- Formel
- Euklidisk avstand i to dimensjoner
- Ikke-euklidiske overflater
- Euklidisk avstand i n dimensjoner
- Hvordan beregne euklidisk avstand
- Eksempel
- referanser
Den euklidiske avstanden er et positivt tall som indikerer skillet mellom to punkter i et rom der aksiomene og teoriene i Euklids geometri blir oppfylt.
Avstanden mellom to punkter A og B i et euklidisk rom er lengden på vektoren AB som tilhører den eneste linjen som går gjennom disse punktene.
Figur 1 . Endimensjonalt euklidisk rom dannet av linjen (OX). Flere punkter vises på nevnte rom, deres koordinater og avstander. (Utarbeidet av Ricardo Pérez).
Rommet som mennesker oppfatter og hvor vi beveger oss er et tredimensjonalt (3-D) rom, der aksiomene og teoremene i Euclids geometri blir oppfylt. To-dimensjonale delområder (plan) og endimensjonale delområder (linjer) er inneholdt i dette rommet.
Euklidiske rom kan være en-dimensjonal (1-D), to-dimensjonal (2-D), tredimensjonal (3-D) eller n-dimensjonal (nD).
Punkter i det endimensjonale rommet X er de som hører til den orienterte linjen (OX), retningen fra O til X er den positive retningen. For å lokalisere punktene på denne linjen brukes det kartesiske systemet, som består av å tilordne et nummer til hvert punkt på linjen.
Formel
Den euklidiske avstanden d (A, B) mellom punktene A og B, som ligger på en linje, er definert som kvadratroten til kvadratet av forskjellene i deres X-koordinater:
d (A, B) = √ ((XB - XA) ^ 2)
Denne definisjonen garanterer at: avstanden mellom to punkter alltid er en positiv mengde. Og at avstanden mellom A og B er lik avstanden mellom B og A.
Figur 1 viser det endimensjonale euklidiske rommet dannet av linjen (OX) og flere punkter på linjen. Hvert punkt har en koordinat:
Punkt A har koordinat XA = 2.5, punkt B koordinat XB = 4 og punkt C koordinat XC = -2.5
d (A, B) = √ ((4 - 2,5) 2) = 1,5
d (B, A) = √ ((2,5 - 4) 2) = 1,5
d (A, C) = √ ((- 2,5 - 2,5) 2) = 5,0
Euklidisk avstand i to dimensjoner
To-dimensjonalt euklidisk rom er et plan. Punktene til et euklidisk plan oppfyller aksiomene til den euklidiske geometrien, for eksempel:
- En enkelt linje går gjennom to punkter.
- Tre punkter på planet danner en trekant hvis indre vinkler alltid legger opp til 180º.
- I en høyre trekant er kvadratet på hypotenusen lik summen av kvadratene på bena.
I to dimensjoner har et punkt X- og Y-koordinater.
For eksempel har et punkt P koordinater (XP, YP) og et punkt Q-koordinater (XQ, YQ).
Den euklidiske avstanden mellom punkt P og Q er definert med følgende formel:
d (P, Q) = √ ((XQ - XP) ^ 2 + (YQ - YP) ^ 2)
Det skal bemerkes at denne formelen tilsvarer Pythagorean teorem, som vist i figur 2.
Figur 2. Avstanden mellom to punkter P og Q i planet oppfyller Pythagoras teorem. (Utarbeidet av Ricardo Pérez).
Ikke-euklidiske overflater
Ikke alle todimensjonale rom er i samsvar med euklidisk geometri. Overflaten på en sfære er et todimensjonalt rom.
Vinklene på en trekant på en sfærisk overflate legger ikke opp til 180 º, og med dette oppfylles ikke Pythagoras teorem, derfor oppfyller en sfærisk overflate ikke Euclids aksiomer.
Euklidisk avstand i n dimensjoner
Koordinatebegrepet kan utvides til større dimensjoner:
- I 2-D-punkt har P koordinater (XP, YP)
- I 3-D har et punkt Q koordinater (XQ, YQ, ZQ)
- I 4-D vil punktet R ha koordinater (XR, YR, ZR, WR)
- I nD vil et punkt P ha koordinater (P1, P2, P3,… .., Pn)
Avstanden mellom to punkter P og Q i et n-dimensjonalt euklidisk rom beregnes med følgende formel:
d (P, Q) = √ ((Q1 - P1) ^ 2 + (Q2 - P2) ^ 2 + …… .. + (Qn - Pn) ^ 2)
Lokuset til alle punktene Q i et n-dimensjonalt euklidisk rom ekvidistant fra et annet fast punkt P (sentrum) danner en n-dimensjonal hypersfære.
