TRINOMIAL AV FORMEN X ^ 2 + BX + C (MED EKSEMPLER) - MATTE - 2026

Før du lærer å løse trinomialet av formen x ^ 2 + bx + c , og selv før du kjenner til et trinomialt, er det viktig å kjenne til to viktige forestillinger; nemlig begrepene monomial og polynom. Et monomial er et uttrykk av typen a * x ⁿ , hvor a er et rasjonelt tall, n er et naturlig tall og x er en variabel.

Et polynom er en lineær kombinasjon av monomer av formen a _n * x ⁿ + a _n-1 * x ^n-1 +… + a ₂ * x ² + a ₁ * x + a ₀ , der hver a _i , med i = 0, …, n, er et rasjonelt tall, n er et naturlig tall og a_n er ikke-null. I dette tilfellet sies graden av polynomet å være n.

Et polynom dannet av summen av bare to betegnelser (to monomer) i forskjellige grader er kjent som en binomial.

trinomials

Et polynom dannet av summen av bare tre begreper (tre monomer) i forskjellige grader er kjent som et trinomial. Følgende er eksempler på trinomer:

• x ³ + x ² + 5x
• 2x ⁴ -x ³ +5
• x ² + 6x + 3

Det er flere typer trinomials. Av disse skiller den perfekte firkantede trinomial seg ut.

Perfekt firkantet trinomial

En perfekt kvadratisk treenighet er resultatet av å kvadratere en binomial. For eksempel:

• (3x-2) ² = 9x ² -12x + 4
• (2x ³ + y) ² = 4x ⁶ + 4x ³ y + y ²
• (4x ² -2y ⁴ ) ² = 16x ⁴ -16x ² y ⁴ + 4y ⁸
• 1 / 16x ² y ⁸ -1 / 2xy ⁴ z + z ² = (1 / 4xy ⁴ ) ² -2 (1 / 4xy ⁴ ) z + z ² = (1 / 4xy ^4- z) ²

Kjennetegn på trinomier av klasse 2

Perfekt firkant

Generelt er et trinomial av formen aks ² + bx + c et perfekt kvadrat hvis diskriminanten er lik null; det vil si hvis b ² -4ac = 0, siden den i dette tilfellet vil ha en enkelt rot, og den kan uttrykkes i formen a (xd) ² = (√a (xd)) ² , der d er roten som allerede er nevnt.

En rot av et polynom er et tall der polynomet blir null; med andre ord et tall som, når du erstatter x i det polynome uttrykk, resulterer i null.

Løsende formel

En generell formel for å beregne røttene til et andregrads polynom av formen ax ² + bx + c er oppløsningsformelen, som sier at disse røttene er gitt av (–b ± √ (b ² -4ac)) / 2a, hvor b ² -4ac er kjent som den diskriminanten og blir vanligvis merket med Δ. Fra denne formelen følger det at øks ² + bx + c har:

- To forskjellige virkelige røtter hvis ∆> 0.

- En enkelt ekte rot hvis ∆ = 0.

- Det har ingen reell rot om ∆ <0.

I det følgende vil bare trinomier av formen x ² + bx + c bli vurdert, der tydelig c må være et annet tall enn null (ellers vil det være en binomial). Disse typene trinomialer har visse fordeler når de fabrikker og opererer med dem.

Geometrisk tolkning

Geometrisk den trinomial x ² + bx + c er en parabel som åpner oppover og har toppunktet ved punkt (-b / 2-b ² /4 + c) i det kartesiske plan som x ² + bx + c = ( x + b / 2) ² -b ² /4 + c.

Denne parabolen skjærer Y-aksen på punktet (0, c) og X-aksen på punktene (d ₁ , 0) og (d ₂ , 0); da er d ₁ og d ₂ røttene til trinomialet. Det kan skje at trinomialet har en enkel rot d, i så fall ville det eneste snittet med X-aksen være (d, 0).

