VEKTOR: EGENSKAPER OG EGENSKAPER, ELEMENTER, TYPER, EKSEMPLER - VITENSKAP - 2026

De vektorer som er matematiske enheter som har en generelt ledsaget av en måleenhet -positiva- størrelse og retning brønn. Slike egenskaper er veldig passende for å beskrive fysiske mengder som hastighet, kraft, akselerasjon og mange flere.

Med vektorer er det mulig å utføre operasjoner som tillegg, subtraksjon og produkter. Inndeling er ikke definert for vektorer, og som for produktet er det tre klasser som vi vil beskrive senere: prikkprodukt eller punkt, vektorprodukt eller kryss og produkt av en skalær med en vektor.

Figur 1. Elementene i en vektor. Kilde: Wikimedia Commons.

For å fullstendig beskrive en vektor, må alle dens egenskaper være angitt. Størrelsen eller modulen er en numerisk verdi ledsaget av en enhet, mens retningen og sansen er etablert ved hjelp av et koordinatsystem.

La oss se på et eksempel: anta at et fly flyr fra en by til en annen med en hastighet på 850 km / t i NE retning. Her har vi en fullt spesifisert vektor, siden størrelsen er tilgjengelig: 850 km / t, mens retningen og sansen er NE.

Vektorer er vanligvis representert grafisk av orienterte linjesegmenter, hvis lengde er proporsjonal med størrelsen.

For å spesifisere retningen og betydningen det kreves en referanselinje, som vanligvis er den horisontale aksen, selv om nord også kan tas som en referanse, er dette tilfellet med flyets hastighet:

Figur 2. En hastighetsvektor. Kilde: F. Zapata.

Figuren viser hastighetsvektoren til planet, betegnet som v i fet skrift , for å skille det fra en skalær mengde, som bare krever en numerisk verdi og en enhet som skal spesifiseres.

Elementer av en vektor

Som vi har sagt, er elementene i vektoren:

-Magnitude eller modul, noen ganger også kalt absolutt verdi eller norm for vektoren.

-Adresse

-Føle

I eksemplet i figur 2 er modulen til v 850 km / t. Modulen er angitt som v uten fet skrift, eller som - v -, der stolpene representerer den absolutte verdien.

Retningen på v er spesifisert i forhold til Nord. I dette tilfellet er det 45º nord for øst (45 º NØ). Til slutt informerer pilens spiss om følelsen av v .

I dette eksemplet er opprinnelsen til vektoren trukket sammen med opprinnelsen O til koordinatsystemet, dette er kjent som en koblet vektor. På den annen side, hvis opprinnelsen til vektoren ikke faller sammen med referansesystemets, sies det å være en fri vektor.

Det skal bemerkes at for å spesifisere vektoren fullstendig, må disse tre elementene noteres, ellers vil beskrivelsen av vektoren være ufullstendig.

Rektangulære komponenter i en vektor

Figur 3. Rektangulære komponenter av en vektor i planet. Kilde: Wikimedia Commons. uranther

På bildet har vi tilbake vårt eksempelvektor v , som er i xy-planet.

Det er lett å se at fremspringene av v på x- og y-koordinateaksene bestemmer en riktig trekant. Disse fremspringene er v _{y og} v _x og kalles rektangulære komponenter av v .

En måte å betegne v med sine rektangulære komponenter er på denne måten : v =x, v _og >. Disse parentesene brukes i stedet for parenteser for å understreke det faktum at det er en vektor og ikke en periode, siden i dette tilfellet parenteser vil bli brukt.

Hvis vektoren er i tredimensjonalt rom, trengs en komponent til, slik at:

v =x, v _y , v _z >

Å vite de rektangulære komponentene av størrelsen på vektoren blir beregnet, tilsvarende å finne hypotenusen i den rettvinklet trekant hvis ben er v _x og v _{og ,.} Ved hjelp av Pythagorean teorem følger det at:

Polar form av en vektor

Når størrelsen på vektoren - v - og vinkelen θ som den gjør med referanseaksen, generelt den horisontale aksen, er kjent, er vektoren også spesifisert. Vektoren sies da å uttrykkes i polar form.

De rektangulære komponentene i dette tilfellet beregnes enkelt:

I henhold til det ovennevnte, vil de rektangulære komponentene i hastighetsvektoren v i planet være:

typer

Det er flere typer vektorer. Det er vektorer med hastighet, posisjon, forskyvning, kraft, elektrisk felt, momentum og mange flere. Som vi allerede har sagt, er det i fysikk et stort antall vektormengder.

Når det gjelder vektorer som har visse egenskaper, kan vi nevne følgende typer vektorer:

-Null : dette er vektorer som har en størrelse på 0 og som er betegnet som 0. Husk at den dristige bokstaven symboliserer de tre grunnleggende egenskapene til en vektor, mens normalbokstaven bare representerer modulen.

For eksempel, på en kropp i statisk likevekt, må summen av krefter være en nullvektor.

