KONTINUERLIG VARIABEL: EGENSKAPER, EKSEMPLER OG ØVELSER - FYSISK - 2026

Den kontinuerlige variabelen er en som kan ta et uendelig antall tallverdier mellom to gitte verdier, selv om disse to verdiene er vilkårlig nære. De brukes til å beskrive målbare attributter; for eksempel høyde og vekt. Verdiene som en kontinuerlig variabel tar, kan være rasjonelle tall, reelle tall eller komplekse tall, selv om sistnevnte tilfelle er sjeldnere i statistikken.

Hovedtrekk ved kontinuerlige variabler er at mellom to rasjonelle eller reelle verdier alltid en annen kan finnes, og mellom den andre og den første en annen verdi kan finnes, og så videre på ubestemt tid.

Figur 1. Kurven representerer en kontinuerlig fordeling og stengene en diskret. Kilde: pixabay

Anta for eksempel at variabel vekt i en gruppe der den tyngste veier 95 kg og den laveste veier 48 kg; det vil være variabelen og antallet mulige verdier er uendelig.

For eksempel mellom 50,00 kg og 50,10 kg kan være 50,01. Men mellom 50,00 og 50,01 kan være tiltaket 50,005. Det er en kontinuerlig variabel. På den annen side, hvis det i den mulige vektmåling ble oppnådd en presisjon med en desimal, ville variabelen som ble brukt, være diskret.

Kontinuerlige variabler hører til kategorien kvantitative variabler, fordi de har en numerisk verdi tilknyttet. Med denne numeriske verdien er det mulig å utføre matematiske operasjoner som spenner fra aritmetiske til uendelig store beregningsmetoder.

eksempler

De fleste variablene i fysikk er kontinuerlige variabler, blant dem kan vi navngi: lengde, tid, hastighet, akselerasjon, energi, temperatur og andre.

Kontinuerlige variabler og diskrete variabler

I statistikk kan ulike typer variabler defineres, både kvalitative og kvantitative. Kontinuerlige variabler hører til sistnevnte kategori. Hos dem er det mulig å utføre aritmetiske og beregningsoperasjoner.

For eksempel er variabelen h, tilsvarende personer med høyde mellom 1,50 m og 1,95 m, en kontinuerlig variabel.

La oss sammenligne denne variabelen med denne: antallet ganger en myntkast kommer opp, som vi vil kalle n.

Variabelen n kan ta verdier mellom 0 og uendelig, men n er ikke en kontinuerlig variabel siden den ikke kan ta verdien 1.3 eller 1.5, fordi mellom verdiene 1 og 2 er det ingen andre. Dette er et eksempel på en diskret variabel.

Kontinuerlig variasjon trening

Tenk på følgende eksempel: en maskin produserer fyrstikk og pakker dem i esken. To statistiske variabler er definert:

Den nominelle kamplengden er 5,0 cm med en toleranse på 0,1 cm. Antall kamper per boks er 50 med en toleranse på 3.

a) Angi verdiene som L og N kan ta.

b) Hvor mange verdier kan L ta?

c) Hvor mange verdier kan ikke ta?

Oppgi i hvert tilfelle om det er en diskret eller kontinuerlig variabel.

Løsning

Verdiene til L er i området; det vil si at verdien til L er i intervallet og variabelen L kan ta uendelige verdier mellom disse to målingene. Det er da en kontinuerlig variabel.

Verdien av variabel n er i intervallet. Variabelen n kan bare ta 6 mulige verdier i toleranseintervallet, det er da en diskret variabel.

Trening av

Hvis, i tillegg til å være kontinuerlige, verdiene tatt av variabelen har en viss sannsynlighet for forekomst knyttet til dem, er det en kontinuerlig tilfeldig variabel. Det er veldig viktig å skille om variabelen er diskret eller kontinuerlig, siden de sannsynlighetsmodellene som gjelder for det ene og det andre er forskjellige.

En kontinuerlig tilfeldig variabel er fullstendig definert når verdiene den kan anta, og sannsynligheten for at hver og en av dem har for å skje, er kjent.

-Trening 1 av sannsynligheter

Matchmaker gjør dem på en slik måte at pinnenes lengde alltid er mellom verdiene 4,9 cm og 5,1 cm, og null utenfor disse verdiene. Det er sannsynlighet for å få en pinne som måler mellom 5.00 og 5.05 cm, selv om vi også kunne trekke ut en på 5.0003 cm. Er disse verdiene like sannsynlige?

Løsning

Anta at sannsynlighetstettheten er jevn. Sannsynlighetene for å finne en kamp med en viss lengde er listet nedenfor:

-Til en kamp som er i området har sannsynlighet = 1 (eller 100%), siden maskinen ikke trekker fyrstikker utenfor disse verdiene.