Det kan også hende at trinomialet ikke har noen reell rot, i hvilket tilfelle det ikke vil skjære X-aksen på noe punkt.

For eksempel er x ² + 6x + 9 = (x + 3) ² -9 + 9 = (x + 3) ² parabolen med toppunktet ved (-3,0), som skjærer Y-aksen ved (0, 9) og til X-aksen ved (-3,0).

Trinom factoring

Et veldig nyttig verktøy når du arbeider med polynomer er factoring, som består i å uttrykke et polynom som et produkt av faktorer. Generelt, gitt en trinomial av formen x ² + bx + c, hvis den har to forskjellige røtter d ₁ og d ₂ , kan den betraktes som (xd ₁ ) (xd ₂ ).

Hvis den har en enkelt rot d, kan den betraktes som (xd) (xd) = (xd) ² , og hvis den ikke har noen reell rot, forblir den den samme; i dette tilfellet innrømmer det ikke en faktorisering som et produkt av andre faktorer enn seg selv.

Dette betyr at når man kjenner til et trinomials røtter i den allerede etablerte formen, kan dens faktorisering lett uttrykkes, og som allerede nevnt ovenfor, kan disse røttene alltid bestemmes ved å bruke oppløsningen.

Imidlertid er det en betydelig mengde av denne typen trinomials som kan tas i betraktning uten først å vite deres røtter, noe som forenkler arbeidet.

Røttene kan bestemmes direkte fra faktoriseringen uten å bruke oppløsningsformelen; dette er polynomene med formen x ² + (a + b) x + ab. I dette tilfellet har vi:

x ² + (a + b) x + ab = x ² + aks + bx + ab = x (x + a) + b (x + a) = (x + b) (x + a).

Fra dette ser man lett at røttene er –a og –b.

Med andre ord gitt et trinomial x ² + bx + c, hvis det er to tall u og v slik at c = uv og b = u + v, så er x ² + bx + c = (x + u) (x + v).

Det vil si at gitt en trinomial x ² + bx + c, blir det først bekreftet om det er to tall slik at ganget de gir det uavhengige uttrykket (c) og lagt til (eller trukket fra, avhengig av tilfelle), gir de uttrykket som følger med x ( b).

Ikke med alle trinomer på denne måten denne metoden kan brukes; der det ikke er mulig, blir oppløsningen brukt og det nevnte gjelder.

eksempler

Eksempel 1

For å faktorere følgende trinomial x ² + 3x + 2, gjør du som følger:

Du må finne to tall slik at når du legger dem til blir resultatet 3, og når du multipliserer dem er resultatet 2.

Etter å ha foretatt en inspeksjon kan det konkluderes med at de søkte tallene er: 2 og 1. Derfor er x ² + 3x + 2 = (x + 2) (x + 1).

Eksempel 2

For å faktorere trinomialet x ² -5x + 6, ser vi etter to tall hvis sum er -5 og deres produkt er 6. Tallene som tilfredsstiller disse to betingelsene er -3 og -2. Derfor er faktoriseringen av det gitte trinomet x ² -5x + 6 = (x-3) (x-2).

referanser

1. Fuentes, A. (2016). GRUNNLIG matematikk. En introduksjon til kalkulus. Lulu.com.
2. Garo, M. (2014). Matematikk: kvadratiske ligninger: Hvordan løse en kvadratisk ligning. Marilù Garo.
3. Haeussler, EF, & Paul, RS (2003). Matematikk for ledelse og økonomi. Pearson Education.
4. Jiménez, J., Rofríguez, M., & Estrada, R. (2005). Matematikk 1 SEP. Terskel.
5. Preciado, CT (2005). Matematikkurs 3. Redaksjonell progreso.
6. Rock, NM (2006). Algebra I Is Easy! Så lett. Team Rock Press.
7. Sullivan, J. (2006). Algebra og trigonometri. Pearson Education.