LAPLACE TRANSFORM: DEFINISJON, HISTORIE OG HVA DEN ER TIL FOR - MATTE - 2026

Den Laplace transform har vært de siste årene av stor betydning i ingeniørstudier, matematikk, fysikk, blant andre vitenskapelige områder, samt å være av stor interesse i teorien, er en enkel måte å løse problemer som kommer fra vitenskap og ingeniørfag.

Opprinnelig ble Laplace-transformasjonen presentert av Pierre-Simón Laplace i sin studie på sannsynlighetsteori og ble opprinnelig behandlet som et matematisk objekt av rent teoretisk interesse.

Aktuelle bruksområder oppstår da forskjellige matematikere prøvde å gi en formell begrunnelse for de "operative reglene" brukt av Heaviside i studiet av likninger av elektromagnetisk teori.

Definisjon

La f være en funksjon som er definert for t ≥ 0. Laplace-transformasjonen er definert som følger:

Laplace-transformasjonen sies å eksistere hvis den forrige integralen konvergerer, ellers sies Laplace-transformasjonen å ikke eksistere.

Generelt brukes små bokstaver for å betegne funksjonen som skal transformeres, og store bokstaver tilsvarer dens transformasjon. På denne måten vil vi ha:

eksempler

Tenk på den konstante funksjonen f (t) = 1. Vi har dens transformasjon er:

Hver gang integralet konvergerer, det vil si når s> 0. Ellers avviker s <0.

La g (t) = t. Laplace-transformasjonen er gitt av

Ved å integrere ved deler og vite at te ^-st har en tendens til 0 når den har en tendens til uendelig og s> 0, sammen med det forrige eksemplet har vi:

Transformasjonen kan ikke eksistere, for eksempel for funksjonen f (t) = 1 / t integralet som definerer dens Laplace-transformasjon konvergerer ikke, og dens transformasjon eksisterer derfor ikke.

Tilstrekkelige forhold for å garantere at Laplace-transformasjonen av en funksjon f eksisterer er at f er stykkevis kontinuerlig for t ≥ 0 og har eksponentiell orden.

En funksjon sies å være stykkevis kontinuerlig for t ≥ 0, når det for et hvilket som helst intervall med a> 0, er det et begrenset antall punkter t _k, der f har diskontinuiteter og er kontinuerlig i hvert delintervall.

På den annen side sies en funksjon å være av eksponentiell rekkefølge c hvis det er reelle konstanter M> 0, c og T> 0 slik at:

Som eksempler har vi at f (t) = t ² er av eksponentiell orden, siden -t ² - <e ^3t for alle t> 0.

På en formell måte har vi følgende teorem

Teorem (tilstrekkelige betingelser for å eksistere)

Hvis f er en kontinuerlig funksjon for t> 0 og eksponentiell rekkefølge c, eksisterer Laplace-transformasjonen for s> c.

Det er viktig å understreke at dette er en tilstrekkelig betingelse, det vil si at det kan være tilfelle at det er en funksjon som ikke oppfyller disse betingelsene, og selv da dens Laplace-transformasjon eksisterer.

Et eksempel på dette er funksjonen f (t) = t ^-1/2 som ikke er ^stykkevis kontinuerlig for t ≥ 0, men dens Laplace-transformasjon eksisterer.

Laplace transformasjon av noen grunnleggende funksjoner

Tabellen nedenfor viser Laplace-transformasjoner av de vanligste funksjonene.

Historie

Laplace-transformasjonen skylder navnet sitt til Pierre-Simon Laplace, en fransk matematiker og teoretisk astronom som ble født i 1749 og døde i 1827. Hans berømmelse var slik at han ble kjent som Newton of France.

I 1744 viet Leonard Euler studiene til integraler med skjemaet

som løsninger av vanlige differensialligninger, men han forlot raskt denne undersøkelsen. Senere undersøkte Joseph Louis Lagrange, som sterkt beundret Euler, også disse typer integraler og relaterte dem til sannsynlighetsteori.

1782, Laplace

I 1782 begynte Laplace å studere disse integralene som løsninger på differensialligninger, og ifølge historikere bestemte han seg i 1785 for å omformulere problemet, som senere ga opphav til Laplace-transformasjonene slik de forstås i dag.

Etter å ha blitt introdusert i feltet med sannsynlighetsteori, var det av liten interesse for forskere på den tiden og ble bare sett på som et matematisk objekt med kun teoretisk interesse.

