VINKELHASTIGHET: DEFINISJON, FORMEL, BEREGNING OG ØVELSER - FYSISK - 2026

Den vinkelhastighet er et mål på rotasjonshastigheten og er definert som vinkelen som roterer posisjonsvektoren til den roterende gjenstand, per tidsenhet. Det er en størrelsesorden som beskriver bevegelsen til et mangfold av objekter som stadig roterer overalt: CD-er, bilhjul, maskiner, jorden og mange flere.

Et diagram av «London eye» kan sees i figuren nedenfor. Den representerer bevegelsen til en passasjer representert ved punkt P, som følger den sirkulære banen, kalt c:

Skjematisk fremstilling av den sirkulære banen som en passasjer av «London eye» følger. Kilde: self made.

Passasjeren inntar posisjon P i øyeblikket t og vinkelposisjonen som tilsvarer det øyeblikket er ϕ.

Fra øyeblikket t, går det en periode. I denne perioden er den punktlige passasjerens nye posisjon P 'og vinkelposisjonen har økt med en vinkel Δϕ.

Hvordan beregnes vinkelhastigheten?

For rotasjonsmengder brukes greske bokstaver mye for å skille dem fra lineære mengder. Så innledningsvis er den gjennomsnittlige vinkelhastigheten ω _m definert som den vinklet som er beveget i et gitt tidsrom.

Da vil kvotienten Δϕ / Δt representere den gjennomsnittlige vinkelhastigheten ω _m mellom momentene t og t + Δt.

Hvis du vil beregne vinkelhastigheten bare på øyeblikket t, må du beregne forholdet Δϕ / Δt når Δt ➡0:

Forholdet mellom lineær og kantet hastighet

Den lineære hastigheten v er kvotienten mellom tilbakelagt avstand og tiden det tar å reise den.

På figuren over er den tilbakelagte buen Δs. Men den buen er proporsjonal med vinkelen som er tilbakelagt og radius, idet følgende forhold oppfylles, som er gyldig så lenge Δϕ måles i radianer:

Δs = r ・ Δϕ

Hvis vi deler det forrige uttrykket med tidsforløpet Δt og tar grensen når Δt ➡0, vil vi oppnå:

v = r ・ ω

Ensartet rotasjonsbevegelse

På bildet er det berømte "London eye", et 135 meter høyt spinnehjul som svinger sakte slik at folk kan gå ombord på hyttene ved basen og nyte Londons natur. Kilde: Pixabay.

En rotasjonsbevegelse er ensartet hvis den tilbakelagte vinkelen på et hvilket som helst observert øyeblikk er den samme i samme tidsperiode.

Hvis rotasjonen er jevn, sammenfaller vinkelhastigheten når som helst med den gjennomsnittlige vinkelhastigheten.

Videre, når en komplett sving er gjort, er den kjørte vinkelen 2π (tilsvarer 360º). Derfor, i en jevn rotasjon, er vinkelhastigheten related relatert til perioden T, med følgende formel:

f = 1 / T

Det vil si at i en jevn rotasjon er vinkelhastigheten relatert til frekvensen ved:

ω = 2π ・ f

Løst problemer med vinkelhastighet

Oppgave 1

Hyttene til det store spinnehjulet kjent som "London Eye" beveger seg sakte. Farten til førerhusene er 26 cm / s og hjulet er 135 m i diameter.

Med disse dataene beregner du:

i) Hjulets vinkelhastighet

ii) Rotasjonsfrekvensen

iii) Tiden det tar for en hytte å gjøre en komplett sving.

svar:

i) Hastigheten v i m / s er: v = 26 cm / s = 0,26 m / s.

Radiusen er halvparten av diameteren: r = (135 m) / 2 = 67,5 m

v = r ・ ω => ω = v / r = (0,26 m / s) / (67,5 m) = 0,00385 rad / s

ii) ω = 2π ・ f => f = ω / 2π = (0,00385 rad / s) / (2π rad) = 6,13 x 10 ^-4 svinger / s

f = 6,13 x 10 ^ -4 omdreining / s = 0,0368 omdreining / min = 2,21 omdreining / time.

iii) T = 1 / f = 1 / 2,21 omgang / time = 0,45311 time = 27 min 11 sek

Oppgave 2

En lekebil beveger seg på et sirkulært spor med en radius på 2m. Ved 0 s er dens vinkelposisjon 0 rad, men etter en tid t er dens vinkelposisjon gitt av:

φ (t) = 2 ・ t

Fastslå:

i) Vinkelhastigheten

ii) Lineær hastighet når som helst.

svar:

i) Vinkelhastigheten er derivatet av vinkelposisjonen: ω = φ '(t) = 2.

