SAMTIDIGE VEKTORER: EGENSKAPER, EKSEMPLER OG ØVELSER - MATTE - 2026

Den samtidige vektorer er vektorer grupper hvis akser faller sammen på ett punkt, og danner mellom hvert par av indre og ytre en annen vinkel. Et tydelig eksempel sees på figuren nedenfor, der A, B og C er vektorer samtidig med hverandre.

D og E er i motsetning til resten ikke. Det er dannet vinkler mellom de samtidige vektorene AB, AC og CB. De kalles forholdsvinkler mellom vektorene.

kjennetegn

-De har et poeng til felles, som sammenfaller med deres opprinnelse: alle størrelsene på de samtidige vektorene starter fra et felles punkt til hver sin ende.

- Opprinnelsen betraktes som vektorens virkningspunkt: det må etableres et handlingspunkt som vil bli direkte påvirket av hver av de samtidige vektorene.

-Det domene i planet og plass er R ² og R ³ henholdsvis: samtidige vektorer er fritt til å dekke hele geometriske rom.

-Lar forskjellige notasjoner i samme gruppe av vektorer. I følge grenene til studien er forskjellige notasjoner til stede i operasjoner med vektorer.

Typer vektorer

Grenen av vektorer har flere underavdelinger, blant noen kan de navngis: parallell, vinkelrett, koplanær, tilsvarende, motsatt og enhetlig. Samtidige vektorer er listet opp her, og som alle de som er nevnt ovenfor, har de mange bruksområder innen forskjellige vitenskaper.

De er veldig vanlige i studien av vektorer, fordi de representerer en nyttig generalisering i operasjonene med dem. Både i flyet og i rommet brukes samtidig vektorer for å representere forskjellige elementer og studere deres innflytelse på et bestemt system.

Vektornotasjon

Det er flere måter å representere et vektorelement på. De viktigste og mest kjente er:

kartesiske

Foreslått av den samme matematiske tilnærmingen betegner den vektorene med en trippel som tilsvarer størrelsene på hver akse (x, y, z)

A: (1, 1, -1) Plass A: (1, 1) Fly

Polar

De tjener bare til å betegne vektorer i planet, selv om det i den integrerte regnestykket er tildelt dybdekomponenten. Den er sammensatt med en lineær størrelse r og en vinkel i forhold til polaraksen Ɵ.

A: (3, 45 ⁰ ) Fly A: (2, 45 ⁰ , 3) Plass

analytisk

De definerer størrelsen på vektoren ved å bruke versores. Versores (i + j + k) representerer enhetsvektorene som tilsvarer aksene X, Y og

A: 3i + 2j - 3k

sfærisk

De ligner polar notasjon, men med tillegg av en andre vinkel som sveiper over xy- planet symbolisert med δ.

A: (4, 60 ^eller , π / 4)

Samtidige vektoroperasjoner

Samtidige vektorer brukes mest for å definere operasjoner mellom vektorer, fordi det er lettere å sammenligne elementene i vektorene når de presenteres samtidig.

Sum (A + B)

Summen av samtidige vektorer tar sikte på å finne den resulterende vektoren V _r . Som i følge gren av studien tilsvarer en endelig handling

For eksempel: 3 strenger {A, B, C} er bundet til en boks, hver ende av strengen holdes av ett emne. Hver av de 3 forsøkspersonene må trekke tauet i en annen retning enn de andre 2.

A: (øks, ay, az) B: (bx, av, bz) C: (cx, cy, cz)

A + B + C = (aks + bx + cx; ay + av + cy; az + bz + cz) = V _r

Boksen vil bare være i stand til å bevege seg i en retning, derfor vil V _r indikere retningen og retningen på boksens bevegelse.

Forskjell (A - B)

Det er mange kriterier for forskjellen mellom vektorer, mange forfattere velger å ekskludere den og oppgir at bare summen mellom vektorene er stipulert, der forskjellen er omtrent summen av motsatt vektor. Sannheten er at vektorer kan trekkes algebraisk.

A: (øks, ay, az) B: (bx, av, bz)

A - B = A + (-B) = (aks-bx; ay-by; az-bz) =

Skalarprodukt (A. B)

Også kjent som et prikkprodukt, genererer det en skalarverdi som kan relateres til forskjellige størrelser avhengig av studien.

For geometri, angi området for parallellogrammet dannet av paret av samtidige vektorer ved hjelp av parallellogrammetoden. For mekanisk fysikk definerer den arbeidet som er utført av en kraft F når du beveger en kropp et stykke Δr.

ѡ = F . Ar

Som navnet indikerer genererer den en skalærverdi og er definert som følger:

La vektorene A og B være

A: (øks, ay, az) B: (bx, av, bz)

-Analytisk form:

(A. B) = -A -.- B-.Cos θ

Hvor θ er den indre vinkelen mellom begge vektorer

-Algebraisk form:

(A. B) = (aks.bx + ay.by + az.bz)

Kryssprodukt (A x B)

Vektoren produkt eller prikk-produktet mellom to vektorer, definerer en tredje vektor C som har den egenskap at perpendikulært på B og C . I fysikk er dreiemomentvektoren t grunnelementet i rotasjonsdynamikken.