- Gratis og koblede : frie vektorer er de hvis opprinnelses- og ankomstpunkter er et hvilket som helst par punkter i planet eller rommet, i motsetning til koblede vektorer, hvis opprinnelse sammenfaller med referansesystemet som brukes for å beskrive dem.

Paret eller øyeblikket produsert av et par krefter er et godt eksempel på en fri vektor, siden paret ikke gjelder noe bestemt punkt.

- Equipolentes : de er to frie vektorer som har identiske egenskaper. Derfor har de lik størrelse, retning og sans.

- Coplanar eller coplanar : vektorer som tilhører samme plan.

- Motsetninger : vektorer med samme størrelse og retning, men motsatte retninger. Vektoren overfor en vektor v er vektoren - v og summen av begge er nullvektoren: v + (- v ) = 0 .

- Samtidig : vektorer hvis handlingslinjer alle går gjennom samme punkt.

- Glidebrytere : er de vektorene hvis applikasjonspunkt kan gli langs en bestemt linje.

- Collinear : vektorer som ligger på samme linje.

- Unitary : de vektorene hvis modul er 1.

Ortogonale enhetsvektorer

Det er en veldig nyttig type vektor i fysikk kalt en ortogonal enhetsvektor. Den ortogonale enhetsvektoren har en modul lik 1 og enhetene kan være hvilken som helst, for eksempel de med hastighet, posisjon, kraft eller andre.

Det er et sett med spesielle vektorer som hjelper til med å representere andre vektorer enkelt og utføre operasjoner med dem: de er de ortogonale enhetsvektorene i , j og k , enheten og vinkelrett på hverandre.

I to dimensjoner er disse vektorene rettet langs den positive retningen til både x-aksen og y-aksen. Og i tre dimensjoner legges en enhetsvektor i retning av den positive z-aksen. De er representert som følger:

i = <1, 0,0>

j = <0,1,0>

k = <0,0,1>

En vektor kan være representert av enhetsvektorene i , j og k som følger:

v = v _x i + v _y j + v _z k

For eksempel kan hastighetsvektoren v i de foregående eksemplene skrives som:

v = 601.04 i + 601.04 j km / t

Komponenten i k er ikke nødvendig, siden denne vektoren er i planet.

Vector tillegg

Summen av vektorer vises veldig ofte i forskjellige situasjoner, for eksempel når du vil finne den resulterende kraften på et objekt som er påvirket av forskjellige krefter. For å begynne, antar vi at vi har to frie vektorer u og v på planet, som vist i følgende figur til venstre:

Figur 4. Grafisk sum av to vektorer. Kilde: Wikimedia Commons. Lluc cabanach.

Den overføres umiddelbart forsiktig til vektoren v , uten å endre dens størrelse, retning eller sans, slik at dens opprinnelse sammenfaller med slutten av u .

Vektorsummen kalles w og tegnes fra u som slutter i v , i henhold til riktig figur. Det er viktig å merke seg at størrelsen på vektoren w ikke nødvendigvis er summen av størrelsene på v og u .

Hvis du tenker nøye på det, er den eneste gangen størrelsen på den resulterende vektoren er summen av størrelsene på addendene når begge addendene er i samme retning og har samme mening.

Og hva skjer hvis vektorene ikke er frie? Det er også veldig enkelt å legge dem til. Måten å gjøre det på er ved å legge til komponent til komponent, eller analysemetode.

La oss som et eksempel vurdere vektorene i figuren nedenfor, det første er å uttrykke dem på en av de kartesiske måtene som tidligere er forklart:

Figur 5. Summen av to koblede vektorer. Kilde: Wikimedia Commons.

v = <5.1>

u = <2,3>

For å få x-komponenten til sumvektoren w , legg til de respektive x-komponentene av v og u : w _x = 5 + 2 = 7. Og for å oppnå w _y av en analog prosedyre: w _y = 1 + 3. Og dermed:

u = <7.4>

Egenskaper ved vektortilsetning

- Summen av to eller flere vektorer resulterer i en annen vektor.

-Det er kommutativt, rekkefølgen på tilleggene endrer ikke summen, på en slik måte at:

u + v = v + u

- Det nøytrale elementet i summen av vektorer er nullvektoren: v + 0 = v

- Trekkingen av to vektorer er definert som summen av det motsatte: v - u = v + (-u)

Vektoreksempler

Som vi har sagt, det er mange vektorkvantiteter i fysikk. Blant de mest kjente er:

-Posisjon

-Displacement

-Gjennomfør hastighet og øyeblikkelig hastighet

-Akselerasjon

-Makt

-Masse bevegelse

-Tork eller øyeblikk av en styrke

-Impuls

-Elektrisk felt

-Magnetfelt

-Magnetisk øyeblikk

På den annen side er de ikke vektorer, men skalarer:

-Vær

-Masse

-Temperatur

-Volum

element-tetthet

-Mekanisk arbeid

-Energi

-Varmt

-Makt

-Spenning

-Elektrisk strøm

Andre operasjoner mellom vektorer

I tillegg til tillegg og subtraksjon av vektorer, er det tre andre veldig viktige operasjoner mellom vektorer, fordi de gir opphav til nye veldig viktige fysiske mengder:

-Produksjon av en skalær av en vektor.

