SCALENE TREKANT: EGENSKAPER, FORMEL OG OMRÅDER, BEREGNING - MATTE - 2026

En scalene trekant er en polygon med tre sider, som alle har forskjellige mål eller lengder; av den grunn får den navnet scalen, som på latin betyr klatring.

Trekanter er polygoner som anses som de enkleste i geometri, fordi de består av tre sider, tre vinkler og tre hjørner. Når det gjelder den scalene trekanten, ved å ha alle sidene forskjellige, innebærer det at de tre vinklene vil være for.

Kjennetegn på scalen-trekanter

Scalene trekanter er enkle polygoner fordi ingen av sidene eller vinklene deres har samme mål, i motsetning til isosceles og likesidede trekanter.

Fordi alle sidene og vinklene har forskjellige mål, regnes disse trekantene som uregelmessige konvekse polygoner.

Basert på amplituden til de indre vinklene, er scalene trekanter klassifisert som:

• Scalene høyre trekant : alle sider er forskjellige. En av vinklene er riktig (90 ^eller ), og de andre er skarpe og med forskjellige mål.
• Støpt skalen trekant : alle sider er forskjellige og en av vinklene er stump (> 90 ^eller ).
• Scalene akutt trekant : alle sider er forskjellige. Alle vinkler er akutte (<90 ^eller ) med forskjellige mål.

Et annet kjennetegn ved scalene trekanter er at de på grunn av inkongruiteten av sidene og vinklene, ikke har en symmetriakse.

komponenter

Medianen : det er en linje som starter fra midtpunktet på den ene siden og når motsatt toppunkt. De tre medianene møtes på et punkt som kalles barycenter eller centroid.

Halvdelingen : det er en stråle som deler hver vinkel i to vinkler med like stor mål. Halvdelene i en trekant møtes på et punkt som kalles incenter.

Bisektoren : det er et segment vinkelrett på siden av trekanten, som har sitt opphav midt i det. Det er tre bisektorer i en trekant, og de møtes på et punkt som kalles circumcenter.

Høyden : det er linjen som går fra toppunktet til siden som er motsatt, og også denne linjen er vinkelrett på den siden. Alle trekanter har tre høyder som faller sammen på et punkt kalt ortosenteret.

Egenskaper

Scalene trekanter er definert eller identifisert fordi de har flere egenskaper som representerer dem, og stammer fra teoremene som er foreslått av store matematikere. De er:

Indre vinkler

Summen av de indre vinklene er alltid lik 180 ^° .

Summen av sidene

Summen av målingene fra to sider må alltid være større enn målet på den tredje siden, a + b> c.

Inkongruøse sider

Alle sider av skalete trekanter har forskjellige mål eller lengder; det vil si at de er inkongruøse.

Inkongruøse vinkler

Siden alle sidene av den scalene trekanten er forskjellige, vil vinklene være også. Summen av de indre vinklene vil imidlertid alltid være lik 180º, og i noen tilfeller kan en av dens vinkler være stump eller riktig, mens i andre vil alle vinklene være akutte.

Høyde, median, halvering og halvering er ikke tilfeldig

Som enhver trekant har scalene forskjellige linjesegmenter som komponerer det, for eksempel: høyde, median, bisector og bisector.

På grunn av sidens egenart vil ingen av disse linjene sammenfalle i en type trekant i en type.

Ortosenter, barycenter, incenter og circumcenter er ikke tilfeldig

Ettersom høyden, median, bisector og bisector er representert av forskjellige linjesegmenter, i en scalene trekant vil møtepunktene - ortosenteret, incenteret og circumcenter - bli funnet på forskjellige punkter (de faller ikke sammen).

Avhengig av om trekanten er akutt, høyre eller skalen, har ortosenteret forskjellige steder:

til. Hvis trekanten er akutt, vil ortosenteret være inne i trekanten.

b. Hvis trekanten er rett, vil ortosenteret falle sammen med toppunktet på høyre side.

c. Hvis trekanten er stump, vil ortosenteret være på utsiden av trekanten.

Relative høyder

Høyder er relativt til sidene.

Når det gjelder den scalene trekanten, vil disse høydene ha forskjellige målinger. Hver trekant har tre relative høyder og Herons formel brukes til å beregne dem.

