MATEMATISK FORVENTNING: FORMEL, EGENSKAPER, EKSEMPLER, TRENING - DUDAS - 2026

Den matematiske forventningen eller forventede verdien til den tilfeldige variabelen X, betegnes som E (X) og er definert som summen av produktet mellom sannsynligheten for at en tilfeldig hendelse skal inntreffe og verdien av nevnte hendelse.

I matematisk form uttrykkes det som følger:

Figur 1. Matematisk forventning er mye brukt i aksjemarkedet og i forsikring. Kilde: Pixabay.

Hvor x _i er verdien av hendelsen og P (x _i ) dens sannsynlighet for forekomst. Summasjonen strekker seg over alle verdiene som X innrømmer. Og hvis disse er endelige, konvergerer den angitte summen til verdien E (X), men hvis summen ikke konvergerer, har variabelen rett og slett ingen forventet verdi.

Når det er en kontinuerlig variabel x, kan variabelen ha uendelige verdier og integralene erstatter summasjonene:

Her representerer f (x) sannsynlighetstetthetsfunksjonen.

Generelt er den matematiske forventningen (som er et vektet gjennomsnitt) ikke lik det aritmetiske gjennomsnittet eller gjennomsnittet, med mindre vi har å gjøre med diskrete fordelinger der hver hendelse er like sannsynlig. Så, og bare da:

Hvor n er antall mulige verdier.

Konseptet er veldig nyttig i finansmarkeder og forsikringsselskaper, der det ofte ikke mangler sikkerhet, men sannsynligheter eksisterer.

Egenskaper ved matematisk forventning

Følgende skiller seg ut blant de viktigste egenskapene til matematisk forventning:

- Tegn: Hvis X er positiv, vil E (X) også være positivt.

- Forventet verdi av en konstant : den forventede verdien til en reell konstant k er konstanten.

- Linearitet i summen: forventningen til en tilfeldig variabel som igjen er summen av to variabler X og Y er summen av forventningene.

E (X + Y) = E (X) + E (Y)

- Multiplikasjon med en konstant : hvis den tilfeldige variabelen har formen kX, hvor k er en konstant (et reelt tall), kommer den utenfor den forventede verdien.

- Forventet verdi av produktet og uavhengighet mellom variabler : Hvis en tilfeldig variabel er produktet av de tilfeldige variablene X og Y, som er uavhengige, er den forventede verdien av produktet produktet av de forventede verdiene.

Generelt, hvis Y = g (X):

- Ordre i forventet verdi: hvis X ≤ Y, så:

Siden det er de forventede verdiene til hver av dem.

Den matematiske forventningen til å satse

Da den berømte astronomen Christian Huygens (1629-1695) ikke observerte himmelen, viet han seg til å studere, blant andre disipliner, sannsynligheten i sjansespill. Det var han som introduserte begrepet matematisk håp i sitt arbeid fra 1656 med tittelen: Ræsonnement om sjansespill.

Figur 2. Christiaan Huygens (1629-1625) var en strålende og allsidig vitenskapsmann, som vi skylder begrepet forventet verdi.

Huygens fant at spill kunne klassifiseres på tre måter, basert på forventet verdi:

-Spill med fordel: E (X)> 0

- Fair odds: E (X) = 0

-Spill med en ulempe: E (X) <0

Problemet er at i et sjansespill er den matematiske forventningen ikke alltid like lett å beregne. Og når du kan, er resultatet noen ganger skuffende for de som lurer på om de skal satse eller ikke.

La oss prøve en enkel innsats: hoder eller haler, og taperen betaler en kaffe på $ 1. Hva er den forventede verdien av denne innsatsen?

Vel, sannsynligheten for at et hode blir rullet er ½, lik halene. Den tilfeldige variabelen er å få $ 1 eller tape $ 1, gevinsten er betegnet med + -tegnet og tapet med tegnet -.

Vi organiserer informasjonen i en tabell:

Vi multipliserer verdiene til kolonnene: 1. ½ = ½ og (-1). ½ = -½ og til slutt blir resultatene lagt til. Summen er 0 og det er et rettferdig spill, der deltakerne forventes å verken vinne eller tape.

