REKTANGULÆRE KOORDINATER: EKSEMPLER OG LØSTE ØVELSER - MATTE - 2025

De rektangulære koordinatene eller kartesiske er de som er oppnådd på den ortogonalt fremspringende de tre kartesiske aksene X, Y, Z, et punkt som ligger i tredimensjonalt rom.

Kartesiske akser er gjensidig orienterte linjer vinkelrett på hverandre. I det kartesiske koordinatsystemet tildeles hvert punkt i rommet tre reelle tall som er dets rektangulære koordinater.

Figur 1. Rektangulære koordinater av punkt P (Egen utdyping)

Et plan er et underområde av tredimensjonalt rom. Hvis du vurderer punkter på et plan, så er det nok å velge et par vinkelrette akser X, Y som kartesisk system. Deretter tildeles hvert punkt på planet to reelle tall som er dets rektangulære koordinater.

Opprinnelse til rektangulære koordinater

Rektangulære koordinater ble opprinnelig foreslått av den franske matematikeren René Descartes (1596 og 1650), og det er derfor de kalles Cartesian.

Med denne ideen om Descartes blir punktene på planet og rommet tildelt tall, slik at de geometriske figurene har en algebraisk ligning tilknyttet og de klassiske geometriske teoremene kan bevises algebraisk. Med de kartesiske koordinatene blir analytisk geometri født.

Det kartesiske flyet

Hvis i et plan velges to vinkelrett linjer som krysser hverandre ved et punkt O; og hvis hver linje i tillegg blir tildelt en retning og en numerisk skala mellom suksessive ekvistante punkter, er det et kartesisk system eller plan der hvert punkt i planet er assosiert med et ordnet par av to reelle tall som er deres projeksjoner hhv. X- og Y-aksene.

Punktene A = (3, 2); B = (- 2, 3); C = (- 2, -3) og D = (3, -3) er representert i det kartesiske planet som vist nedenfor:

Figur 2. Poeng i det kartesiske planet. (Egen utdyping)

Legg merke til at de to aksene X og Y deler planet i fire sektorer kalt kvadranter. Punkt A er i den første kvadranten, B er i den andre kvadranten, C er i den tredje kvadranten, og punkt D er i den fjerde kvadranten.

Avstand mellom to punkter

Avstanden mellom to punkter A og B på det kartesiske planet er lengden på segmentet som forbinder dem. Denne avstanden kan beregnes analytisk som følger:

d (A, B) = √ (Bx - Ax) ^ 2 + (By - Ay) ^ 2)

Ovennevnte formel oppnås ved anvendelse av Pythagorean teorem.

Å bruke denne formelen på punkt A, B i figur 2 har vi:

d (A, B) = √ (-2 - 3) ^ 2 + (3 - 2) ^ 2) = √ (-5) ^ 2 + 1 ^ 2) = √ (26)

Det vil si d (A, B) = 5,10 enheter. Merk at avstanden ble oppnådd uten å måtte måle med en linjal, en helt algebraisk prosedyre er fulgt.

Analytisk uttrykk for en linje

Rektangulære koordinater tillater analytisk representasjon av grunnleggende geometriske objekter som punktet og linjen. To punkter A og B definerer en enkelt linje. Linjens helning er definert som kvotienten mellom forskjellen til Y-koordinatene til punkt B minus A, delt med forskjellen på X-koordinatene til punkt B minus A:

helling = (By - Ay) / (Bx - Ax)

Ethvert punkt P av koordinater (x, y) som hører til linjen (AB), må ha samme helning:

helling = (y - Ay) / (x - Ax)

Ligningen som oppnås gjennom lien på løyper er den analytiske eller algebraiske representasjonen av linjen som går gjennom punktene A og B:

(y - Ay) / (x - Ax) = (By - Ay) / (Bx - Ax).

Hvis vi tar for A og B de rektangulære koordinatene i figur 2 har vi:

(y - 2) / (x - 3) = (3 - 2) / (- 2 - 3)

(y - 2) / (x - 3) = -⅕

I dette spesielle tilfellet har vi en linje med en negativ helling -⅕, som betyr at ved å plassere på et punkt på linjen og øke x-koordinaten med en enhet, reduseres y-koordinaten med 0,2 enheter.