-Prikkproduktet eller prikkproduktet mellom vektorer

-Og kors- eller vektorproduktet mellom to vektorer.

Produkt av en skalar og en vektor

Tenk på Newtons andre lov, som sier at styrken F og akselerasjonen a er proporsjonal. Proportionalitetskonstanten er massen m av objektet, derfor:

F = m. til

Masse er en skalær; for deres del er kraft og akselerasjon vektorer. Siden kraft oppnås ved å multiplisere masse med akselerasjon, er det resultatet av produktet av en skalær og en vektor.

Denne typen produkter resulterer alltid i en vektor. Her er et annet eksempel: bevegelsesmengden. La P være momentumvektoren, v hastighetsvektoren, og som alltid er m massen:

P = m. v

Prikkprodukt eller prikkprodukt mellom vektorer

Vi har plassert mekanisk arbeid på listen over mengder som ikke er vektorer. Arbeid i fysikk er imidlertid resultatet av en operasjon mellom vektorer som kalles skalarprodukt, indre produkt eller prikkprodukt.

La vektorene v og u , definere prikk- eller skalarproduktet mellom dem som:

v ∙ u = - v - ∙ - u -.cos θ

Hvor θ er vinkelen mellom de to. Fra den viste ligningen følger det umiddelbart at resultatet av prikkproduktet er en skalær, og at hvis begge vektorene er vinkelrett, er prikkproduktet 0.

Tilbake til mekanisk arbeid W, er dette skalarproduktet mellom kraftvektoren F og forskyvningsvektoren ℓ .

Når vektorer er tilgjengelige med tanke på komponentene sine, er prikkproduktet også veldig enkelt å beregne. Hvis v =x, v _y , v _z > y u =x, u _y , u _z >, prikkproduktet mellom de to er:

v ∙ u = v _x u _x + v _y u _y + v _z u _z

Punktproduktet mellom vektorene er kommutativt, derfor:

v ∙ u = u ∙ v

Kryss produkt eller vektorprodukt mellom vektorer

Hvis v og u er våre to eksempelvektorer, definerer vi vektorproduktet som:

v x u = w

Det følger umiddelbart at kryssproduktet resulterer i en vektor, hvis modul er definert som:

Hvor θ er vinkelen mellom vektorene.

Kryssproduktet er ikke kommutativt, derfor v x u ≠ u x v. Faktisk v x u = - (u x v).

Hvis de to eksempelvektorene er uttrykt i enhetsvektorene, blir beregningen av vektorproduktet gjort lettere:

v = v _x i + v _y j + v _z k

u = u _x i + u _y j + u _z k

Kryss produkter mellom enhetsvektorer

Kryssproduktet mellom identiske enhetsvektorer er null, siden vinkelen mellom dem er 0º. Men mellom forskjellige enhetsvektorer er vinkelen mellom dem 90º og sin 90º = 1.

Følgende diagram hjelper deg med å finne disse produktene. I pilens retning har den en positiv retning og i motsatt retning negativ:

i x j = k, j x k = i; k x i = j; j x i = -k; k x j = -i; i x k = -j

Bruke distribusjonsegenskapen, som fremdeles er gyldig for produktene mellom vektorer pluss egenskapene til enhetsvektorer, har vi:

v x u = (v _x i + v _y j + v _z k ) x (u _x i + u _y j + u _z k ) =

Løste øvelser

- Oppgave 1

Gitt vektorene:

v = -5 i + 4 j + 1 k

u = 2 i -3 j + 7 k

Hva må vektoren w være for at summen v + u + w skal være 6 i +8 j -10 k ?

Løsning

Derfor må det oppfylles at:

Svaret er: w = 9 i +7 j - 18 k

- Oppgave 2

Hva er vinkelen mellom vektorene v og u i oppgave 1?

Løsning

Vi vil bruke prikkproduktet. Fra definisjonen har vi:

v ∙ u = -10 -12 + 7 = -15

Å erstatte disse verdiene:

referanser

1. Figueroa, D. (2005). Serie: Fysikk for vitenskap og ingeniørfag. Volum 1. Kinematikk. Redigert av Douglas Figueroa (USB).
2. Giancoli, D. 2006. Physics: Principles with Applications. Sjette. Ed Prentice Hall.
3. Rex, A. 2011. Fundamentals of Physics. Pearson.
4. Sears, Zemansky. 2016. Universitetsfysikk med moderne fysikk. 14.. Utgave 1.
5. Serway, R., Jewett, J. 2008. Physics for Science and Engineering. Volum 1. 7. Ed. Cengage Learning.