Fransk rulett og lotteriet er handikapspill der de fleste spillere taper. Senere er det en litt mer kompleks innsats i delen om løste øvelser.

eksempler

Her er noen enkle eksempler der begrepet matematisk forventning er intuitivt og tydeliggjør begrepet:

Eksempel 1

Vi vil begynne med å rulle en ærlig die. Hva er den forventede verdien av lanseringen? Vel, hvis matrisen er ærlig og har 6 hoder, er sannsynligheten for at en verdi (X = 1, 2, 3 … 6) vil rulle 1/6, slik:

E (X) = 1. (1/6) + 2. (1/6) + 3. (1/6) + 4. (1/6) + 5. (1/6) + 6. (1 / 6) = 21/6 = 3,5

Figur 3. I rullen til en ærlig matrice er ikke den forventede verdien en mulig verdi. Kilde: Pixabay.

Den forventede verdien i dette tilfellet er lik gjennomsnittet, siden hvert ansikt har samme sannsynlighet for å komme ut. Men E (X) er ikke en mulig verdi, siden ingen hoder er verdt 3,5. Dette er fullt mulig i noen distribusjoner, selv om resultatet i dette tilfellet ikke hjelper spilleren mye.

La oss se på et annet eksempel med kaste av to mynter.

Eksempel 2

To ærlige mynter kastes i luften, og vi definerer den tilfeldige variabelen X som antall hoder som er rullet. Hendelsene som kan oppstå er følgende:

- Ingen hoder kommer opp: 0 hoder som tilsvarer 2 haler.

-Det kommer ut 1 hode og 1 stempel eller haler.

- To ansikter kommer ut.

La C være et hode og T et segl. Eksempelrommet som beskriver disse hendelsene er følgende:

S _m = {Seal-Seal; Seal-Face; Ansikt-Seal; Face-Face} = {TT, TC, CT, CC}

Sannsynligheten for at hendelsene skjer er:

P (X = 0) = P (T). P (T) = ½. ½ = ¼

P (X = 1) = P (TC) + P (CT) = P (T). P (C) + P (C). P (T) = ¼ + ¼ = ½

P (X = 2) = P (C). P (C) = ½. ½ = ¼

Tabellen er bygget med oppnådde verdier:

I henhold til definisjonen gitt i begynnelsen, beregnes den matematiske forventningen som:

Å erstatte verdier:

E (X) = 0. ¼ + 1. ½ + 2. ¼ = ½ + ½ = 1

Dette resultatet tolkes slik: hvis en person har nok tid til å gjøre et stort antall eksperimenter ved å kaste de to myntene, forventes det at han får et hode på hver kast.

Vi vet imidlertid at utgivelser med 2 etiketter er fullt mulig.

Trening løst

Når du kaster to ærlige mynter, gjøres følgende spill: hvis 2 hoder kommer ut, vinner du $ 3, hvis 1 hode kommer ut, vinner du $ 1, men hvis to frimerker kommer ut, må du betale $ 5. Beregn den forventede gevinsten av innsatsen.

Figur 4. Avhengig av innsatsen, endres den matematiske forventningen når du kaster to ærlige mynter. Kilde: Pixabay.

Løsning

Den tilfeldige variabelen X er verdiene som pengene tar i innsatsen og sannsynlighetene ble beregnet i forrige eksempel, derfor er tabellen over innsatsen:

E (X) = 3. ¼ + 1. ½ + (-5). ¼ = 0

Siden forventet verdi er 0, er dette rettferdig spill, så her forventes det at spilleren ikke vil vinne og heller ikke tape. Imidlertid kan innsatsbeløpene endres for å gjøre innsatsen til et handikapspill eller et handikapspill.

referanser

1. Brase, C. 2009. Forståelig statistikk. Houghton Mifflin.
2. Olmedo, F. Introduksjon til begrepet forventet verdi eller matematisk forventning om en tilfeldig variabel. Gjenopprettet fra: personal.us.es.
3. Statistikk LibreTexts. Forventet verdi av diskrete tilfeldige variabler. Gjenopprettet fra: stats.libretexts.org.
4. Triola, M. 2010. Elementær statistikk. 11.. Ed. Addison Wesley.
5. Walpole, R. 2007. Probability and Statistics for Science and Engineering. Åttende. Edition. Pearson Education.