Oliver Heaviside

Det var på midten av 1800-tallet at den engelske ingeniøren Oliver Heaviside oppdaget at differensialoperatører kan behandles som algebraiske variabler, og dermed ga Laplace transformasjoner av deres moderne anvendelse.

Oliver Heaviside var en engelsk fysiker, elektroingeniør og matematiker som ble født i London i 1850 og døde i 1925. Mens han prøvde å løse differensiallikingsproblemer anvendt på teorien om vibrasjoner og ved å bruke Laplaces studier, begynte han å forme Moderne applikasjoner av Laplace transforms.

Resultatene som ble presentert av Heaviside spredte seg raskt gjennom datidens vitenskapelige samfunn, men ettersom arbeidet hans ikke var strengt, ble han raskt kritisert av de mer tradisjonelle matematikerne.

Nyttigheten av Heavisides arbeid med å løse ligninger i fysikk gjorde imidlertid hans metoder populære blant fysikere og ingeniører.

Til tross for disse tilbakeslag og etter noen tiår med mislykkede forsøk, kunne man på begynnelsen av 1900-tallet gi en streng begrunnelse for de operative reglene gitt av Heaviside.

Disse forsøkene bar frukt takket være innsatsen fra forskjellige matematikere som blant annet Bromwich, Carson, van der Pol.

Egenskaper

Blant egenskapene til Laplace-transformen skiller følgende seg ut:

linearitet

La c1 og c2 være konstanter og f (t) og g (t) -funksjoner hvis Laplace-transformasjoner er henholdsvis F (s) og G (s), så har vi:

På grunn av denne egenskapen sies Laplace-transformasjonen å være en lineær operatør.

Eksempel

Første oversettelse teorem

Hvis det skjer at:

Og 'a' er et hvilket som helst reelt tall, så:

Eksempel

Siden Laplace-transformasjonen av cos (2t) = s / (s ^ 2 + 4), så:

Andre oversettelse teorem

Ja

Så

Eksempel

Hvis f (t) = t ^ 3, er F (s) = 6 / s ^ 4. Og derfor transformasjonen av

er G (s) = 6e ^-2s / s ^ 4

Skalaendring

Ja

Og 'a' er et ikke-virkelig ekte, vi må gjøre det

Eksempel

Siden transformasjonen av f (t) = sin (t) er F (s) = 1 / (s ^ 2 + 1) har vi det

Laplaces transformasjon av derivater

Hvis f, f ', f' ', …, f ⁽ⁿ⁾ er kontinuerlige for t ≥ 0 og har eksponentiell orden og f ⁽ⁿ⁾ (t) er stykkevis kontinuerlig for t ≥ 0,

Laplace transformasjon av integraler

Ja

Så

Multiplikasjon med t

Hvis vi må

Så

Divisjon etter t

Hvis vi må

Så

Periodiske funksjoner

La f være en periodisk funksjon med periode T> 0, det vil si f (t + T) = f (t), da

Oppførsel av F (er) som s har en tendens til uendelig

Hvis f er kontinuerlig i deler og av eksponentiell orden og

Så

Omvendte transformasjoner

Når vi bruker Laplace-transformasjonen på en funksjon f (t), får vi F (er), som representerer denne transformasjonen. På samme måte kan vi si at f (t) er den inverse Laplace-transformasjonen av F (er) og er skrevet som

Vi vet at Laplace-transformasjonene av f (t) = 1 og g (t) = t er F (s) = 1 / s og G (s) = 1 / s ² , derfor har vi det

Noen vanlige inverse Laplace-transformasjoner er som følger

Videre er den inverse Laplace-transformasjonen lineær, det vil si at det stemmer

Trening

Finne

For å løse denne øvelsen må vi matche funksjonen F (er) med en av forrige tabell. I dette tilfellet hvis vi tar + 1 = 5 og bruker linearitetsegenskapen til den inverse transformasjonen, multipliserer vi og deler med 4! Får

For den andre inverse transformasjonen bruker vi delvise fraksjoner for å omskrive funksjonen F (er) og deretter egenskapen linearitet, og oppnå

Som vi ser av disse eksemplene, er det vanlig at funksjonen F (er) som evalueres ikke nøyaktig stemmer overens med noen av funksjonene gitt i tabellen. For disse tilfellene, som det kan sees, er det nok å skrive om funksjonen til den når riktig form.

Bruksområder for Laplace-transformen

Differensiallikninger

Den viktigste bruken av Laplace transforms er å løse differensialligninger.

Ved å bruke egenskapen til transformasjonen av et derivat er det klart at

Y av n-1-derivatene evaluert ved t = 0.