Hvordan beregne omkretsen?

Omkretsen til en polygon beregnes ved å legge til sidene.

Siden i dette tilfellet den scalene trekanten har alle sidene med forskjellige mål, vil omkretsen være:

P = side a + side b + side c.

Hvordan beregne området?

Arealet av trekantene beregnes alltid med samme formel, multipliserer basetiden høyde og deler med to:

Areal = (base _* h) ÷ 2

I noen tilfeller er høyden på den scalene trekanten ikke kjent, men det er en formel som ble foreslått av matematikeren Herón, for å beregne området ved å kjenne målet på de tre sidene av en trekant.

Hvor:

• a, b og c, representerer sidene av trekanten.
• sp, tilsvarer halvmåleren av trekanten, det vil si halvparten av omkretsen:

sp = (a + b + c) ÷ 2

Hvis du bare har et mål på to av sidene i trekanten og vinkelen som dannes mellom dem, kan området beregnes ved å bruke de trigonometriske forhold. Så du må:

Areal = (side _* h) ÷ 2

Hvor høyden (h) er produktet fra den ene siden og sinusen i den motsatte vinkelen. For eksempel, for hver side, vil området være:

• Areal = (b _* c _* sin A) ÷ 2
• Areal = (a _* c _* sin B) ÷ 2.
• Areal = (a _* b _* sin C) ÷ 2

Hvordan beregne høyden?

Siden alle sidene av den scalene trekanten er forskjellige, er det ikke mulig å beregne høyden med Pythagorean teorem.

Fra Herons formel, som er basert på målingene av de tre sidene av en trekant, kan området beregnes.

Høyde kan fjernes fra den generelle formelen for området:

Siden erstattes av målet på side a, b eller c.

En annen måte å beregne høyden når verdien av en av vinklene er kjent, er ved å bruke de trigonometriske forholdene, der høyden vil representere et ben av trekanten.

For eksempel, når vinkelen overfor høyden er kjent, vil den bli bestemt av sinusen:

Hvordan beregne sidene?

Når du har mål på to sider og vinkelen overfor dem, er det mulig å bestemme den tredje siden ved å bruke kosinus-teoremet.

I en trekant AB plottes for eksempel høyden i forhold til segment AC. På denne måten er trekanten delt inn i to høyre trekanter.

For å beregne side c (segment AB), bruk Pythagorean teorem for hver trekant:

• For den blå trekanten har vi:

c ² = h ² + m ²

Siden m = b - n, erstatter vi:

c ² = h ² + b ² (b - n) ²

c ² = h ² + b ² - 2 milliarder + n ² .

• For den rosa trekanten må du:

h ² = a ² - n ²

Den er erstattet i forrige ligning:

c ² = a ² - n ² + b ² - 2bn + n ²

c ² = a ² + b ² - 2bn.

Når vi vet at n = a _* cos C, erstattes den i forrige ligning og verdien av side c oppnås:

c ² = a ² + b ² - 2b _* a _* cos C.

Ved Cosines Law kan sidene beregnes som:

• a ² = b ² + c ² - 2b _* c _* cos A.
• b ² = a ² + c ² - 2a _* c _* cos B.
• c ² = a ² + b ² - 2b _* a _* cos C.

Det er tilfeller der målingene på sidene av trekanten ikke er kjent, men snarere deres høyde og vinklene som er dannet ved toppunktene. For å bestemme området i disse tilfellene er det nødvendig å anvende de trigonometriske forhold.

Når man kjenner vinkelen til en av hjørnene, blir bena identifisert og det tilsvarende trigonometriske forholdet brukes:

For eksempel vil benet AB være motsatt for vinkel C, men i tilknytning til vinkel A. Avhengig av siden eller benet som tilsvarer høyden, blir den andre siden tømt for å oppnå verdien av dette.

Øvelser

Første øvelse

Beregn arealet og høyden på den scalene trekanten ABC, vel vitende om at sidene er:

a = 8 cm.

b = 12 cm.

c = 16 cm.

Løsning

Som data er målingene av de tre sidene av den scalene trekanten gitt.

Siden høydeverdien ikke er tilgjengelig, kan området bestemmes ved å bruke Herons formel.

