POISSONS FORHOLD: KOEFFISIENT, FORMLER, VERDIER, EKSEMPLER - FYSISK - 2026

Den Poisson 's -forholdet er en dimensjonsløs størrelse, som er karakteristisk for hvert materiale. Det er en indikasjon på deformasjonen av et stykke materiale før påføring av visse krefter.

Når et stykke materiale som blir utsatt for spenning, eller kompresjon, gjennomgår en deformasjon, er kvotienten mellom den tverrgående deformasjonen og den langsgående deformasjonen nettopp Poissons forhold.

Figur 1. Poissons forhold måler forholdet mellom langsgående strekk og tverrgående innsnevring. (Utarbeidet av Ricardo Pérez)

For eksempel strekker en gummisylinder som blir utsatt for spenning i endene i lengderetningen, men smalner på tvers. Figur 1 viser en stolpe hvis opprinnelige dimensjoner er: lengde L og diameter D.

Stangen er utsatt for en spenning T i endene, og som en konsekvens av denne spenningen gjennomgår den en strekk, slik at den nye lengden er L '> L. Men når den er strukket, smalner også diameteren til den nye verdien: D '<D.

Kvotienten mellom strekningen (positiv) og innsnevringen (negativ) multiplisert med (-1), er et positivt tall mellom 0 og 0,5. Dette tallet er det såkalte Poissons forhold ν (gresk bokstav nu).

Poissons forholdsformel

For å beregne Poissons forhold er det nødvendig å bestemme den langsgående og tverrgående belastningen.

Den langsgående belastningen ε _L er strekningen dividert med den opprinnelige lengden:

ε _L = (L '- L) / L

Tilsvarende er den tverrgående tøyningen ε _T den radielle innsnevring dividert med den opprinnelige diameteren:

ε _T = (D '- D) / D

Derfor blir Poissons forhold beregnet med følgende formel:

ν = - ε _T / ε _L

Forhold til elastisitetsmodul og stivhetsmodul

Poissons forhold ν er relatert til modul E for elastisitet (eller Youngs modul) og modul for stivhet G, med følgende formel:

Poissons forholdsverdi for materialer

Figur 2. Rustfritt stål har et Poissons forhold mellom 0,30 og 0,31. Kilde: Pixabay.

Beregningseksempler

Eksempel 1

En stang av et visst plastmateriale har en lengde på 150 mm og en sirkulær seksjon på 20 mm i diameter. Når den utsettes for en kompresjonskraft F på 612,25 kg-f, observeres en forkortelse på 14 mm og samtidig en økning på 0,85 mm i stangens diameter.

Regne ut:

a) Langsgående belastning.

b) Den tverrgående belastningen.

c) Poissons forhold mellom dette materialet.

d) Youngs elastisitetsmodul som tilsvarer materialet.

e) Stivhetsmodulen for den plasten.

Løsning på

Husk at den langsgående belastningen εL er strekningen dividert med den opprinnelige lengden:

εL = (L '- L) / L

eL = (-14 mm) / 150 mm = -0,0933

Legg merke til at den langsgående belastningen er dimensjonsløs, og i dette tilfellet har den vært negativ fordi det var en reduksjon i den langsgående dimensjonen.

Løsning b

Tilsvarende er den tverrgående tøyningen εT den radielle taper, delt med den opprinnelige diameteren:

εT = (D '- D) / D

εT = (+0,85 mm) / 20 mm = 0,0425

Den tverrgående belastningen har vært positiv fordi det har vært en økning i diameteren til stangen.

Løsning c

For beregning av Poissons forhold må vi huske at det er definert som det negative av kvotienten mellom den tverrgående deformasjonen og den langsgående deformasjonen:

ν = - εT / εL

v = - 0,0425 / (-0,0933) = 0,4554

Det må huskes at Poissons forhold er et positivt dimensjonsløst tall og for de fleste materialer er det mellom 0 og 0,5.

