TRAPESFORMET MED ISOSCELES: EGENSKAPER, RELASJONER OG FORMLER, EKSEMPLER - MATTE - 2026

En likeartet trapezoid er en firedobling der to av sidene er parallelle med hverandre, og i tillegg har de to vinklene ved siden av en av de parallelle sidene samme mål.

I figur 1 har vi den firkantede ABCD, der sidene AD og BC er parallelle. I tillegg har vinklene ∠DAB og ∠ADC ved siden av parallellsiden AD samme mål α.

Figur 1. Isosceles trapez. Kilde: F. Zapata.

Så denne firsidede, eller firsidige polygon, er i virkeligheten en likebær trapes.

I en trapezoid kalles de parallelle sidene basene og de ikke-parallelle sidene kalles lateralene. Et annet viktig kjennetegn er høyden, som er avstanden som skiller de parallelle sidene.

Foruten isosceles trapes er det andre typer trapes.

-T rapezoid scalen, som har alle vinkler og forskjellige sider.

-Rektangulær rapezoid, der den ene siden har rett tilstøtende vinkler.

Den trapesformede formen er vanlig innen forskjellige felt innen design, arkitektur, elektronikk, beregning og mange flere, som vil bli sett senere. Derav viktigheten av å bli kjent med dens egenskaper.

Egenskaper

Eksklusivt for likebær trapes

Hvis en trapezoid er isosceles, har den følgende karakteristiske egenskaper:

1.- Sidene har samme mål.

2.- Vinklene ved siden av basene er like.

3.- De motsatte vinklene er utfyllende.

4.- Diagonalene har samme lengde, og de to segmentene som forbinder de motsatte hjørnene er de samme.

5.- Vinkelen mellom basene og diagonalene er alle av samme mål.

6.- Den har en omskrevet omkrets.

Motsatt, hvis en trapezoid oppfyller noen av de ovennevnte egenskapene, er det en isosceles trapes.

Hvis en av vinklene er trapesformet i en isosceles (90 º), vil alle de andre vinklene også være rette og danne et rektangel. Det vil si at et rektangel er et spesielt tilfelle av en isosceles trapes.

Figur 2. Popcornbeholderen og skolebordene er formet som en isosceles trapes. Kilde: Pxfuel (til venstre) / McDowell Craig via Flickr. (Ikke sant)

For all trapes

Følgende sett med egenskaper er gyldig for enhver trapezoid:

7.- Medianen til trapesformet, det vil si segmentet som forbinder midtpunktene til dets ikke-parallelle sider, er parallelt med noen av basene.

8.- Lengden på median er lik semisumet (summen delt med 2) av den på basene.

9.- Medianen til en trapezoid skjærer diagonalene i midtpunktet.

10.- Diagonalene til en trapezoid krysser hverandre ved et punkt som deler dem i to seksjoner proporsjonale med kvotientene til basene.

11.- Summen av rutene til diagonalene til en trapezoid er lik summen av rutene på sidene pluss dobbeltproduktet av basene.

12.- Segmentet som går sammen med midtpunktene til diagonalene har en lengde som er lik semiforskjellen på basene.

13.- Vinklene ved siden av sidene er supplerende.

14.- En trapes har en påskrevet omkrets hvis og bare hvis summen av basene er lik summen av sidene.

15.- Hvis en trapezoid har en innskrevet omkrets, er vinklene med en toppunkt i midten av omkretsen og sidene som passerer gjennom endene av samme side, rette vinkler.

Forhold og formler

Følgende sett med relasjoner og formler er henvist til figur 3, der i tillegg til isosceles trapezoid andre viktige segmenter som allerede er nevnt er vist, for eksempel diagonaler, høyde og median.

Figur 3. Median, diagonaler, høyde og omskrevet omkrets i en isosceles trapes. Kilde: F. Zapata.

Unike forhold mellom isosceles trapez

1.- AB = DC = c = d

2.- ∡DAB = ∡CDA og ∡ABC = ∡BCD

3.- ∡DAB + ∡BCD = 180º og ∡CDA + ∡ABC = 180º

4.- BD = AC

5.- ∡CAD = ∡BDA = ∡CBD = ∡BCA = α ₁

6.- A, B, C og D tilhører den omskrevne sirkelen.

