ISOSCELES TREKANT: EGENSKAPER, FORMEL OG AREAL, BEREGNING - MATTE - 2026

En liknert trekant er en polygon med tre sider, der to av dem har samme mål og den tredje siden et annet mål. Denne siste siden kalles basen. På grunn av denne egenskapen ble det gitt dette navnet, som på gresk betyr "like ben"

Trekanter er polygoner som anses som de enkleste i geometri, fordi de består av tre sider, tre vinkler og tre hjørner. Det er de som har minst antall sider og vinkler med hensyn til de andre polygonene, men bruken av dem er veldig omfattende.

Kjennetegn på isosceles trekanter

Isosceles trekanten ble klassifisert ved å bruke målet på sidene som en parameter, siden to av sidene er kongruente (de har samme lengde).

Basert på amplituden til de indre vinklene, er likeartede trekanter klassifisert som:

• Isosceles høyre trekant : to av sidene er like. Det ene hjørnet er rett (90 ^eller ) og de andre er de samme (45 ^eller hver)
• Isosceles stump trekant : to av sidene er like. En av vinklene er stump (> 90 ^eller ).
• Isosceles akutt trekant : to av sidene er like. Alle vinklene er akutte (<90 ^eller ) der begge har samme mål.

komponenter

• Medianen : det er en linje som starter fra midtpunktet på den ene siden og når motsatt toppunkt. De tre medianene møtes på et punkt som kalles barycenter eller centroid.
• Halvdelet : det er en stråle som deler vinkelen på hvert toppunkt i to like vinkler. Derfor er den kjent som symmetriaksen, og denne typen trekanter har bare en.
• Bisektoren : det er et segment vinkelrett på siden av trekanten, som har sitt opphav midt i det. Det er tre medikamenter i en trekant, og de møtes på et punkt som kalles circumcenter.
• Høyden : det er linjen som går fra toppunktet til siden som er motsatt, og også denne linjen er vinkelrett på den siden. Alle trekanter har tre høyder, som faller sammen på et punkt som kalles ortosenteret.

Egenskaper

Isosceles trekanter er definert eller identifisert fordi de har flere egenskaper som representerer dem, og stammer fra teoriene foreslått av store matematikere:

Indre vinkler

Summen av de indre vinklene er alltid lik 180 ^° .

Summen av sidene

Summen av målingene fra to sider må alltid være større enn målet på den tredje siden, a + b> c.

Congruente sider

Isosceles trekanter har to sider med samme mål eller lengde; det vil si at de er kongruente og den tredje siden er forskjellig fra disse.

Congruente vinkler

Isosceletrekanter er også kjent som isoangle trekanter, fordi de har to vinkler som har samme mål (kongruent). Disse er plassert ved bunnen av trekanten, motsatt av sidene som har samme lengde.

På grunn av dette ble teoremet generert som sier at:

"Hvis en trekant har to kongruente sider, vil vinklene overfor disse sidene også være kongruente." Derfor, hvis en trekant er ensben, er vinklene på basene kongruente.

Eksempel:

Følgende figur viser en trekant ABC. Ved å trekke halvlinjen fra toppunktet av vinkel B til basen, er trekanten delt inn i to like trekanter BDA og BDC:

På denne måten ble også vinkelen til toppunkt B delt i to like vinkler. Bisektoren er nå den vanlige siden (BD) mellom de to nye trekantene, mens sidene AB og BC er de kongruente sider. Dermed har vi tilfellet side, vinkel, side (LAL) kongruens.

Dette viser at vinklene til hjørnene A og C har samme mål, i tillegg til at det også kan vises at siden trekantene BDA og BDC er kongruente, er sidene AD og DC også kongruente.

Høyde, median, halvering og halvering er sammenfallende

Linjen som trekkes fra toppunktet motsatt sokkelen til midtpunktet for sokkelen av likebærtrekanten, er samtidig høyden, medianen og halvlinjen, så vel som halvdelen i forhold til motsatt vinkel på basen.