Denne egenskapen gjør transformasjonen veldig nyttig for å løse initialverdiproblemer der differensialligninger med konstante koeffisienter er involvert.

Følgende eksempler viser hvordan du bruker Laplace-transformasjonen til å løse differensialligninger.

Eksempel 1

Gitt følgende initialverdiproblem

Bruk Laplace-transformen for å finne løsningen.

Vi bruker Laplace-transformasjonen på hvert medlem av differensialligningen

Ved egenskapen til transformasjonen av et derivat vi har

Ved å utvikle alt uttrykket og fjerne Y (e) vi har

Bruke delvise brøk for å omskrive høyre side av ligningen vi får

Endelig er vårt mål å finne en funksjon y (t) som tilfredsstiller differensialligningen. Å bruke den omvendte Laplace-transformasjonen gir oss resultatet

Eksempel 2

Løse

Som i forrige tilfelle bruker vi transformasjonen på begge sider av ligningen og skiller term for termin.

På denne måten har vi som et resultat

Å erstatte med de gitte startverdiene og løse for Y (r)

Ved å bruke enkle brøker kan vi omskrive ligningen som følger

Og å bruke den omvendte Laplace-transformasjonen gir oss resultatet

I disse eksemplene kan man med feil konkludere med at denne metoden ikke er mye bedre enn tradisjonelle metoder for å løse differensialligninger.

Fordelene med Laplace-transformasjonen er at du ikke trenger å bruke parametervariasjon eller bekymre deg for de forskjellige tilfellene av den ubestemte koeffisientmetoden.

I tillegg, når vi løser initialverdiproblemer med denne metoden, bruker vi fra begynnelsen de opprinnelige betingelsene, så det er ikke nødvendig å utføre andre beregninger for å finne den aktuelle løsningen.

Systemer med differensialligninger

Laplace-transformasjonen kan også brukes til å finne løsninger på samtidige ordinære differensialligninger, som følgende eksempel viser.

Eksempel

Løse

Med de første forholdene x (0) = 8 og y (0) = 3.

Hvis vi må

Så

Å løse gir oss som et resultat

Og anvende den omvendte Laplace-transformasjonen vi har

Mekanikk og elektriske kretser

Laplace-transformasjonen er av stor betydning i fysikk, den har hovedsakelig applikasjoner for mekanikk og elektriske kretsløp.

En enkel elektrisk krets består av følgende elementer

En bryter, et batteri eller kilde, en induktor, en motstand og en kondensator. Når bryteren er lukket, produseres en elektrisk strøm som er betegnet med i (t). Ladningen på kondensatoren er angitt med q (t).

I henhold til Kirchhoffs andre lov, må spenningen produsert av kilde E i den lukkede krets være lik summen av hver av spenningsfallene.

Den elektriske strømmen i (t) er relatert til ladningen q (t) på kondensatoren med i = dq / dt. På den annen side er spenningsfallet i hvert av elementene definert som følger:

Spenningsfallet over en motstand er iR = R (dq / dt)

Spenningsfallet over en induktor er L (di / dt) = L (d ² q / dt ² )

Spenningsfallet over en kondensator er q / C

Med disse dataene og anvendelse av Kirchhoffs andre lov på den enkle lukkede kretsen, oppnås en annenordens differensialligning som beskriver systemet og lar oss bestemme verdien av q (t).

Eksempel

En induktor, en kondensator og en motstand er koblet til et batteri E, som vist på figuren. Induktoren er 2 høner, kondensatoren er 0,02 farads og motstanden er 16 ohm. På tidspunktet t = 0 er kretsen stengt. Finn ladningen og strømmen når som helst t> 0 hvis E = 300 volt.

Vi har at differensialligningen som beskriver denne kretsen er følgende

Der de opprinnelige forholdene er q (0) = 0, i (0) = 0 = q '(0).

Bruke Laplace-transformasjonen får vi det

Og løse for Q (t)

Deretter bruker vi den omvendte Laplace-transformasjonen vi har

referanser

1. G. Holbrook, J. (1987). Laplace transformasjon for elektronikkingeniører. Limusa.
2. Ruiz, LM, & Hernandez, MP (2006). Differensialligninger og Laplace-transformasjon med applikasjoner. Redaksjonell UPV.
3. Simmons, GF (1993). Differensiallikninger med anvendelser og historiske notater. McGraw-Hill.
4. Spiegel, MR (1991). Laplace transformerer. McGraw-Hill.
5. Zill, DG, & Cullen, MR (2008). Differensiallikninger med grenseverdiproblemer. Cengage Learning Editores, SA