Lekebilen har med andre ord til enhver tid en konstant vinkelhastighet lik 2 rad / s.

ii) Bilens lineære hastighet er: v = r ・ ω = 2 m ・ 2 rad / s = 4 m / s = 14,4 km / t

Oppgave 3

Den samme bilen fra forrige øvelse begynner å stoppe. Dets vinkelposisjon som en funksjon av tiden er gitt av følgende uttrykk:

φ (t) = 2 ・ t - 0,5 ・ t ²

Fastslå:

i) Vinkelhastigheten når som helst

ii) Lineær hastighet når som helst

iii) Tiden det tar å stoppe fra det øyeblikket den begynner å avta

iv) Den tilbakelagte vinkelen

v) tilbakelagt distanse

svar:

i) Vinkelhastigheten er derivatet av vinkelposisjonen: ω = φ '(t)

ω (t) = φ '(t) = (2 ・ t - 0,5 ・ t ² )' = 2 - t

ii) Bilens lineære hastighet når som helst blir gitt av:

v (t) = r ・ ω (t) = 2 ・ (2 - t) = 4 - 2 t

iii) Tiden det tar før den stopper fra det øyeblikk den begynner å avta, bestemmes ved å kjenne øyeblikket hvor hastigheten v (t) blir null.

v (t) = 4 - 2 t = 0 => t = 2

Dette betyr at den stopper 2 s etter å ha begynt å bremse.

iv) I perioden 2s fra den begynner å bremse til den stopper, kjøres en vinkel gitt av φ (2):

φ (2) = 2 ・ 2 - 0,5 ・ 2 ^ 2 = 4 - 2 = 2 rad = 2 x 180 / π = 114,6 grader

v) I tidsrommet 2 s fra oppstart av bremsing til holdeplass kjøres en avstand s gitt av:

s = r ・ φ = 2m ・ 2 rad = 4 m

Oppgave 4

Hjulene til en bil er 80 cm i diameter. Hvis bilen kjører i 100 km / t. Finn: i) hjulens rotasjonshastighet, ii) hjulens rotasjonsfrekvens, iii) Antall omdreininger hjulet gjør i løpet av en time.

svar:

i) Først av alt skal vi konvertere hastigheten på bilen fra km / t til h / s

v = 100 km / t = (100 / 3,6) m / s = 27,78 m / s

Hjulens rotasjonshastighet er gitt av:

ω = v / r = (27,78 m / s) / (0,4 m) = 69,44 rad / s

ii) Hjulens rotasjonsfrekvens er gitt av:

f = ω / 2π = (69,44 rad / s) / (2π rad) = 11,05 omdreining / s

Rotasjonsfrekvensen uttrykkes vanligvis i omdreininger per minutt o / min

f = 11,05 omdreining / s = 11,05 omdreining / (1/60) min = 663,15 o / min

iii) Antallet runder hjulet gjør i løpet av en times kjøring beregnes vel vitende om at 1 time = 60 minutter, og at frekvensen er antall runder N dividert med tiden disse N-rundene er gjort.

f = N / t => N = f ・ t = 663,15 (svinger / min) x 60 min = 39788,7 svinger.

referanser

1. Giancoli, D. Fysikk. Prinsipper med applikasjoner. 6. utgave. Prentice Hall. 106-108.
2. Resnick, R. (1999). Fysisk. Bind 1. Tredje utgave på spansk. Mexico. Compañía Editorial Continental SA de CV 67-69.
3. Serway, R., Jewett, J. (2008). Fysikk for vitenskap og ingeniørfag. Volum 1. 7. Edition. Mexico. Cengage Learning Editors. 84-85.
4. geogebra.org