De frie vektorene er de som er fullt spesifisert av dens størrelse, retning og sans, uten å være nødvendige for å indikere et bruksområde eller et bestemt opprinnelse.
Siden uendelige vektorer kan tegnes på denne måten, er en fri vektor ikke en eneste enhet, men et sett med parallelle og identiske vektorer som er uavhengige av hvor de er.
Figur 1. Ulike gratis vektorer. Kilde: self made.
La oss si at vi har flere vektorer i størrelsesorden 3 rettet loddrett oppover, eller i størrelsesorden 5 og skråstilt til høyre, som i figur 1.
Ingen av disse vektorene brukes spesielt på noe tidspunkt. Da er noen av de blå eller grønne vektorene representative for deres respektive gruppe, siden deres egenskaper - modul, retning og sans - ikke endres i det hele tatt når de blir overført til et annet sted i flyet.
En gratis vektor er vanligvis betegnet i trykt tekst med en fet, liten bokstav, for eksempel v. Eller med en liten bokstav og en pil over den hvis det er håndskrevet tekst .
Fordelen som frie vektorer har er at de kan flyttes gjennom flyet eller gjennom rommet og opprettholde deres egenskaper, siden enhver representant for settet er like gyldig.
Derfor brukes de ofte i fysikk og mekanikk. For å indikere den lineære hastigheten til et faststoff som oversetter, er det for eksempel ikke nødvendig å velge et bestemt punkt på objektet. Så hastighetsvektoren oppfører seg som en fri vektor.
Et annet eksempel på en fri vektor er kreftene paret. Et par består av to krefter med lik størrelse og retning, men av motsatte retninger, påført på forskjellige punkter på et fast stoff. Effekten av et par er ikke å bevege objektet, men å forårsake en rotasjon takket være det øyeblikket som er produsert.
Figur 2 viser et par krefter påført et ratt. Gjennom kreftene F 1 og F 2 skapes dreiemomentet som roterer svinghjulet rundt sentrum og i retning med urviseren.
Figur 2. Et par krefter påført rattet gir den med klokken. Kilde: Bielasko.
Du kan gjøre noen endringer i dreiemomentet og fremdeles få den samme roterende effekten, for eksempel å øke kraften, men redusere avstanden mellom dem. Eller oppretthold kraften og avstanden, men bruk dreiemomentet på et annet par punkter på rattet, det vil si, vri dreiemomentet rundt midten.
Parets øyeblikk eller ganske enkelt par, er en vektor hvis modul er Fd og er rettet vinkelrett på svinghjulets plan. I eksemplet vist ved konvensjonen har rotasjonen med klokken en negativ retning.
Egenskaper og egenskaper
I motsetning til den frie vektoren v, er vektorene AB og CD faste (se figur 3), siden de har et spesifisert utgangspunkt og ankomstpunkt. Men siden de er team-lenke med hverandre, og i sin tur med vektoren v , er de representative for den gratis vektoren v .
Figur 3. Gratis vektorer, linsevektorer og faste vektorer. Kilde: self made.
De viktigste egenskapene til frie vektorer er følgende:
-Enhver vektor AB (se figur 2) er som sagt representant for den frie vektoren v .
-Modulen, retningen og sansen er den samme i enhver representant for den gratis vektoren. I figur 2 representerer vektorer AB og CD den frie vektoren v og er teamlinsering.
-Gi et punkt P i verdensrommet, det er alltid mulig å finne en representant for den frie vektoren v hvis opprinnelse er i P, og denne representanten er unik. Dette er den viktigste egenskapen til frie vektorer og den som gjør dem så allsidige.
-En null fri vektor er betegnet som 0 og er settet av alle vektorer som mangler størrelse, retning og sans.
-Hvis vektor AB representerer den frie vektor v , representerer vektor BA den frie vektor - v .
-Notasjonen V 3 vil bli brukt til å betegne settet med alle frie vektorer i rommet og V 2 for å betegne alle frie vektorer i planet.
Løste øvelser
Med frie vektorer kan følgende operasjoner utføres:
-Sum
-Subtraksjon
-Multiplikering av skalar med en vektor
-Scalar produkt mellom to vektorer.
-Kryss produkt mellom to vektorer
-Linær kombinasjon av vektorer
Og mer.
-Øvelse 1
En student prøver å svømme fra et punkt på bredden av en elv til et annet som er rett overfor. For å oppnå dette svømmer den direkte med en hastighet på 6 km / t, i en vinkelrett retning, men strømmen har imidlertid en hastighet på 4 km / t som avleder den.
Beregn svømmerens resulterende hastighet og hvor mye han blir avbøyd av strømmen.
Løsning
Den resulterende hastigheten til svømmeren er vektorsummen av hastigheten hans (med hensyn til elven, trukket loddrett oppover) og elvenes hastighet (trukket fra venstre til høyre), som utføres som angitt på figuren nedenfor:
Størrelsen på den resulterende hastigheten tilsvarer hypotenusen til den høyre trekanten som er vist, derfor:
v = (6 2 + 4 2 ) ½ km / t = 7,2 km / t
Retningen kan beregnes av vinkelen i forhold til vinkelrett på land:
α = arctg (4/6) = 33,7º eller 56,3º med hensyn til kysten.
Oppgave 2
Finn øyeblikket til paret av krefter som er vist på figuren:
Løsning
Øyeblikket beregnes av:
M = r x F
Enhetene for øyeblikket er lb-f.ft. Siden paret befinner seg i skjermens plan, rettes øyeblikket vinkelrett på det, enten utover eller innover.
Siden momentet i eksemplet har en tendens til å rotere gjenstanden det er påført (som ikke er vist på figuren) med urviseren, anses dette øyeblikket som å peke inn i skjermen og med et negativt tegn.
Størrelsen på øyeblikket er M = Fdsen a, hvor a er vinkelen mellom kraften og vektoren r. Du må velge et punkt for å beregne øyeblikket, som er en gratis vektor. Opprinnelsen til referansesystemet velges, derfor går r fra O til brukspunktet for hver styrke.
M 1 = M 2 = -Fdsen60º = -500. 20.sen 60º lb-f. ft = -8660,3 lb-f. fot
Nettomomentet er summen av M 1 og M 2 : -17329,5 lb-f. fot.
referanser
- Beardon, T. 2011. En introduksjon til vektorer. Gjenopprettet fra: nrich.maths.org.
- Bedford, 2000. A. Engineering Mechanics: Statics. Addison Wesley. 38-52.
- Figueroa, D. Series: Physics for Sciences and Engineering. Volum 1. Kinematikk, 31-68.
- Fysisk. Modul 8: Vektorer. Gjenopprettet fra: frtl.utn.edu.ar
- Hibbeler, R. 2006. Mechanics for Engineers. statisk 6. utgave. Continental Publishing Company. 15-53.
- Kalkulator for vektortillegg. Gjenopprettet fra: 1728.org
- Vektorer. Gjenopprettet fra: en.wikibooks.org