RESULTERENDE VEKTOR: BEREGNING, EKSEMPLER, ØVELSER - FYSISK - 2026

Den resulterende vektoren er den som oppnås ved en operasjon med vektorer hvis resultat også er en vektor. Normalt er denne operasjonen summen av to eller flere vektorer, ved hjelp av hvilken en vektor oppnås hvis effekt er ekvivalent.

På denne måten oppnås vektorer som den resulterende hastighet, akselerasjon eller kraft. For eksempel, når flere krefter F ₁ , F ₂ , F ₃ , … virker på en kropp . vektorsummen av alle disse kreftene er lik nettokraften (den resulterende), som matematisk er uttrykt som følger:

F ₁ + F ₂ + F ₃ +… = F _R eller F _N

Figur 1. Vekten av snøen er fordelt på taket, og dens virkning kan erstattes av en enkelt resulterende kraft påført på passende sted. Kilde: Pixabay.

Den resulterende vektoren, enten det er krefter eller en hvilken som helst annen vektorstørrelse, blir funnet ved å anvende reglene for vektortilsetning. Siden vektorene har retning og sans samt en numerisk verdi, er det ikke nok å legge til modulene for å ha den resulterende vektoren.

Dette gjelder bare i tilfelle hvor de involverte vektorene er i samme retning (se eksempler). Ellers er det nødvendig å bruke vektorsummetoder, som avhengig av tilfelle kan være geometriske eller analytiske.

eksempler

Geometriske metoder for å finne den resulterende vektoren er traversemetoden og parallelogrammetoden.

Når det gjelder analysemetoder, er det komponentmetoden, som vektoren som er et resultat av et hvilket som helst system av vektorer kan bli funnet, forutsatt at vi har dens kartesiske komponenter.

Geometriske metoder for å legge til to vektorer

Anta at vektorene u og v (vi betegner dem med fet skrift for å skille dem fra skalarene). I figur 2a) har vi dem plassert på flyet. I figur 2 b) er den oversatt til vektor v på en slik måte at opprinnelsen faller sammen med slutten av u . Den resulterende vektoren går fra opprinnelsen til den første ( u ) til spissen av den siste ( v ):

Figur 2. Den resulterende vektoren fra den grafiske summen av vektorer. Kilde: self made.

Den resulterende figuren i dette tilfellet er en trekant (en trekant er en 3-sidig polygon). Hvis vi har to vektorer i samme retning, er fremgangsmåten den samme: plasser den ene vektorene etter den andre og tegne en som går fra opprinnelsen eller halen til den første til spissen eller slutten av den siste.

Merk at rekkefølgen denne prosedyren gjøres ikke spiller noen rolle, siden summen av vektorer er kommutative.

Legg også merke til at i dette tilfellet er modulen (lengden eller størrelsen) til den resulterende vektor summen av modulene til de tilførte vektorene, i motsetning til forrige tilfelle, der modulen til den resulterende vektoren er mindre enn summen av deltakermoduler.

Parallelogrammetode

Denne metoden er veldig passende når du trenger å legge til to vektorer hvis opprinnelsespunkter sammenfaller, for eksempel, med opprinnelsen til et xy-koordinatsystem. Anta at dette er tilfellet for vektorene u og v (figur 3a):

Figur 3. Summen av to vektorer ved bruk av parallelogrammetoden med den resulterende vektoren i turkisblått. Kilde: self made.

I figur 3b) er et parallellogram konstruert ved hjelp av stiplede linjer parallelt med u og v . Den resulterende vektoren har sin opprinnelse ved O og sin ende på det punktet hvor de stiplede linjene skjærer hverandre. Denne prosedyren er helt ekvivalent med den som er beskrevet i det foregående avsnitt.

Øvelser

-Øvelse 1

Gitt følgende vektorer, finn den resulterende vektoren ved hjelp av traversemetoden.

Figur 4. Vektorer for å finne resultatene ved bruk av den polygonale metoden. Oppgave 1. Kilde: egen utdyping.