Hvordan beregne euklidisk avstand
Følgende viser hvordan avstanden mellom to punkter som ligger i det euklidiske tredimensjonale rommet beregnes.
Anta at punkt A i kartesiske koordinater x, y, z gitt av A :( 2, 3, 1) og punkt B for koordinater B :( -3, 2, 2).
Vi ønsker å bestemme avstanden mellom disse punktene, som det generelle forholdet brukes til:
d (A, B) = √ ((-3 - 2) 2 + (2 - 3) 2 + (2 - 1) 2) = √ ((-5) 2 + (-1) 2 + (1) 2 )
d (A, B) = √ (25 + 1 + 1) = √ (27) = √ (9 * 3) = 3 √ (3) = 5196
Eksempel
Det er to punkter P og Q. Punktet P for kartesiske koordinater x, y, z gitt av P :( 2, 3, 1) og punktet Q for koordinatene Q :( -3, 2, 1).
Det blir bedt om å finne koordinatene til midtpunktet M i segmentet som forbinder de to punktene.
Det ukjente punktet M antas å ha koordinater (X, Y, Z).
Siden M er midtpunktet i, må det være sant at d (P, M) = d (Q, M), så d (P, M) ^ 2 = d (Q, M) ^ 2 må også være sant:
(X - 2) ^ 2 + (Y - 3) ^ 2 + (Z - 1) ^ 2 = (X - (-3)) ^ 2 + (Y - 2) ^ 2 + (Z - 1) ^ 2
Som i dette tilfellet er tredje termin lik i begge medlemmer, forenkler forrige uttrykk til:
(X - 2) ^ 2 + (Y - 3) ^ 2 = (X + 3) ^ 2 + (Y - 2) ^ 2
Vi har da en ligning med to ukjente X og Y. En annen ligning er nødvendig for å løse problemet.
Punkt M tilhører linjen som går gjennom punktene P og Q, som vi kan beregne som følger:
Først finner vi linjens vektorvektor PQ : PQ = <-3-2, 2-3, 1-1> = <-5, -1, 0>.
Da er PM = OP + a PQ , der OP er posisjonsvektoren til punktet P og er en parameter som hører til de reelle tallene.
Ligningen ovenfor er kjent som vektorligningen på linjen, som i kartesiske koordinater har følgende form:
<X-2, Y-3, Z-1> = <2, 3, 1> + a <-5, -1, 0> = <2 - 5a, 3 - a, 0>
Sammenligner vi de tilsvarende komponentene vi har:
X - 2 = 2-5 a; Y - 3 = 3-a; Z - 1 = 0
Det vil si X = 4 - 5a, Y = 6 - a, til slutt Z = 1.
Det er substituert i det kvadratiske uttrykket som relaterer X til Y:
(4 - 5a - 2) ^ 2 + (6 - a - 3) ^ 2 = (4 - 5a + 3) ^ 2 + (6 - a - 2) ^ 2
Det er forenklet:
(2 - 5a) ^ 2 + (3-a) ^ 2 = (7 - 5a) ^ 2 + (4 - a) ^ 2
Utfolder seg nå:
4 + 25 a ^ 2 - 20a + 9 + a ^ 2 - 6a = 49 + 25 a ^ 2 - 70a + 16 + a ^ 2 - 8a
Det er forenklet og avbryter lignende vilkår hos begge medlemmer:
4 - 20a + 9 - 6a = 49 - 70a + 16 - 8a
Parameteren a slettes:
52 a = 49 + 16 - 4 - 9 = 52 resulterer i a = 1.
Det vil si X = 4 - 5, Y = 6 - 1, til slutt Z = 1.
Til slutt får vi de kartesiske koordinatene til midtpunktet M i segmentet:
M: (-1, 5, 1).
referanser
- Lehmann C. (1972) Analytical Geometry. UTEHA.
- Superprof. Avstand mellom to punkter. Gjenopprettet fra: superprof.es
- UNAM. Avstand mellom underliggende manifolder. Gjenopprettet fra: prometeo.matem.unam.mx/
- wikipedia. Euklidisk avstand. Gjenopprettet fra: es.wikipedia.com
- wikipedia. Euklidisk rom. Gjenopprettet fra: es.wikipedia.com