Forhold for enhver trapes

1. Hvis AK = KB og DL = LC ⇒ KL - AD og KL - BC

8.- KL = (AD + BC) / 2

9.- AM = MC = AC / 2 og DN = NB = DB / 2

10.- AO / OC = AD / BC og DO / OB = AD / BC

11.- AC ² + DB ² = AB ² + DC ² + 2⋅AD⋅BC

12.- MN = (AD - BC) / 2

13.- ∡DAB + ∡ABC = 180º og ∡CDA + ∡BCD = 180º

14.- Hvis AD + BC = AB + DC ⇒ ∃ R enn ekvidistant fra AD, BC, AB og DC

15.- Hvis ∃ R tilsvarer AD, BC, AB og DC, så:

∡BRA = ∡DRC = 90º

Forhold for isosceles trapezium med påskrevet omkrets

Hvis summen av basene i en isosceles trapes er lik to ganger i sideretningen, eksisterer den påskrevne omkretsen.

Figur 4. Trapesformet med påskrevet omkrets. Kilde: F. Zapata.

Følgende egenskaper gjelder når isosceles trapezoid har en innskrevet omkrets (se figur 4 ovenfor):

16.- KL = AB = DC = (AD + BC) / 2

17.- Diagonalene skjærer hverandre i rette vinkler: AC ⊥ BD

18.- Høyden måler det samme som medianen: HF = KL, det vil si h = m.

19.- Kvadratet på høyden er lik produktet av basene: h ² = BC⋅AD

20.- Under disse spesifikke forholdene er området til trapesformet lik kvadratet med høyden eller produktet fra basene: Areal = h ² = BC⋅AD.

Formler for å bestemme den ene siden, kjenne til de andre og en vinkel

Når du kjenner en base, den laterale og en vinkel, kan den andre basen bestemmes av:

a = b + 2c Cos α

b = a - 2c Cos α

Hvis lengden på basene og en vinkel er gitt som kjente data, er lengden på begge sider:

c = (a - b) / (2 Cos α)

Fastsettelse av den ene siden, kjenne til de andre og en diagonal

a = (d ₁ ² - c ² ) / b;

b = (d ₁ ² - c ² ) / a

c = √ (d ₁ ² - a⋅b)

Hvor d ₁ er lengden på diagonalene.

Sokkel fra høyde, areal og annen sokkel

a = (2 A) / h - b

b = (2 A) / h - a

Kjente sidebaser, område og en vinkel

c = (2A) /

Kjent lateral median, område og vinkel

c = A / (m sin α)

Kjent høyde på sidene

h = √

Kjent høyde en vinkel og to sider

h = tg α⋅ (a - b) / 2 = c. synd α

Kjente diagonaler alle sider, eller to sider og en vinkel

d ₁ = √ (c ² + ab)

d ₁ = √ (a ² + c ² - 2 ac Cos α)

d ₁ = √ (b ² + c ² - 2 bc Cos β)

Omkretsen av den likebærede trekanten

P = a + b + 2c

Isosceles trapesområde

Det er flere formler for beregning av området, avhengig av hvilke data som er kjent. Følgende er det mest kjente, avhengig av baser og høyde:

A = h⋅ (a + b) / 2

Og du kan også bruke disse andre:

-Hvis sidene er kjent

A = √

-Når du har to sider og en vinkel

A = (b + c Cos α) c Sen α = (a - c Cos α) c Sen α

-Hvis radien til den påskrevne sirkelen og en vinkel er kjent

A = 4 r ² / Sen α = 4 r ² / Sen β

-Når basene og en vinkel er kjent

A = a⋅b / Sen α = a⋅b / Sen β

-Hvis trapesformet kan skrives en omkrets

A = c⋅√ (a⋅b) = m⋅√ (a⋅b) = r⋅ (a + b) / 2

-Kjenne diagonalene og vinkelen de danner med hverandre

A = (d- ₁ ^2- / 2) γ = Sen (d ₁ ^2- / 2) ogA Sen

-Når du har sideveis, median og en vinkel

A = mc.sen α = mc.sen β

Radius for den omskrevne sirkelen

Det er bare trapezoider med likeben som har en omskrevet omkrets. Hvis større base a, lateral c og diagonal d1 _{er kjent} , er radien R for sirkelen som passerer gjennom trapesformens fire hjørner:

R = a⋅c⋅d ₁ / 4√

Hvor p = (a + c + d ₁ ) / 2

Eksempler på bruk av isosceles trapes

Trapesformet isosceles vises i designfeltet, som det er vist i figur 2. Og her er noen flere eksempler:

Innen arkitektur og konstruksjon

De gamle inkaene kjente isosceles trapezoid og brukte den som et bygningselement i dette vinduet i Cuzco, Peru:

Figur 5. Trapesformet vindu på Coricancha, Cuzco. Kilde: Wikimedia Commons.

