer.

- Oversettelser vil alltid bli oppsummert i en, uavhengig av antall oversettelser som er gjort.

I et plan der sentrum er et punkt O, med koordinater (0,0), er oversettelsen definert av en vektor T (a, b), som indikerer forskyvningen av startpunktet. Det er å si:

P (x, y) + T (a, b) = P '(x + a, y + b)

For eksempel, hvis en oversettelse T (-4, 7) blir brukt til koordinatpunktet P (8, -2), får vi:

P (8, -2) + T (-4, 7) = P '= P' (4, 5)

I bildet nedenfor (til venstre) kan du se hvordan punkt C beveget seg for å falle sammen med D. Det gjorde det i en vertikal retning, retningen var oppover og avstanden eller størrelses-CD var 8 meter. I det høyre bildet blir oversettelsen av en trekant observert:

Ved rotasjon

Det er disse isometrier som lar figuren rotere alle punktene i et plan. Hvert punkt roterer etter en bue som har en konstant vinkel og et fast punkt (rotasjonssenter) bestemt.

Det vil si at all rotasjon blir definert av dens rotasjonssenter og rotasjonsvinkel. Når en figur blir transformert ved rotasjon, holder den målet på vinklene og sidene.

Rotasjonen skjer i en viss retning, den er positiv når rotasjonen er mot klokken (motsatt retning av hvordan hendene på klokken svinger) og negativ når rotasjonen er med klokken.

Hvis et punkt (x, y) roteres med hensyn til opprinnelse - det vil si rotasjonssenteret er (0,0) - i en vinkel på 90 ^eller 360, ^eller koordinatene til punktene vil være:

I tilfelle der rotasjonen ikke har noe senter ved opprinnelsen, må koordinatsystemets opprinnelse overføres til den nye gitte opprinnelsen, for å kunne rotere figuren med opprinnelsen som sentrum.

For eksempel, hvis P (-5,2) punkt brukes, er en rotasjon på 90 ^eller rundt opprinnelsen og positivt er de nye koordinatene (-2,5).

Ved refleksjon eller symmetri

Det er de transformasjonene som inverterer punktene og figurene i flyet. Denne inversjonen kan være med hensyn til et punkt, eller den kan også være med hensyn til en linje.

Med andre ord, i denne typen transformasjon er hvert punkt i den opprinnelige figuren assosiert med et annet punkt (bilde) av den homologe figuren, på en slik måte at punktet og dets bilde ligger i samme avstand fra en linje som kalles symmetriaksen. .

Dermed vil den venstre delen av figuren være en refleksjon av den høyre delen, uten å endre form eller dimensjoner. Symmetri forvandler en figur til en annen lik, men i motsatt retning, som det kan sees i følgende bilde:

Symmetri er til stede i mange aspekter, for eksempel i noen planter (solsikker), dyr (påfugl) og naturfenomener (snøfnugg). Mennesket reflekterer det i ansiktet, som regnes som en skjønnhetsfaktor. Refleksjon eller symmetri kan være av to typer:

Sentral symmetri

Det er den transformasjonen som skjer med hensyn til et punkt, der figuren kan endre sin orientering. Hvert punkt i den opprinnelige figuren og bildet er i samme avstand fra et punkt O, kalt symmetriens sentrum. Symmetri er sentral når:

- Både punktet og dets bilde og sentrum hører til den samme linjen.

- Med en rotasjon på 180 ^o sentrum O, oppnås en figur lik originalen.

- Linjene i den første figuren er parallelle med linjene i den dannede figuren.

- Følelsen av figuren endres ikke, den vil alltid være med klokken.

Sammensetning av en rotasjon

Sammensetningen av to svinger med samme senter resulterer i en ny sving, som har samme sentrum og hvis amplitude vil være summen av amplituden til de to svingene.

Hvis senteret av svingene har et annet senter, vil snittet på halvdelen av to segmenter med lignende punkter være sentrum av svingen.

Sammensetning av en symmetri

I dette tilfellet vil sammensetningen avhenge av hvordan den brukes:

- Hvis den samme symmetrien brukes to ganger, vil resultatet være en identitet.

- Hvis to symmetrier brukes på to parallelle akser, blir resultatet en oversettelse, og forskyvningen er dobbelt så lang som disse aksene:

- Hvis det brukes to symmetrier med hensyn til to akser som krysser hverandre i punktet O (sentrum), oppnås en rotasjon med senteret ved O og dens vinkel vil være det dobbelte av vinkelen dannet av aksene:

referanser

1. V Bourgeois, JF (1988). Materialer for konstruksjon av geometri. Madrid: Syntese.
2. Cesar Calavera, IJ (2013). Teknisk tegning II. Paraninfo SA: Editions of the Tower.
3. Coxeter, H. (1971). Grunnleggende om geometri. Mexico: Limusa-Wiley.
4. Coxford, A. (1971). Geometri En transformasjonsmetode. USA: Laidlaw Brothers.
5. Liliana Siñeriz, RS (2005). Induksjon og formalisering i undervisningen i stive transformasjoner i CABRI-miljøet.
6. , PJ (1996). Gruppen av isometrier av flyet. Madrid: Syntese.
7. Suárez, AC (2010). Transformasjoner i flyet. Gurabo, Puerto Rico: AMCT.