BUE (GEOMETRI): MÅLING, TYPER BUER, EKSEMPLER - MATTE - 2025

Den bue , i geometri, er en hvilken som helst krum linje som forbinder to punkter. En buet linje, i motsetning til en rett linje, er en hvis retning er forskjellig på hvert punkt på den. Det motsatte av en bue er et segment, siden dette er en rett seksjon som går sammen med to punkter.

Buen som oftest brukes i geometri, er omkretsbuen. Andre buer i vanlig bruk er parabolbuen, elliptisk bue og bøyle. Bueformen brukes også ofte i arkitektur som et dekorativt element og et strukturelt element. Dette er tilfellet med overliggene på dører og vinduer, så vel som om broer og akvedukter.

Figur 1. Regnbuen er en buet linje som går sammen med to punkter i horisonten. Kilde: Pixabay

Buen og dens mål

Målet på en lysbue er dens lengde, som avhenger av typen kurve som forbinder de to punktene og deres plassering.

Lengden på en sirkulær bue er en av de enkleste å beregne, fordi lengden på hele buen eller omkretsen av en omkrets er kjent.

Omkretsen av en sirkel er to pi ganger sin radius: p = 2 π R. Når vi vet dette, hvis vi vil beregne lengden s på en sirkulær bue med vinkel α (målt i radianer) og radius R, blir en andel brukt:

(s / p) = (α / 2 π)

Da vi tømmer s fra forrige uttrykk og erstatter omkretsen p for dets uttrykk som en funksjon av radien R, har vi:

s = (α / 2 π) p = (α / 2 π) (2 π R) = α R.

Det vil si at målet for en sirkulær bue er et produkt av dens kantede åpningstid sirkulærbuen.

For en bue generelt er problemet mer komplisert, til det punktet at antikkens store tenkere bekreftet at det var en umulig oppgave.

Det var først på grunn av differensial- og integralberegningen i 1665 at problemet med å måle en lysbue ble løst tilfredsstillende.

Før oppfinnelsen av differensialberegning, kunne det bare finnes løsninger ved å bruke polygonale linjer eller omkretsbuer som tilnærmet den sanne bue, men disse løsningene var ikke nøyaktige.

Typer buer

Fra geometriens synspunkt er buer klassifisert i henhold til den buede linjen som går sammen med to punkter på planet. Det er andre klassifiseringer i henhold til bruken og arkitektonisk form.

Sirkulær bue

Når linjen som forbinder to punkter i planet er et omkretsstykke av en viss radius, har vi en sirkulær bue. Figur 2 viser en sirkulær bue c med radius R som forbinder punktene A og B.

Figur 2. Sirkulær bue med radius R som forbinder punktene A og B. Utdypet av Ricardo Pérez.

Parabolsk bue

Parabolen er banen etterfulgt av en gjenstand som er blitt kastet skrått opp i luften. Når kurven som går sammen to punkter er en parabola, så har vi en parabolbue som den som er vist i figur 3.

Figur 3. Paraboliske lysbuer som forbinder punktene A og B. Utdypet av Ricardo Pérez.

Dette er formen på vannstrålen som kommer ut av en slange som peker oppover. Parabolbuen kan observeres i vannkildene.

Figur 4. Parabolbue dannet av vann fra en fontene i Dresden. Kilde: Pixabay.

Søylebue

Slyngebuen er en annen naturlig bue. Løsningen er kurven som dannes naturlig når en kjede eller tau henger løst fra to separate punkter.

Figur 5. Kabelbue og sammenligning med parabolbuen. Utarbeidet av Ricardo Pérez.

Løsningen er lik parabolen, men den er ikke helt den samme som kan sees i figur 4.

Den omvendte ledningsbuen brukes i arkitektur som et konstruksjonselement med høy trykkfasthet. Faktisk kan det vises at det er den sterkeste typen bue blant alle mulige former.

For å bygge en solid bøyle, bare kopier du formen til et hengende tau eller kjede, så blir den kopierte formen vendt for å gjengi den på døren eller vindushylsen.