-Analytisk form:

- A x B - = -A -.- B-.Sen θ

-Algebraisk form:

(A x B) = = (aks. By - ay. Bx) - (aks. Bz - az. Bx) j + (aks. By - ay. Bx) k

-Relativ bevegelse: r _{A / B}

Relativitetsgrunnlaget er relativ bevegelse og samtidige vektorer er grunnlaget for relativ bevegelse. Relative posisjoner, hastigheter og akselerasjoner kan trekkes ut ved å bruke følgende iderekkefølge.

r _{A / B} = r _A - r _B ; Relativ stilling til A i forhold til B

v _{A / B} = v _A - v _B ; Relativ hastighet på A i forhold til B

a _{A / B} = a _A - a _B ; Relativ akselerasjon av A med hensyn til B

Eksempler: løste øvelser

Oppgave 1

La A, B og C være samtidig vektorer.

A = (-1, 3, 5) B = (3, 5, -2) C = (-4, -2, 1)

-Definer den resulterende vektor V _r = 2A - 3B + C

2A = (2 (-1), 2 (3), 2 (5)) = (-2, 6, 10)

-3B = (-3 (3), -3 (5), -3 (-2)) = (-9, -15, 6)

V _r = 2A + (-3B) + C = (-2, 6, 10) + (-9, -15, 6) + (-4, -2, 1)

V _r = (;; (10 + 6 + 1))

V _r = (-15, -11, 17)

-Definer punktproduktet (A. C)

(A.C) = (-1, 3, 5). (-4, -2, 1) = (-1) (-4) + 3 (-2) + 5 (1) = 4 - 6 + 5

(A. C) = 3

- Beregn vinkelen mellom A og C

(A. C) = -A -.- C-. Cos θ Hvor θ er den korteste vinkelen mellom vektorene

θ = 88,63 ⁰

-Finn en vektor vinkelrett på A og B

For dette er det nødvendig å definere vektorproduktet mellom (-1, 3, 5) og (3, 5, -2). Som forklart tidligere, er en 3 x 3 matrise konstruert der den første raden er sammensatt av trippel enhetsvektorene (i, j, k). Deretter består 2. og 3. rad av vektorene som skal operere, og respekterer driftsrekkefølgen.

(A x B) = = i - j + k

(A x B) = (-5 - 9) I - (2 - 15) j + (-5 - 9) k

(A x B) = - 14 I + 13 j - 14 k

Oppgave 2

La V _en og V _{b være} hastighetsvektorene av A og B henholdsvis. Beregn hastigheten til B sett fra A.

V _a = (3, -1, 5) V _b = (2, 5, -3)

I dette tilfellet etterspørres den relative hastigheten av B i forhold til A V _{B / A}

V _{B / A} = V _B - V _A

V _{B / A} = (2, 5, -3) - (3, -1, 5) = (-1, 6, -8)

Dette er hastighetsvektoren til B sett fra A. Der en ny vektor med hastigheten til B er beskrevet under henvisning fra en observatør plassert ved A og beveger seg med hastigheten til A.

Foreslåtte øvelser

1-konstruere 3 vektorer A, B og C som er samtidige og relaterer 3 operasjoner mellom dem gjennom en praktisk øvelse.

2-La vektorene A: (-2, 4, -11), B: (1, -6, 9) og C: (-2, -1, 10). Finn vektorer vinkelrett på: A og B, C og B, summen A + B + C.

4-Bestem 3 vektorer som er vinkelrett på hverandre, uten å ta hensyn til koordinatakslene.

5-Definer arbeidet som er utført av en kraft som løfter en blokk med masse 5 kg, fra bunnen av en brønn på 20 meter.

6-Vis algebraisk at subtraksjonen av vektorer er lik summen av den motsatte vektoren. Begrunn postulatene dine.

7-Betegn en vektor i alle notasjonene som er utviklet i denne artikkelen. (Kartesisk, polar, analytisk og sfærisk).

8-De magnetiske kreftene som utøves på en magnet som hviler på et bord, er gitt av følgende vektorer; V: (5, 3, -2), T: (4, 7, 9), H: (-3, 5, -4). Bestem i hvilken retning magneten vil bevege seg hvis alle magnetiske krefter virker samtidig.

referanser

1. Euklidisk geometri og transformasjoner. Clayton W. Dodge. Courier Corporation, 1. jan 2004
2. Slik løser du anvendte matematikkproblemer L. Moiseiwitsch. Courier Corporation, 10. april 2013
3. Grunnleggende begreper for geometri. Walter Prenowitz, Meyer Jordan. Rowman & Littlefield, 4. okt. 2012
4. Vektorer. Rocío Navarro Lacoba, 7. juni. 2014
5. Lineær algebra. Bernard Kolman, David R. Hill. Pearson Education, 2006