IKKE-KOPLANÆRE VEKTORER: DEFINISJON, FORHOLD, ØVELSER - FYSISK - 2026

De ikke - koplanære vektorene er de som ikke deler samme plan. To frie vektorer og et punkt definerer et enkelt plan. En tredje vektor kan eller ikke deler det planet, og hvis det ikke gjør det, er de ikke-koplanære vektorer.

Ikke-koplanære vektorer kan ikke representeres i todimensjonale rom som en tavle eller papirark, fordi noen av dem er inneholdt i den tredje dimensjonen. For å representere dem ordentlig må du bruke perspektiv.

Figur 1. Koplanære og ikke-koplanære vektorer. (Egen utdyping)

Hvis vi ser på figur 1, er alle objektene som vises strengt i planet på skjermen, men takket være perspektiv er hjernen vår i stand til å forestille seg et plan (P) som kommer ut av det.

På det planet (P) er vektorene r , s , u , mens vektorene v og w ikke er i det planet.

Derfor er vektorene r , s , u koplanære eller koplanære for hverandre siden de har samme plan (P). Vektorer v og w deler ikke et fly med noen av de andre vektorene som er vist, derfor er de ikke-planlige.

Coplanar-vektorer og flyets ligning

Et plan er unikt definert hvis det er tre punkter i tredimensjonalt rom.

Anta at de tre punktene er punkt A, punkt B og punkt C som definerer planet (P). Med disse punktene er det mulig å konstruere to vektorer AB = u og AC = v som er ved konstruksjon koplanar med planet (P).

Vektorproduktet (eller tverrproduktet) av disse to vektorene resulterer i en tredje vektor vinkelrett (eller normal) på dem og derfor vinkelrett på planet (P):

n = u X v => n ⊥ u og n ⊥ v => n ⊥ (P)

Ethvert annet punkt som hører til planet (P) må tilfredsstille at vektoren AQ er vinkelrett på vektoren n ; Dette tilsvarer å si at prikkproduktet (eller prikkproduktet) til n med AQ må være null:

n • AQ = 0 (*)

Den forrige tilstanden tilsvarer å si at:

AQ • ( u X v ) = 0

Denne ligningen sikrer at punktet Q hører til planet (P).

Kartesisk ligning av flyet

Ligningen ovenfor kan skrives i kartesisk form. For å gjøre dette, skriver vi koordinatene til punktene A, Q og komponentene i den normale vektoren n :

Så komponentene til AQ er:

Betingelsen for at vektoren AQ skal være inne i planet (P) er tilstanden (*) som nå er skrevet slik:

Beregning av prikkproduktet gjenstår:

Hvis den er utviklet og omorganisert, gjenstår det:

Det forrige uttrykket er den kartesiske ligningen for et plan (P), som en funksjon av komponentene i en vektor som er normal for (P) og koordinatene til et punkt A som tilhører (P).

Betingelsene for at tre vektorer skal være ikke-planlagte

Som sett i forrige avsnitt, garanterer tilstanden AQ • ( u X v ) = 0 at vektoren AQ er koplanar til u og v .

Hvis vi kaller vektoren AQ w, kan vi bekrefte at:

w , u og v er koplanære, hvis og bare hvis w • ( u X v ) = 0.

Ikke-koplanaritetstilstand

Hvis trippelproduktet (eller blandet produkt) av tre vektorer er forskjellig fra null, er de tre vektorene ikke-koplanære.

Hvis w • ( u X v ) ≠ 0, er vektorene u, v og w ikke-planlagte.

Hvis de kartesiske komponentene i vektorene u, v og w blir introdusert, kan tilstanden til ikke-koplanaritet skrives slik:

Trippelproduktet har en geometrisk tolkning og representerer volumet av parallellpiped generert av de tre ikke-koplanære vektorene.

Figur 2. Tre ikke-koplanære vektorer definerer en parallellpiped hvis volum er modulen til det tredobbelte produktet. (Egen utdyping)

Årsaken er som følger; Når to av de ikke-koplanære vektorene multipliseres vektorielt, oppnås en vektor hvis størrelse er området for parallellogrammet som de genererer.

Så når denne vektoren skaleres multiplisert med den tredje ikke-koplanære vektoren, er det projeksjonen til en vektor vinkelrett på planet som de to første bestemmer multiplisert med området som de bestemmer.

Med andre ord har vi området til parallellogrammet generert av de to første ganget med høyden til den tredje vektoren.

Alternativ tilstand av ikke-koplanaritet

Hvis du har tre vektorer og noen av dem ikke kan skrives som en lineær kombinasjon av de to andre, er de tre vektorene ikke-koplanære. Det vil si at tre vektorer u , v og w er ikke-koplanære hvis tilstanden:

α u + β v + γ w = 0

Den er bare fornøyd når α = 0, β = 0 og γ = 0.

Løste øvelser

-Øvelse 1

Det er tre vektorer

u = (-3, -6, 2); v = (4, 1, 0) og w = (-1, 2, z)

Merk at z-komponenten i vektoren w er ukjent.

Finn verdiene som z kan ta slik at de tre vektorene garantert ikke vil dele det samme planet.

Løsning

w • ( u X v ) = -3 (z - 0) + 6 (4 z - 0) + 2 (8 + 1) = -3z + 24z + 18 = 21z + 18

Vi setter dette uttrykket lik verdien null

21 z + 18 = 0

og vi løser for z

z = -18 / 21 = -6/7

Hvis variabelen z tok verdien -6/7, ville de tre vektorene være koplanære.

Verdiene av z som garanterer at vektorene er ikke-planlige er de i følgende intervall:

z ∈ (-∞, -6 / 7) U (-6/7, ∞)

-Øvelse 2

Finn volumet til parallelepiped vist i følgende figur:

Løsning

For å finne volumet av parallellpiped vist på figuren, vil de kartesiske komponentene av tre samtidige ikke-koplanære vektorer ved koordinatsystemets opprinnelse bestemmes. Den første er vektoren u på 4m og parallelt med X-aksen:

u = (4, 0, 0) m

Den andre er vektoren v i XY-planet i størrelse 3m som danner 60º med X-aksen:

v = (3 * cos 60º, 3 * sin 60º, 0) = (1,5, 2,6, 0,0) m

Og den tredje er vektoren w på 5m og hvis projeksjon i XY-planet danner 60º med X-aksen, og w danner 30º med Z-aksen.

w = (5 * sin 30º * cos 60º, 5 * sin 30º * sin 60º, 5 * sin 30º)

Når beregningene er utført, har vi: w = (1,25, 2,17, 2,5) m.

referanser

1. Figueroa, D. Series: Physics for Sciences and Engineering. Volum 1. Kinematikk. 31-68.
2. Fysisk. Modul 8: Vektorer. Gjenopprettet fra: frtl.utn.edu.ar
3. Hibbeler, R. 2006. Mechanics for Engineers. statisk 6. utgave. Continental Publishing Company 28-66.
4. McLean, W. Schaum-serien. Mekanikk for ingeniører: Statikk og dynamikk. 3. utgave. McGraw Hill. 1-15.
5. Wikipedia. Vector. Gjenopprettet fra: es.wikipedia.org