Elliptisk bue

En lysbue er elliptisk hvis kurven som forbinder to punkter er et stykke ellipse. Ellipsen er definert som stedet for punkter hvis avstand til to gitte punkter alltid gir opp til en konstant mengde.

Ellipsen er en kurve som vises i naturen: det er kurven for banen til planetene rundt sola, som demonstrert av Johannes Kepler i 1609.

I praksis kan en ellipse tegnes ved å feste to stag i bakken eller to pinner i et papirstykke og binde en streng til dem. Tauet strammes deretter med markøren eller blyanten og kurven spores. Et stykke ellips er en elliptisk bue. Følgende animasjon illustrerer hvordan ellipsen tegnes:

Figur 5. Spore en ellipse ved hjelp av et stramt tau. Kilde: Wikimedia Commons

Figur 6 viser en elliptisk lysforbindelse mellom G og H.

Figur 6. Elliptisk bue som forbinder to punkter. Utarbeidet av Ricardo Pérez.

Eksempler på buer

Følgende eksempler refererer til hvordan du beregner omkretsen til noen spesifikke buer.

Eksempel 1

Figur 7 viser et vindu ferdig i en avskåret sirkulær bue. Mål vist i figuren er i føttene. Finn buens lengde.

Figur 7. Beregning av lengden på sirkulærbuen i et vindu. (Egne merknader - vindusbilde på Pixabay)

Følgende konstruksjoner er laget på bildet for å oppnå sentrum og radius av den sirkulære buen til vinduslintelen.

-Segmentet KL tegnes og halvparten tegnes.

-Da det øverste punktet på overliggeren ligger, som vi kaller M. Neste, blir KM-segmentet vurdert og dens mediatrix spores.

Oppskjæringen av de to halvdelene er punkt N, og det er også sentrum for den sirkulære buen.

-Nå må vi måle lengden på NM-segmentet, som sammenfaller med radius R for sirkulærbuen: R = 2,8 fot.

-For å vite lengden på buen i tillegg til radius, er det nødvendig å kjenne vinkelen som buen danner. Som kan bestemmes ved to metoder, enten måles det med en gradskive, eller alternativt beregnes det ved hjelp av trigonometri.

I tilfellet vist er vinkelen dannet av buen 91.13º, som må konverteres til radianer:

91,13º = 91,13º * π / 180º = 1,59 radianer

Til slutt beregner vi lengden på buen ved å bruke formelen s = α R.

s = 1,59 * 2,8 fot = 4,45 fot

Eksempel 2

Finn lengden på den elliptiske buen vist i figur 8, kjenner halv-hovedaksen r og halvmollaksen s på ellipsen.

Figur 8. Elliptisk bue mellom GH. Utarbeidet av Ricardo Pérez.

Å finne lengden på en ellipse var et av de vanskeligste problemene i matematikk på lenge. Du kan få løsninger uttrykt med elliptiske integraler, men for å ha en numerisk verdi må du utvide disse integralene i kraftserier. Et eksakt resultat vil kreve uendelige vilkår for disse seriene.

Heldigvis fant den hinduistiske matematiske genien Ramanujan, som levde mellom 1887 og 1920, en formel som veldig nøyaktig tilnærmer omkretsen av en ellipse:

Omkretsen av en ellipse med r = 3 cm og s = 2,24 cm er 16,55 cm. Imidlertid har den elliptiske lysbuen halvparten av verdien:

Lengde på elliptisk bue GH = 8,28 cm.

referanser

1. Clemens S. 2008. Geometry and Trigonometry. Pearson Education.
2. García F. Numeriske prosedyrer i Java. Lengde på en ellipse. Gjenopprettet fra: sc.ehu.es
3. Dynamisk geometri. Buer. Gjenopprettet fra geometriadinamica.es
4. Piziadas. Ellipser og parabolas rundt oss. Gjenopprettet fra: piziadas.com
5. Wikipedia. Arch (geometri). Gjenopprettet fra: es.wikipedia.com