SCALEN TRAPESFORM: EGENSKAPER, FORMLER OG LIGNINGER, EKSEMPLER - MATTE - 2026

En scalen trapezoid er en polygon med fire sider, hvorav to er parallelle med hverandre, og med sine fire innvendige vinkler av forskjellige mål.

Den firkantede ABCD er vist nedenfor, der sidene AB og DC er parallelle med hverandre. Dette er nok til at det er en trapezoid, men også, de indre vinklene α, β, γ og δ er alle forskjellige, derfor er trapezoidene skalen.

Figur 1. Kvadrilateral ABCD er trapezoid etter tilstand 1 og scalen etter tilstand 2. Kilde: F. Zapata.

Elementer av scalen trapez

Her er de mest karakteristiske elementene:

-Baser og sider: de parallelle sidene av trapesformet er dens baser og de to ikke-parallelle sidene er sidene.

I en scene trapezoid er basene i forskjellige lengder og de laterale også. Imidlertid kan en scalen trapezoid ha en lateral like lang lengde som en base.

-Median: er segmentet som blir med i midtpunktene til de laterale.

Diagonaler: diagonalen til en trapezoid er segmentet som føyer seg i to motsatte hjørner. En trapezoid, som alle firedoblinger, har to diagonaler. I den scene trapes er de av forskjellig lengde.

Andre trapezoider

Foruten scalen trapezoid, er det andre spesielle trapezoider: riktig trapezoid og likeben trapes.

En trapezoid er et rektangel når en av vinklene er riktig, mens en trapesformet isosceles har sidene av samme lengde.

Den trapesformede formen har mange bruksområder på design- og bransjenivå, for eksempel i utformingen av flyvinger, formen til hverdagsobjekter som bord, stolrygg, emballasje, vesker, tekstiltrykk og mer.

Figur 2. Trapesformen er vanlig i vingekonfigurasjonen til fly. Kilde: Wikimedia Commons.

Egenskaper

Egenskapene til den scene trapezoidene er listet opp nedenfor, hvorav mange strekker seg til andre typer trapezoid. I det følgende, når "trapezoid" blir snakket om, vil eiendommen gjelde for enhver type, inkludert scalene.

1. Medianen til trapesformet, det vil si segmentet som forbinder midtpunktene til dets ikke-parallelle sider, er parallelt med noen av basene.

2.- Medianen til en trapes har en lengde som er semisumet til den av basene og skjærer diagonalene i midtpunktet.

3.- Diagonalene til en trapezoid krysser hverandre ved et punkt som deler dem inn i to seksjoner som er proporsjonale med kvotientene til basene.

4.- Summen av kvadratene til diagonalene til en trapes er lik summen av rutene på sidene pluss dobbeltproduktet av basene.

5.- Segmentet som går sammen med midtpunktene til diagonalene har en lengde som er lik halvforskjellen på basene.

6.- Vinklene ved siden av sidene er supplerende.

7.- I en scene trapezoid er lengdene på diagonalene forskjellige.

8.- En trapezoid har en innskrevet omkrets bare hvis summen av basene er lik summen av sidene.

9.- Hvis en trapezoid har en innskrevet omkrets, er vinkelen med toppunktet i midten av omkretsen og sidene som passerer gjennom endene på siden av trapezoidet, rett.

10.- En scalen trapezoid har ikke en omskrevet omkrets, den eneste typen trapezoid som gjør er isosceles.

Formler og ligninger

Følgende forhold til den scene trapezoidet er referert til den følgende figuren.

1.- Hvis AE = ED og BF = FC → EF - AB og EF - DC.

2.- EF = (AB + DC) / 2 som er: m = (a + c) / 2.

3. DI = IB = d _{Anmeldelse for 1.} / 2 og AG = GC = d _2- / 2.

4.- DJ / JB = (c / a) på lignende måte CJ / JA = (c / a).

Figur 3. Median og diagonaler av en scalen trapes. Kilde: F. Zapata.