Den vanligste måten å skrive ligningen på linjen i planet er med y-koordinaten ryddet som en funksjon av variabelen x:

y = - (1/5) x + 13/5

eksempler

Eksempel 1

Få med analysemetoder avstanden mellom punktene C og A, som er de rektangulære koordinatene til C = (-2, -3) og de av A = (3,2).

Formelen for den euklidiske avstanden mellom disse to punktene er skrevet slik:

d (A, C) = √ ((Cx - Ax) ^ 2 + (Cy - Ay) ^ 2)

Ved å erstatte de tilsvarende rektangulære koordinatene har vi:

d (A, C) = √ (-2 - 3) ^ 2 + (-3 - 2) ^ 2) = √ (-5) ^ 2 + (-5) ^ 2) = 5√2 = 7,07

Eksempel 2

Få likningen av linjen som går gjennom punkt C for koordinater (-2, -3) og punkt P for koordinater (2, 0).

Først oppnås helningen av linjen CP:

helning = (0 - (- 3)) / (2 - (-2)) = ¾

Ethvert punkt Q med generiske rektangulære koordinater (x, y) som hører til linjen CP, må ha samme helning:

helling = (y - (- 3)) / (x - (-2)) = (y +3) / (x +2)

Med andre ord er ligningen på linjen CP:

(y +3) / (x +2) = ¾

En alternativ måte å skrive ligningen på linjen CP er å løse for y:

y = ¾ x - 3/2

Løste øvelser

Oppgave 1

Få de rektangulære koordinatene til skjæringspunktet mellom linjene y = - (1/5) x + 13/5 og linjen y = ¾ x - 3/2.

Løsning: Per definisjon deler skjæringspunktet mellom de to linjene de samme rektangulære koordinatene. Derfor er y-koordinatene i skjæringspunktet identiske for begge linjer:

- (1/5) x + 13/5 = ¾ x - 3/2

som fører til følgende uttrykk:

(¾ + ⅕) x = 13/5 +3/2

løse summen av brøk vi får:

19/20 x = 41/10

Løsning for x:

x = 82/19 = 4,32

For å oppnå kryssets y-verdi erstattes den oppnådde x-verdien i en av linjene:

y = ¾ 4,32 - 3/2 = 1,74

Dette betyr at de gitte linjene skjærer hverandre ved punktet I for koordinatene I = (4.32, 1.74).

Oppgave 2

Få likningen av omkretsen som går gjennom punktet R for rektangulære koordinater (3, 4), og som har sitt senter ved koordinatets opprinnelse.

Løsning: Radien R er avstanden fra punkt R til opprinnelsen O til koordinater (0, 0).

d (R, O) = √ ((Rx - 0) ^ 2 + (Ry - 0) ^ 2) = √ ((3 - 0) ^ 2 + (4 - 0) ^ 2) = √ (3 ^ 2 + 4 ^ 2) = √ (9 + 16) = √ (25) = 5

Det vil si at det er en sirkel med radius 5 sentrert ved (0,0).

Ethvert punkt P (x, y) på omkretsen må ha samme avstand 5 fra sentrum (0, 0) slik at det kan skrives:

d (P, O) = √ ((x - 0) ^ 2 + (y - 0) ^ 2) = √ (x ^ 2 + y ^ 2) = 5

Det er å si:

√ (x ^ 2 + y ^ 2) = 5

For å eliminere kvadratroten er begge medlemmene av likestillingen kvadratisk, og oppnår:

x ^ 2 + y ^ 2 = 25

Hva er likningen av omkretsen.

Dette eksemplet illustrerer kraften til det rektangulære koordinatsystemet, som gjør det mulig å bestemme geometriske objekter, for eksempel omkretsen, uten å måtte bruke papir, blyant og kompass. Den forespurte omkretsen er bestemt bare ved algebraiske metoder.

referanser

1. Arfken G og Weber H. (2012). Matematiske metoder for fysikere. En omfattende guide. 7. utgave. Academic Press. ISBN 978-0-12-384654-9
2. Beregning cc. Løst problemer med rektangulære koordinater. Gjenopprettet fra: calculo.cc
3. Weisstein, Eric W. "Cartesian Coordinates." Fra MathWorld-A Wolfram Web. Gjenopprettet fra: mathworld.wolfram.com
4. wikipedia. Kartesisk koordinatsystem. Gjenopprettet fra: en.wikipedia.com