Først beregnes semiperimeteren:

sp = (a + b + c) ÷ 2

sp = (8 cm + 12 cm + 16 cm) ÷ 2

sp = 36 cm ÷ 2

sp = 18 cm.

Nå er verdiene erstattet i Herons formel:

Når du kjenner området, kan høyden i forhold til side b beregnes. Fra den generelle formelen, og fjerne den, har vi:

Areal = (side _* h) ÷ 2

46, 47 cm ² = (12 cm _* t) ÷ 2

h = (2 _* 46,47 cm ² ) ÷ 12 cm

h = 92,94 cm ² ÷ 12 cm

h = 7,75 cm.

Andre øvelse

Gitt den scalene trekanten ABC, hvis mål er:

• Segment AB = 25 moh.
• Segment BC = 15 moh.

I toppunkt B dannes en vinkel på 50º. Beregn høyden i forhold til side c, omkrets og areal av den trekanten.

Løsning

I dette tilfellet har vi målingene av to sider. For å bestemme høyden er det nødvendig å beregne målingen av den tredje siden.

Siden vinkelen motsatt til de gitte sidene er gitt, er det mulig å anvende lov om kosinus for å bestemme målet på siden AC (b):

b ² = a ² + c ² - 2a _* c _* cos B

Hvor:

a = BC = 15 moh.

c = AB = 25 moh.

b = AC.

B = 50 ^o .

Dataene er erstattet:

b ² = (15) ² + (25) ² - 2 _* (15) _* (25) _* cos 50

b ² = (225) + (625) - (750) _* 0,6427

b ² = (225) + (625) - (482,025)

b ² = 367,985

b = √367,985

b = 19,18 moh.

Siden vi allerede har verdien av de tre sidene, beregnes omkretsen av den trekanten:

P = side a + side b + side c

P = 15 m + 25 m + 19, 18 moh

P = 59,18 moh

Nå er det mulig å bestemme området ved å bruke Herons formel, men først må semiperimeteren beregnes:

sp = P ÷ 2

sp = 59,18 m ÷ 2

sp = 29,59 moh.

Målingene av sidene og semiperimeteret er erstattet med Herons formel:

Til slutt å kjenne området, kan høyden i forhold til side c beregnes. Fra den generelle formelen, og fjerne den, må du:

Areal = (side _* h) ÷ 2

143,63 m ² = (25 m _* h) ÷ 2

h = (2 _* 143,63 m ² ) ÷ 25 m

h = 287,3 m ² ÷ 25 m

h = 11,5 moh.

Tredje øvelse

I den scalene trekanten ABC-siden b er 40 cm, siden c er 22 cm, og spissen A, dannes en vinkel 90 ^eller . Beregn området for den trekanten.

Løsning

I dette tilfellet er målene på to sider av den scalene trekanten ABC gitt, samt vinkelen som er dannet i toppunktet A.

For å bestemme området er det ikke nødvendig å beregne målet på side a, siden vinkelen gjennom de trigonometriske forhold brukes til å finne den.

Siden vinkelen overfor høyden er kjent, vil den bli bestemt av produktet fra den ene siden og sinus av vinkelen.

Å erstatte i områdeformelen vi har:

• Areal = (side _* h) ÷ 2
• h = c _* sin A

Areal = (b _* c _* sin A) ÷ 2

Areal = (40 cm _* 22 cm _* sin 90) ÷ 2

Areal = (40 cm _* 22 cm _* 1) ÷ 2

Areal = 880 cm ² ÷ 2

Areal = 440 cm ² .

referanser

1. Álvaro Rendón, AR (2004). Teknisk tegning: aktivitetsnotatbok.
2. Ángel Ruiz, HB (2006). Geometrier. CR-teknologi,.
3. Angel, AR (2007). Elementær algebra. Pearson Education,.
4. Baldor, A. (1941). Algebra. Havana: Kultur.
5. Barbosa, JL (2006). Plane euklidisk geometri. Rio de Janeiro,.
6. Coxeter, H. (1971). Grunnleggende om geometri. Mexico: Limusa-Wiley.
7. Daniel C. Alexander, GM (2014). Elementærgeometri for studenter. Cengage Learning.
8. Harpe, P. d. (2000). Temaer i geometrisk gruppeteori. University of Chicago Press.