5.- DB ² + AC ² = AD ² + BC ² + 2 AB ∙ DC

Tilsvarende:

d ₁ ² + d ₂ ² = d ² + b ² + 2 a ∙ c

6.- GI = (AB - DC) / 2

Det er å si:

n = (a - c) / 2

7.- α + δ = 180⁰ og β + γ = 180⁰

8.- Hvis α ≠ β ≠ γ ≠ δ, så d1 ≠ d2.

9.- Figur 4 viser en scalen trapezoid som har en innskrevet omkrets, i dette tilfellet er det sant at:

a + c = d + b

10.- I en scene trapezoid ABCD med en innskrevet omkrets av sentrum O, er følgende også tilfelle:

∡AOD = ∡BOC = 90⁰

Figur 4. Hvis det i en trapes er bekreftet at summen av dens baser er lik summen av de laterale, er det omkretsen som er innskrevet i den. Kilde: F. Zapata.

Høyde

Høyden på en trapezoid er definert som segmentet som går fra et punkt av basen vinkelrett på motsatt base (eller dens forlengelse).

Alle høydene på trapesformet har samme måling h, så mesteparten av tiden refererer ordets høyde til dens måling. Kort sagt, høyde er avstanden eller separasjonen mellom basene.

Høyden h kan bestemmes ved å kjenne lengden på den ene siden og en av vinklene ved siden av siden:

h = d Sen (α) = d Sen (γ) = b Sen (β) = b Sen (δ)

median

Tiltaket m for trapesens median er halvsummen av basene:

m = (a + b) / 2

diagonaler

d ₁ = √

d ₂ = √

Det kan også beregnes hvis bare lengden på sidene til trapesformet er kjent:

d ₁ = √

d ₂ = √

Omkrets

Omkretsen er konturens totale lengde, det vil si summen av alle sidene:

P = a + b + c + d

Område

Området til en trapezoid er semisumet til basene ganget med høyden:

A = h ∙ (a + b) / 2

Det kan også beregnes om median m er kjent og høyden h:

A = m ∙ h

I tilfelle bare lengden på sidene av trapesformet er kjent, kan området bestemmes ved å bruke Herons formel for trapesformet:

A = ∙ √

Hvor s er halvmåleren: s = (a + b + c + d) / 2.

Andre forholdstall for scalen trapez

Skjæringen mellom medianen og diagonalene og parallellen som passerer gjennom skjæringspunktet mellom diagonalene gir andre forhold.

Figur 5. Andre sammenhenger for scalen trapez. Kilde: F. Zapata.

-Forhold for median EF

EF = (a + c) / 2; EG = IF = c / 2; EI = GF = a / 2

-Forhold for segmentet parallelt med basene KL, og passerer gjennom skjæringspunktet J til diagonalene

Hvis KL - AB - DC med J ∈ KL, så er KJ = JL = (a ∙ c) / (a ​​+ c)

Konstruksjon av den scalen trapezoid med linjal og kompass

Gitt basene i lengde a og c, der a> cy med sider av lengder b og d, hvor b> d, fortsett ved å følge disse trinnene (se figur 6):

1.- Med regelen tegnes segmentet til major AB.

2.- Fra A se og på AB merke punkt P slik at AP = c.

3.- Med kompasset med senter i P og radius d tegnes en bue.

4.- Et senter lages ved B med radius b ved å tegne en bue som skjærer lysbuen tegnet i forrige trinn. Vi kaller Q skjæringspunktet.

Figur 6. Konstruksjon av en scalen trapezoid gitt sidene. Kilde: F. Zapata.

5.- Trekk en bue med radius d med midten ved A.

6.- Med sentrum ved Q, tegne en bue med radius c som avskjærer buen som er tegnet i forrige trinn. Avskjæringspunktet vil bli kalt R.

7.- Segmenter BQ, QR og RA tegnes med linjalen.

8.- Quadrilateral ABQR er en scalen trapezoid, siden APQR er et parallellogram, som garanterer at AB - QR.

