VEKTORER I ROMMET: HVORDAN DU GRAFER, APPLIKASJONER, ØVELSER - FYSISK - 2026

En vektor i rommet er alt som representeres av et koordinatsystem gitt av x, y og z. Det meste av tiden er xy-planet det horisontale overflateplanet og z-aksen representerer høyden (eller dybden).

De kartesiske koordinatakslene vist i figur 1 deler rom i 8 regioner kalt oktanter, analogt med hvordan x - y aksene deler planet i 4 kvadranter. Vi vil da ha 1. oktant, 2. oktant og så videre.

Figur 1. En vektor i rommet. Kilde: self made.

Figur 1 inneholder en representasjon av en vektor v i rommet. Det kreves noe perspektiv for å skape en illusjon av tre dimensjoner på skjermens plan, noe som oppnås ved å tegne et skrått syn.

For å tegne en 3D-vektor må man bruke de stiplede linjene som bestemmer på rutenettet koordinatene til projeksjonen eller "skyggen" av v på xy-overflaten. Denne projeksjonen begynner ved O og slutter ved det grønne punktet.

Når du er der, må du fortsette langs vertikalen til nødvendig høyde (eller dybde) i henhold til verdien av z, til du kommer til P. Vektoren tegnes fra O og slutter ved P, som i eksemplet er i 1. oktant.

applikasjoner

Vektorer i verdensrommet er mye brukt i mekanikk og andre grener av fysikk og ingeniørarbeid, siden strukturene som omgir oss krever geometri i tre dimensjoner.

Posisjonsvektorer i rommet brukes til å plassere objekter i forhold til et referansepunkt kalt OR-opprinnelse, og derfor er de også nødvendige verktøy i navigasjonen, men det er ikke alt.

Krefter som virker på strukturer som bolter, braketter, kabler, stivere og mer, er vektor i naturen og orientert i rommet. For å vite effekten, er det nødvendig å vite adressen (og også bruksområde).

Og ofte er retningen til en styrke kjent ved å kjenne til to punkter i rommet som hører til dens handlingslinje. På denne måten er styrken:

F = F u

Hvor F er størrelsen eller størrelsen av kraften og u er enhetsvektoren (modul 1) rettet langs aksjonslinje F .

Notasjon og 3D-vektorrepresentasjoner

Før vi fortsetter med å løse noen eksempler, vil vi kort gjennomgå 3D-vektornotasjon.

I eksemplet i figur 1 har vektoren v, hvis opprinnelsespunkt sammenfaller med opprinnelsen O og hvis ende er punkt P, positive xyz-koordinater, mens y-koordinaten er negativ. Disse koordinatene er: x ₁ , y ₁ , z ₁ , som er nøyaktig koordinatene til P.

Så hvis vi har en vektor knyttet til opprinnelsen, det vil si hvis startpunkt sammenfaller med O, er det veldig enkelt å indikere dens koordinater, som vil være de som er i ekstrempunktet eller P. For å skille mellom et punkt og en vektor, bruker vi å de siste dristige bokstavene og parentesene, slik:

v = <x ₁ , y ₁ , z ₁ >

Mens punktet P er angitt med parenteser:

P = (x ₁ , y ₁ , z ₁ )

En annen representasjon benytter seg av enhetsvektorene i , j og k som definerer de tre romretningene på henholdsvis x-, y- og z-aksene.

Disse vektorene er vinkelrett på hverandre og danner en ortonormal basis (se figur 2). Dette betyr at en 3D-vektor kan skrives i form av dem som:

v = v _x i + v _y j + v _z k

Angles and Director Cosines of a Vector

Figur 2 viser også regissørvinklene y ₁ , y ₂ og y ₃ som vektoren v lager henholdsvis med x-, y- og z-aksene. Når du kjenner til disse vinklene og størrelsen på vektoren, er det fullstendig bestemt. I tillegg møter kosinene til regissørens vinkler følgende forhold:

(cos γ ₁ ) ² + (cos γ ₂ ) ² + (cos γ ₃ ) ² = 1

Figur 2. Enhetsvektorene i, j og k bestemmer de 3 preferanse retningene for plass. Kilde: self made.