Løsning

Traversmetoden er den første av metodene som er sett. Husk at summen av vektorer er kommutativ (rekkefølgen på tilleggene endrer ikke summen), så du kan starte med hvilken som helst av vektorene, for eksempel u (figur 5a) eller r (figur 5b):

Figur 5. Summen av vektorer ved bruk av den polygonale metoden. Kilde: self made.

Fig oppnådd er en polygon, og den resulterende vektor (i blått) kalles R . Hvis du starter med en annen vektor, kan formen som er dannet være forskjellig, som vist i eksemplet, men den resulterende vektoren er den samme.

Oppgave 2

I den følgende figuren vet vi at modulene til vektorene u og v er u = 3 vilkårlige enheter og v = 1,8 vilkårlige enheter. Vinkelen som u lager med den positive x-aksen er 45º, mens v lager 60º med y-aksen, som det er sett på figuren. Finn den resulterende vektoren, størrelsen og retningen.

Løsning

I det foregående avsnitt ble den resulterende vektor funnet ved anvendelse av parallelogrammetoden (i turkis på figuren).

En enkel måte å finne den resulterende vektoren analytisk er å uttrykke addendvektorene i form av deres kartesiske komponenter, noe som er en enkel oppgave når modul og vinkel er kjent, for eksempel vektorene i dette eksemplet:

u _x = u. cos 45º = 3 x cos 45º = 2,12; u _y = u. sin 45º = 3x sin 45º = 2,12

v _x = v. sin 60º = 1,8 x sin 60º = 1,56; v _y = -v. cos 60º = -1,8 x cos 60º = - 0,9

Vektorene u og v er vektorer som hører til planet, og har derfor to komponenter hver. Vektor u er i den første kvadranten og komponentene er positive, mens vektor v er i den fjerde kvadranten; dens x-komponent er positiv, men projeksjonen på den vertikale aksen faller på den negative y-aksen.

Beregning av de kartesiske komponentene i den resulterende vektoren

Den resulterende vektoren blir funnet ved å tilføre algebraisk de respektive x- og y-komponentene for å oppnå deres kartesiske komponenter:

R _x = 2,12 + 1,56 = 3,68

R _y = 2,12 + (-0,9) = 1,22

Når de kartesiske komponentene er blitt spesifisert, er vektoren fullt kjent. Den resulterende vektoren kan uttrykkes med notasjonen i parentes:

R = <3,68; 1.22> vilkårlige enheter

Brakettnotasjon brukes til å skille en vektor fra et punkt i planet (eller i rommet). En annen måte å uttrykke den resulterende vektoren analytisk er ved å bruke enhetsvektorene i og j i planet ( i , j og k i verdensrommet):

R = 3,68 i + 1,22 j vilkårlige enheter

Siden begge komponentene i den resulterende vektoren er positive, hører vektor R til den første kvadranten, som allerede er blitt sett grafisk før.

Størrelse og retning på den resulterende vektoren

Når man kjenner til de kartesiske komponentene, beregnes størrelsen på R gjennom Pythagorean-teoremet, siden den resulterende vektoren R , sammen med komponentene R _x og R _og danner en riktig trekant:

Størrelse eller modul: R = (3,68 ² + 1,22 ² ) ^½ = 3,88

Retning q som tar den positive x-aksen som referanse: q = arctan (R _y / R _x ) = arctg (1,22 / 3,68) = 18,3 º

referanser

1. Legge til vektorer og regler. Hentet fra: newt.phys.unsw.edu.au
2. Figueroa, D. Series: Physics for Sciences and Engineering. Volum 1. Kinematikk, 31-68.
3. Fysisk. Modul 8: Vektorer. Gjenopprettet fra: frtl.utn.edu.ar
4. Hibbeler, R. 2006. Mechanics for Engineers. statisk 6. utgave. Continental Publishing Company. 15-53.
5. Kalkulator for vektortillegg. Hentet fra: www.1728.org