Eksempel

Følgende lengder er gitt i cm: 7, 3, 4 og 6.

a) Bestem om det med dem er mulig å konstruere en scalen trapezoid som kan omskrive en sirkel.

b) Finn omkretsen, området, lengden på diagonalene og høyden på nevnte trapes, så vel som radiusen til den påskrevne sirkelen.

- Løsning på

Ved bruk av segmentene i lengden 7 og 3 som sokkler og de med lengden 4 og 6 som sider, kan en scalen trapezoid konstrueres ved å bruke fremgangsmåten beskrevet i forrige seksjon.

Det gjenstår å sjekke om den har en innskrevet omkrets, men husker eiendommen (9):

Det ser vi effektivt:

7 + 3 = 4 + 6 = 10

Da er betingelsen for eksistens av innskrevet omkrets oppfylt.

- Løsning b

Omkrets

Omkretsen P oppnås ved å legge sidene. Siden basene legger opp til 10 og de laterale også, er omkretsen:

P = 20 cm

Område

For å bestemme området, kjent bare sidene, brukes forholdet:

A = ∙ √

Hvor er halvmåleren:

s = (a + b + c + d) / 2.

I vårt tilfelle er semiperimeteret verdt s = 10 cm. Etter å ha erstattet de respektive verdiene:

a = 7 cm; b = 6 cm; c = 3 cm; d = 4 cm

Rester:

A = √ = (5/2) √63 = 19,84 cm².

Høyde

Høyden h er relatert til området A ved følgende uttrykk:

A = (a + c) ∙ h / 2, hvorfra høyden kan oppnås ved å tømme:

h = 2A / (a ​​+ c) = 2 * 19,84 / 10 = 3,988 cm.

Radius for den innskrevne sirkelen

Radien til den påskrevne sirkelen er lik halve høyden:

r = h / 2 = 1 984 cm

diagonaler

Endelig finner vi lengden på diagonalene:

d ₁ = √

d ₂ = √

Riktig erstatning av verdiene vi har:

d ₁ = √ = √ (36 + 21-7 (20) / 4) = √ (22)

d ₂ = √ = √ (16 + 21-7 (-20) / 4) = √ (72)

Det vil si: d ₁ = 4,69 cm og d ₂ = 8,49 cm

Figur 7. Scalen trapezoid som oppfyller tilstanden til eksistensen av en innskrevet omkrets. Kilde: F. Zapata.

Trening løst

Bestem de indre vinklene til trapesformet med basene AB = a = 7, CD = c = 3 og laterale vinkler BC = b = 6, DA = d = 4.

Løsning

Kosinus-teoremet kan brukes for å bestemme vinklene. For eksempel bestemmes vinkelen ∠A = α fra trekanten ABD med AB = a = 7, BD = d2 = 8.49, og DA = d = 4.

Kosinus-teoremet brukt på denne trekanten ser slik ut:

d ₂ ² = a ² + d ² - 2 ∙ a ∙ d ∙ Cos (α), det vil si:

72 = 49 + 16-56 ∙ Cos (α).

Løsning for blir kosinus av vinkelen a:

Cos (α) = -1/8

Det vil si α = ArcCos (-1/8) = 97,18⁰.

De andre vinklene oppnås på samme måte, og verdiene er:

ß = 41,41⁰; γ = 138,59⁰ og til slutt δ = 82,82⁰.

referanser

1. CEA (2003). Geometrielementer: med øvelser og kompassgeometri. University of Medellin.
2. Campos, F., Cerecedo, FJ (2014). Matematikk 2. Grupo Redaksjonell Patria.
3. Freed, K. (2007). Oppdag polygoner. Benchmark Education Company.
4. Hendrik, V. (2013). Generaliserte polygoner. Birkhauser.
5. Iger. (SF). Matematikk Første semester Tacaná. Iger.
6. Jr. geometri. (2014). Polygoner. Lulu Press, Inc.
7. Miller, Heerenveen og Hornsby. (2006). Matematikk: resonnering og applikasjoner (tiende utgave). Pearson Education.
8. Patiño, M. (2006). Matematikk 5. Redaksjonell progreso.
9. Wikipedia. Trapes. Gjenopprettet fra: es.wikipedia.com