Og her vises trapesformet igjen i det såkalte trapesformet ark, et materiale som ofte brukes i konstruksjonen:

Figur 6. Trapesformet metallplate som midlertidig beskytter vinduene i en bygning. Kilde: Wikimedia Commons.

I design

Vi har allerede sett at isosceles trapezoid vises i hverdagsobjekter, inkludert mat som denne sjokoladestangen:

Figur 7. Sjokoladestang hvis ansikter er formet som en isosceles trapes. Kilde: Pxfuel.

Løste øvelser

- Oppgave 1

En trapesformet isosceles har en base som er større enn 9 cm, en base mindre enn 3 cm, og dens diagonaler 8 cm hver. Regne ut:

a) Side

b) Høyde

c) Omkrets

d) Område

Figur 8. Opplegg for øvelse 1. Kilde: F. Zapata

Løsning på

Høyden CP = h er plottet, der foten på høyden definerer segmentene:

PD = x = (ab) / 2 y

AP = a - x = a - a / 2 + b / 2 = (a + b) / 2.

Bruk av Pythagorean teorem til høyre trekant DPC:

c ² = h ² + (a - b) ² /4

Og også til høyre trekant APC:

d ² = h ² + AP ² = h ² + (a + b) ² /4

Til slutt blir medlem av medlem trukket fra, den andre ligningen fra den første og forenklet:

d ² - c ² = ¼ = ¼

d ² - c ² = ¼ = ab

c ² = d ² - ab ⇒ c = √ (d ² - ab) = √ (8 ² - 9⋅3) = √37 = 6,08 cm

Løsning b

h ² = d ² - (a + b) ² /4 = 8 ² - (12 ² /2 ² ) = 8 ² - til 6 ² = 28

h = 2 √7 = 5,29 cm

Løsning c

Omkrets = a + b + 2 c = 9 + 3 + 2⋅6.083 = 24.166 cm

Løsning d

Areal = h (a + b) / 2 = 5,29 (12) / 2 = 31,74 cm

- Oppgave 2

Det er en isosceles trapezoid hvis større sokkel er dobbelt så liten som den mindre og den mindre sokkelen er lik høyden, som er 6 cm. Bestemme seg for:

a) Lengden på sideveien

b) Omkrets

c) Areal

d) Vinkler

Figur 8. Opplegg for øvelse 2. Kilde: F. Zapata

Løsning på

Data: a = 12, b = a / 2 = 6 og h = b = 6

Vi fortsetter som følger: vi tegner høyden h og bruker Pythagorean teorem på hypotenuse trekanten «c» og ben h og x:

c ² = h ² + xc ²

Deretter må du beregne verdien på høyden fra dataene (h = b) og den til benet x:

a = b + 2 x ⇒ x = (ab) / 2

Å erstatte de tidligere uttrykkene vi har:

c ² = b ² + (ab) ² /2 ²

Nå blir de numeriske verdiene introdusert, og det er forenklet:

c ² = 62+ (12-6) 2/4

c ² = 62 (1 + ¼) = 62 (5/4)

Å skaffe:

c = 3√5 = 6,71 cm

Løsning b

Omkretsen P = a + b + 2 c

P = 12 + 6 + 6√5 = 6 (8 + √5) = 61,42 cm

Løsning c

Området som en funksjon av høyden og lengden på basene er:

A = h⋅ (a + b) / 2 = 6⋅ (12 + 6) / 2 = 54 cm ²

Løsning d

Vinkelen α som lateralen danner med den større basen oppnås ved trigonometri:

Solbrun (α) = h / x = 6/3 = 2

α = ArcTan (2) = 63,44º

Den andre vinkelen, den som danner lateralen med den mindre basen, er β, som er supplement til α:

β = 180º - α = 180º - 63,44º = 116,56º

referanser

1. EA 2003. Geometrielementer: med øvelser og geometri av kompasset. University of Medellin.
2. Campos, F. 2014. Matematikk 2. Grupo Editorial Patria.
3. Freed, K. 2007. Oppdag polygoner. Benchmark Education Company.
4. Hendrik, V. 2013. Generaliserte polygoner. Birkhauser.
5. Iger. Matematikk Første semester Tacaná. Iger.
6. Jr. geometri. 2014. Polygoner. Lulu Press, Inc.
7. Miller, Heerenveen og Hornsby. 2006. Matematikk: resonnement og applikasjoner. 10. plass. Edition. Pearson Education.
8. Patiño, M. 2006. Matematikk 5. Redaksjonell progreso.
9. Wikipedia. Trapes. Gjenopprettet fra: es.wikipedia.com