Løste øvelser

-Øvelse 1

I figur 2 er vinklene y ₁ , y ₂ og y ₃ som vektoren v i modul 50 danner med koordinatakslene henholdsvis 75,0º, 60,0º og 34,3º. Finn de kartesiske komponentene i denne vektoren og representer den med tanke på enhetsvektorene i , j og k .

Løsning

Projeksjonen av vektoren v på x-aksen er v _x = 50. cos 75º = 12,941. På samme måte er projeksjonen av v på y-aksen v _y = 50 cos 60 º = 25 og til slutt på z-aksen er v _z = 50. cos 34,3 º = 41,3. Nå kan v uttrykkes som:

v = 12,9 i + 25,0 j + 41,3 k

-Øvelse 2

Finn spenningene i hver av kablene som holder bøtta i figuren som er i likevekt, hvis dens vekt er 30 N.

Figur 3. Stressdiagram for øvelse 2.

Løsning

På bøtta indikerer frikroppsdiagrammet at T _D (grønn) motregner vekten W (gul), derfor er T _D = W = 30 N.

Ved knutepunktet, vektoren T _D er rettet vertikalt nedover, deretter:

T _D = 30 (- k ) N.

Følg disse trinnene for å etablere de gjenværende spenningene:

Trinn 1: Finn koordinatene til alle poeng

A = (4,5,0,3) (A er på veggen plan xz)

B = (1,5,0,0) (B er på x-aksen)

C = (0, 2,5, 3) (C er på veggens plan og z)

D = (1,5, 1,5, 0) (D er på det horisontale xy-planet)

Trinn 2: Finn vektorene i hver retning ved å trekke fra koordinatene til slutten og begynnelsen

DA = <3; -1,5; 3>

DC = <-1,5; en; 3>

DB = <0; -1,5; 0>

Trinn 3: Beregn moduler og enhetsvektorer

En enhetsvektor oppnås ved uttrykket: u = r / r, hvor r (med fet skrift) er vektoren og r (ikke med fet skrift) er modulen til nevnte vektor.

DA = (3 ² + (-1,5) ² + 3 ² ) ^½ = 4,5; DC = ((-1,5) ² + 1 ² + 3 ² ) ^½ = 3,5

u _DA = <3; -1,5; 3> 4,5 = <0,67; -0,33; 0,67>

u _DC = <-1,5; en; 3> 3,5 = <-0,43; 0,29; 0,86>

u _DB = <0; -en; 0>

u _D = <0; 0; -1>

Trinn 4: Uttrykk alle spenninger som vektorer

T _DA = T _DA u _DA = T _DA <0,67; -0,33; 0,67>

T _DC = T _DC u _{DC =} T _DC <-0,43; 0,29; 0,86>

T _DB = T _DB u _DB = T _DB <0; -en; 0>

T _D = 30 <0; 0; -1>

Trinn 5: Bruk den statiske likevektsbetingelsen og løs ligningssystemet

Til slutt blir tilstanden for statisk likevekt brukt til bøtta, slik at vektorsummen av alle kreftene på noden er null:

T _DA + T _DC + T _DB + T _D = 0

Siden spenningene er i rommet, vil det resultere i et system med tre ligninger for hver komponent (x, y og z) av spenningene.

0,67 T _DA -0,43 T _DC + 0 T _DB = 0

-0,33 T _DA + 0,29 T _DC - T _DB = 0

0,67 T _DA + 0,86 T _DC +0 T _DB - 30 = 0

Løsningen er: T _DA = 14,9 N; T _DA = 23,3 N; T _DB = 1,82 N

referanser

1. Bedford, 2000. A. Engineering Mechanics: Statics. Addison Wesley. 38-52.
2. Figueroa, D. Series: Physics for Sciences and Engineering. Volum 1. Kinematikk, 31-68.
3. Fysisk. Modul 8: Vektorer. Gjenopprettet fra: frtl.utn.edu.ar
4. Hibbeler, R. 2006. Mechanics for Engineers. statisk 6. utgave. Continental Publishing Company. 15-53.
5. Kalkulator for vektortillegg. Gjenopprettet fra: 1728.org