-Finne en fyrstikk som er mellom 4,9 og 5,0 har sannsynlighet = ½ = 0,5 (50%), siden det er halve lengden av lengden.

-Og sannsynligheten for at kampen har lengde mellom 5,0 og 5,1 er også 0,5 (50%)

-Det er kjent at det ikke er fyrstikkpinner som har en lengde mellom 5,0 og 5,2. Sannsynlighet: null (0%).

Sannsynlighet for å finne en tannpirker i et bestemt område

La oss nå observere følgende sannsynligheter P for å få tak i pinner hvis lengde er mellom l ₁ og l ₂ :

-P at en kamp har en lengde mellom 5.00 og 5.05 er betegnet som P ():

-P at bakken har lengde mellom 5.00 og 5.01 er:

-P at bakken har en lengde mellom 5000 og 5 001 er enda mindre:

Hvis vi fortsetter å redusere intervallet for å komme nærmere 5.00, er sannsynligheten for at en tannstikker er nøyaktig 5,00 cm null (0%). Det vi har er sannsynligheten for å finne en kamp innenfor et visst område.

Sannsynlighet for å finne flere tannpirkere i et gitt område

Hvis hendelsene er uavhengige, er sannsynligheten for at to tannpirkere er innenfor et visst område, produktet av sannsynlighetene deres.

-Sannsynligheten for at to spisepinner er mellom 5,0 og 5,1 er 0,5 * 0,5 = 0,25 (0,25%)

-Sannsynligheten for at 50 tannpirkere er mellom 5,0 og 5,1 er (0,5) ^ 50 = 9 × 10 ^ -16, det vil si nesten null.

-Sannsynligheten for at 50 tannpirkere er mellom 4,9 og 5,1 er (1) ^ 50 = 1 (100%)

-Øvelse 2 av sannsynligheter

I forrige eksempel ble antagelsen antatt at sannsynligheten er ensartet i det gitte intervallet, men dette er ikke alltid tilfelle.

Når det gjelder selve maskinen som produserer tannpirkere, er sjansen for at tannpirkeren er i sentrumsverdi større enn den er ved en av de ekstreme verdiene. Fra et matematisk synspunkt er dette modellert med en funksjon f (x) kjent som sannsynlighetstettheten.

Sannsynligheten for at målet L er mellom a og b blir beregnet ved å bruke det bestemte integralet av funksjonen f (x) mellom a og b.

Anta som et eksempel at vi ønsker å finne funksjonen f (x), som representerer en jevn fordeling mellom verdiene 4.9 og 5.1 fra oppgave 1.

Hvis sannsynlighetsfordelingen er jevn, er f (x) lik konstanten c, som bestemmes ved å ta integralen mellom 4.9 og 5.1 av c. Siden dette integralet er sannsynligheten, må resultatet være 1.

Figur 2. Ensartet sannsynlighetstetthet. (Egen utdyping)

Dette betyr at c er verdt 1 / 0,2 = 5. Det vil si at den ensartede sannsynlighetstetthetsfunksjonen er f (x) = {5 hvis 4.9≤x≤5.1 og 0 utenfor dette området. En enhetlig sannsynlighetstetthetsfunksjon er vist i figur 2.

Legg merke til hvordan i intervaller med samme bredde (for eksempel 0,02) er sannsynligheten den samme i midten som på slutten av området for den kontinuerlige variabelen L (tannpirkerlengde).

En mer realistisk modell vil være en sannsynlighetstetthetsfunksjon som følgende:

Figur 3. Ikke-ensartet sannsynlighetstetthetsfunksjon. (Egen utdyping)

I figur 3 kan det sees hvordan sannsynligheten for å finne tannpirkere mellom 4,99 og 5,01 (bredde 0,02) er større enn for å finne tannpirkere mellom 4,90 og 4,92 (bredde 0,02)

referanser

1. Dinov, Ivo. Diskrete tilfeldige variabler og sannsynlighetsfordelinger. Hentet fra: stat.ucla.edu
2. Diskrete og kontinuerlige tilfeldige variabler. Hentet fra: ocw.mit.edu
3. Diskrete tilfeldige variabler og sannsynlighetsfordelinger. Hentet fra: hjemmeside.divms.uiowa.edu
4. H. Pishro. Introduksjon til sannsynlighet. Gjenopprettet fra: sannsynlighetskurs.com
5. Mendenhall, W. 1978. Statistikk for ledelse og økonomi. Grupo Editorial Iberoamericana. 103-106.
6. Tilfeldige variabler Problemer og sannsynlighetsmodeller. Gjenopprettet fra: ugr.es.
7. Wikipedia. Kontinuerlig variabel. Gjenopprettet fra wikipedia.com
8. Wikipedia. Statistisk variabel. Gjenopprettet fra wikipedia.com.