Alle disse segmentene sammenfaller i et som representerer dem.

Eksempel:

Følgende figur viser trekanten ABC med et midtpunkt M som deler basen i to segmenter BM og CM.

Ved å tegne et segment fra punkt M til motsatt toppunkt oppnås per definisjon median AM, som er relativt til toppunkt A og side f.Kr.

Ettersom segment AM deler trekant ABC i to like store trekanter AMB og AMC, betyr det at tilfellet kongruens side, vinkel, side vil være hatt, og derfor vil AM også være halvering av BÂC.

Derfor vil halvlinjen alltid være lik medianen og omvendt.

Segment AM danner vinkler som har samme mål for trekanter AMB og AMC; det vil si at de er supplerende på en slik måte at målet for hver enkelt vil være:

Med. (AMB) + Med. (AMC) = 180 ^eller

2 _* Med. (AMC) = 180 ^eller

Med. (AMC) = 180 ^eller ÷ 2

Med. (AMC) = 90 ^eller

Det kan være kjent at vinklene dannet av AM-segmentet i forhold til basen av trekanten er rette, noe som indikerer at dette segmentet er helt vinkelrett på basen.

Derfor representerer den høyden og halvparten, vel vitende om at M er midtpunktet.

Derfor linjen AM:

• Representerer på høyden f.Kr.
• Er middels størrelse.
• Det er inne i bisektoren av BC.
• Det er halvparten av toppunktets vinkel Â

Relative høyder

Høyder som er i forhold til like sider har også samme måling.

Siden isosceles trekanten har to like sider, vil deres to respektive høyder også være like.

Ortocenter, barycenter, incenter og coincident circumcenter

Ettersom høyden, median, bisector og bisector relativt til basen, samtidig er representert av samme segment, vil ortosenteret, barycenter incenter og circumcenter være kollinære punkter, det vil si at de blir funnet på samme linje:

Hvordan beregne omkretsen?

Omkretsen til en polygon beregnes ved å legge til sidene.

Som i dette tilfellet har isosceles-trekanten to sider med samme mål, beregnes omkretsen med følgende formel:

P = 2 _* (side a) + (side b).

Hvordan beregne høyden?

Høyden er linjen vinkelrett på basen, den deler trekanten i to like store deler når den strekker seg til motsatt toppunkt.

Høyden representerer det motsatte beinet (a), midten av basen (b / 2) det tilstøtende benet og siden "a" representerer hypotenusen.

Ved bruk av Pythagorean teorem kan høydens verdi bestemmes:

a ² + b ² = c ²

Hvor:

a ² = høyde (h).

b ² = b / 2.

c ² = side a.

Ved å erstatte disse verdiene i Pythagorean teorem, og løse høyden, har vi:

h ² + (b / 2) ² = a ²

h ² + b ² /4 = en ²

h ² = en ² - b ² /4

h = √ (en ² - b ² /4).

Hvis vinkelen dannet av de kongruente sidene er kjent, kan høyden beregnes med følgende formel:

Hvordan beregne området?

Arealet av trekantene beregnes alltid med samme formel, multipliserer basen med høyde og deler med to:

Det er tilfeller der bare målingene av to sider av trekanten og vinkelen dannet mellom dem er kjent. I dette tilfellet, for å bestemme området, er det nødvendig å anvende de trigonometriske forhold:

Hvordan beregne basen av trekanten?

Siden likebær trekanten har to like sider, for å bestemme verdien av basen, trenger du minst å vite høydemålet eller en av vinklene.

Når du kjenner høyden, brukes Pythagorean teorem:

a ² + b ² = c ²

Hvor:

a ² = høyde (h).

c ² = side a.

b ² = b / 2, er ukjent.