Løsning d

Youngs elastisitetsmodul, betegnet med bokstaven E, er konstanten av proporsjonaliteten i Hookes lov. Ved E er normalspenningen σL relatert til belastningen εL, som følger:

σL = E εL

Normalt spenning er definert som kvotienten mellom normalkraften (i dette tilfellet parallelt med aksen til stangen) og tverrsnittsområdet:

σL = F / A = F / (π / 4 * D ^ 2)

I denne øvelsen er kraften F 612,25 kg-f, som må konverteres til newton, som er SI-kraftenheten:

F = 612,25 kg-f = 612,25 * 9,8 N = 6000 N = 6 kN

Tverrsnittet av område A er på sin side:

A = (π / 4 * D ^ 2) = (3.1416 / 4) * (20 * 10 ^ -3 m) ^ 2 = 3.1416 * 10 ^ -4 m ^ 2

Endelig er den normale belastningen som påføres baren:

σL = F / A = 6000 N / 3,1416 * 10 ^ -4 m ^ 2 = 19,098,593 Pa = 19,098 MPa

For å beregne Youngs elastisitetsmodul løser vi for E fra Hookes lov σL = E εL:

E = σL / εL = 19,098,593 Pa / 0,0933 = 204,7 MPa

Løsning e

Modulen til stivhet G er relatert til Youngs modul E og Poissons forhold v ved denne formel:

E / (2 G) = 1 + v

Derfra kan vi løse for G:

G = E / (2 (1 + v)) = 204,7 MPa / (2 (1 + 0,4554)) = 70,33 MPa

Eksempel 2

Det er en kobberkabel med en diameter på 4 mm og 1 m lang. Når du vet at Youngs kobbermodul er 110 000 MPa, og at Poissons forhold er 0,34, må du estimere strekk og innsnevring i diameter som ledningen gjennomgår når en vekt på 100 kg-f henges på den.

Løsning

Først er det nødvendig å beregne den normale strekkspenningen som vekten utøver på ledningen, ved å følge denne formelen:

σL = F / A = F / (π / 4 * D ^ 2)

Kraften F er 980 N og tverrsnittsarealet er:

A = (π / 4 * D ^ 2) = (3.1416 / 4) * (4 * 10 ^ -3 m) ^ 2 = 1.2566 * 10 ^ -5 m ^ 2

Da er strekkspenningen:

σL = 980 N / 1,2566 * 10 ^ -5 m ^ 2 = 77,986,000 Pa

Beregning av Strain of Wire

Youngs elastisitetsmodul, betegnet med bokstaven E, er proporsjonalitetskonstanten i Hookes lov som relaterer normalspenningen σL til belastningen εL:

σL = E εL

Derfra kan den langsgående belastningen på kobbertråden løses:

εL = σL / E = 77,986 MPa / 110000 MPa = 7,09 * 10 ^ -4

Beregning av tverrstamme

På den annen side, for å kjenne den tverrgående belastningen, brukes Poissons forhold:

ν = - εT / εL

Endelig er den tverrgående belastningen:

εT = –ν εL = - 0,34 * 7,09 * 10 ^ -4 = -2,41 * 10 ^ -4

Beregning av absolutt kabelstrekning

Til slutt, for å kjenne den absolutte strekningen på kabelen, må følgende forhold brukes:

ΔL = εL * L = 7,09 * 10 ^ -4 * 1 m = 7,09 * 10 ^ -4 m = 0,709 mm

Det vil si, med den vekten strekkte kabelen knapt 0,709 millimeter.

Beregning av reduksjon i diameter

For å oppnå absolutt krympning i diameter bruker vi følgende formel:

ΔD = εT * D = -2,41 * 10 ^ -4 * 4 mm = -9,64 * 10 ^ -4 mm = -0.000964 millimeter.

Denne innsnevringen i diameter er så liten at det er vanskelig å se med det blotte øye, selv måling av det krever et høyt presisjonsinstrument.

referanser

1. Øl F .. Mekanikk av materialer. Femte. Edition. 2010. Mc Graw Hill. 1-130.
2. Hibbeler R. Mekanikk av materialer. Åttende utgave. Prentice Hall. 2011. 3-60.
3. Gere J. Mekanikk av materialer. Åttende utgave. Cengage Learning. 4-220.
4. Giancoli, D. 2006. Physics: Principles with Applications. 6. utg. Prentice Hall. 238-242.
5. Valera Negrete, J. 2005. Merknader om generell fysikk. UNAM. 87-98.