Vi isolerer b ² fra formelen, og vi har:

b ² = a ² - c ²

b = √ a ² - c ²

Siden denne verdien tilsvarer halve basen, må den multipliseres med to for å oppnå det fullstendige mål for basen i likebærtrekanten:

b = 2 _* (√ a ² - c ² )

I tilfelle at bare verdien av dens like sider og vinkelen mellom dem er kjent, blir trigonometri brukt, og tegnet en linje fra toppunktet til basen som deler likebærtrekanten i to høyre trekanter.

På denne måten beregnes halvparten av basen med:

Det er også mulig at bare verdien av høyden og vinkelen på toppunktet som ligger overfor basen er kjent. I så fall kan basen bestemmes ved trigonometri:

Øvelser

Første øvelse

Finn området for likebens trekanten ABC, vel vitende om at to av sidene er 10 cm og den tredje siden er 12 cm.

Løsning

For å finne området til trekanten, er det nødvendig å beregne høyden ved å bruke arealformelen som er relatert til Pythagorean teorem, siden verdien av vinkelen dannet mellom de like sidene ikke er kjent.

Vi har følgende data om likebensetrekanten:

• Like sider (a) = 10 cm.
• Sokkel (b) = 12 cm.

Verdiene er erstattet med formelen:

Andre øvelse

Lengden på de to like sidene av en likeblant trekant er 42 cm, forening av disse sidene danner en vinkel på 130 ^eller . Bestem verdien på den tredje siden, området til den trekanten og omkretsen.

Løsning

I dette tilfellet er målingene av sidene og vinkelen mellom dem kjent.

For å kjenne verdien på den manglende siden, det vil si basen til den trekanten, trekkes en linje vinkelrett på den, som deler vinkelen i to like store deler, en for hver høyre trekant som er dannet.

• Like sider (a) = 42 cm.
• Vinkel (Ɵ) = 130 ^o

Ved trigonometri beregnes nå verdien av halvparten av basen, som tilsvarer halvparten av hypotenusen:

For å beregne området er det nødvendig å vite høyden på den trekanten, som kan beregnes ved hjelp av trigonometri eller av Pythagorean teorem, nå som verdien av basen allerede er bestemt.

Ved trigonometri vil det være:

Omkretsen beregnes:

P = 2 _* (side a) + (side b).

P = 2 _* (42 cm) + (76 cm)

P = 84 cm + 76 cm

P = 160 cm.

Tredje øvelse

Beregn de innvendige vinklene i likebens trekanten, vel vitende om at vinkelen til sokkelen er  = 55 ^eller

Løsning

For å finne de to manglende vinklene (Ê og Ô) er det nødvendig å huske to egenskaper ved trekanter:

• Summen av de indre vinklene i hver trekant vil alltid være = 180 ^eller :

 + Ê + Ô = 180 ^eller

• I en ensartet trekant er vinklene på basen alltid kongruente, det vil si at de har samme mål, derfor:

 = Ô

Ê = 55 ^eller

For å bestemme verdien av vinkelen Ê, erstatter vi verdiene til de andre vinklene i den første regelen og løser for Ê:

55 ^eller + 55 ^eller + Ô = 180 ^eller

110 ^eller + Ô = 180 ^eller

Ô = 180 ^o - 110 ^o

Ô = 70 ^o .

referanser

1. Álvarez, E. (2003). Elementer i geometri: med mange øvelser og geometri av kompasset. University of Medellin.
2. Álvaro Rendón, AR (2004). Teknisk tegning: aktivitetsnotatbok.
3. Angel, AR (2007). Elementær algebra. Pearson Education.
4. Arthur Goodman, LH (1996). Algebra og trigonometri med analytisk geometri. Pearson Education.
5. Baldor, A. (1941). Algebra. Havana: Kultur.
6. José Jiménez, LJ (2006). Matematikk 2.
7. Tuma, J. (1998). Ingeniør Matematikk Håndbok. Wolfram MathWorld.