- Egenskaper ved matematisk forventning
- Den matematiske forventningen til å satse
- eksempler
- Eksempel 1
- Eksempel 2
- Trening løst
- Løsning
- referanser
Den matematiske forventningen eller forventede verdien til den tilfeldige variabelen X, betegnes som E (X) og er definert som summen av produktet mellom sannsynligheten for at en tilfeldig hendelse skal inntreffe og verdien av nevnte hendelse.
I matematisk form uttrykkes det som følger:

Figur 1. Matematisk forventning er mye brukt i aksjemarkedet og i forsikring. Kilde: Pixabay.
Hvor x i er verdien av hendelsen og P (x i ) dens sannsynlighet for forekomst. Summasjonen strekker seg over alle verdiene som X innrømmer. Og hvis disse er endelige, konvergerer den angitte summen til verdien E (X), men hvis summen ikke konvergerer, har variabelen rett og slett ingen forventet verdi.
Når det er en kontinuerlig variabel x, kan variabelen ha uendelige verdier og integralene erstatter summasjonene:

Her representerer f (x) sannsynlighetstetthetsfunksjonen.
Generelt er den matematiske forventningen (som er et vektet gjennomsnitt) ikke lik det aritmetiske gjennomsnittet eller gjennomsnittet, med mindre vi har å gjøre med diskrete fordelinger der hver hendelse er like sannsynlig. Så, og bare da:
Hvor n er antall mulige verdier.
Konseptet er veldig nyttig i finansmarkeder og forsikringsselskaper, der det ofte ikke mangler sikkerhet, men sannsynligheter eksisterer.
Egenskaper ved matematisk forventning
Følgende skiller seg ut blant de viktigste egenskapene til matematisk forventning:
- Tegn: Hvis X er positiv, vil E (X) også være positivt.
- Forventet verdi av en konstant : den forventede verdien til en reell konstant k er konstanten.
- Linearitet i summen: forventningen til en tilfeldig variabel som igjen er summen av to variabler X og Y er summen av forventningene.
E (X + Y) = E (X) + E (Y)
- Multiplikasjon med en konstant : hvis den tilfeldige variabelen har formen kX, hvor k er en konstant (et reelt tall), kommer den utenfor den forventede verdien.
- Forventet verdi av produktet og uavhengighet mellom variabler : Hvis en tilfeldig variabel er produktet av de tilfeldige variablene X og Y, som er uavhengige, er den forventede verdien av produktet produktet av de forventede verdiene.
Generelt, hvis Y = g (X):
- Ordre i forventet verdi: hvis X ≤ Y, så:
Siden det er de forventede verdiene til hver av dem.
Den matematiske forventningen til å satse
Da den berømte astronomen Christian Huygens (1629-1695) ikke observerte himmelen, viet han seg til å studere, blant andre disipliner, sannsynligheten i sjansespill. Det var han som introduserte begrepet matematisk håp i sitt arbeid fra 1656 med tittelen: Ræsonnement om sjansespill.

Figur 2. Christiaan Huygens (1629-1625) var en strålende og allsidig vitenskapsmann, som vi skylder begrepet forventet verdi.
Huygens fant at spill kunne klassifiseres på tre måter, basert på forventet verdi:
-Spill med fordel: E (X)> 0
- Fair odds: E (X) = 0
-Spill med en ulempe: E (X) <0
Problemet er at i et sjansespill er den matematiske forventningen ikke alltid like lett å beregne. Og når du kan, er resultatet noen ganger skuffende for de som lurer på om de skal satse eller ikke.
La oss prøve en enkel innsats: hoder eller haler, og taperen betaler en kaffe på $ 1. Hva er den forventede verdien av denne innsatsen?
Vel, sannsynligheten for at et hode blir rullet er ½, lik halene. Den tilfeldige variabelen er å få $ 1 eller tape $ 1, gevinsten er betegnet med + -tegnet og tapet med tegnet -.
Vi organiserer informasjonen i en tabell:

Vi multipliserer verdiene til kolonnene: 1. ½ = ½ og (-1). ½ = -½ og til slutt blir resultatene lagt til. Summen er 0 og det er et rettferdig spill, der deltakerne forventes å verken vinne eller tape.
Fransk rulett og lotteriet er handikapspill der de fleste spillere taper. Senere er det en litt mer kompleks innsats i delen om løste øvelser.
eksempler
Her er noen enkle eksempler der begrepet matematisk forventning er intuitivt og tydeliggjør begrepet:
Eksempel 1
Vi vil begynne med å rulle en ærlig die. Hva er den forventede verdien av lanseringen? Vel, hvis matrisen er ærlig og har 6 hoder, er sannsynligheten for at en verdi (X = 1, 2, 3 … 6) vil rulle 1/6, slik:
E (X) = 1. (1/6) + 2. (1/6) + 3. (1/6) + 4. (1/6) + 5. (1/6) + 6. (1 / 6) = 21/6 = 3,5

Figur 3. I rullen til en ærlig matrice er ikke den forventede verdien en mulig verdi. Kilde: Pixabay.
Den forventede verdien i dette tilfellet er lik gjennomsnittet, siden hvert ansikt har samme sannsynlighet for å komme ut. Men E (X) er ikke en mulig verdi, siden ingen hoder er verdt 3,5. Dette er fullt mulig i noen distribusjoner, selv om resultatet i dette tilfellet ikke hjelper spilleren mye.
La oss se på et annet eksempel med kaste av to mynter.
Eksempel 2
To ærlige mynter kastes i luften, og vi definerer den tilfeldige variabelen X som antall hoder som er rullet. Hendelsene som kan oppstå er følgende:
- Ingen hoder kommer opp: 0 hoder som tilsvarer 2 haler.
-Det kommer ut 1 hode og 1 stempel eller haler.
- To ansikter kommer ut.
La C være et hode og T et segl. Eksempelrommet som beskriver disse hendelsene er følgende:
S m = {Seal-Seal; Seal-Face; Ansikt-Seal; Face-Face} = {TT, TC, CT, CC}
Sannsynligheten for at hendelsene skjer er:
P (X = 0) = P (T). P (T) = ½. ½ = ¼
P (X = 1) = P (TC) + P (CT) = P (T). P (C) + P (C). P (T) = ¼ + ¼ = ½
P (X = 2) = P (C). P (C) = ½. ½ = ¼
Tabellen er bygget med oppnådde verdier:

I henhold til definisjonen gitt i begynnelsen, beregnes den matematiske forventningen som:
Å erstatte verdier:
E (X) = 0. ¼ + 1. ½ + 2. ¼ = ½ + ½ = 1
Dette resultatet tolkes slik: hvis en person har nok tid til å gjøre et stort antall eksperimenter ved å kaste de to myntene, forventes det at han får et hode på hver kast.
Vi vet imidlertid at utgivelser med 2 etiketter er fullt mulig.
Trening løst
Når du kaster to ærlige mynter, gjøres følgende spill: hvis 2 hoder kommer ut, vinner du $ 3, hvis 1 hode kommer ut, vinner du $ 1, men hvis to frimerker kommer ut, må du betale $ 5. Beregn den forventede gevinsten av innsatsen.

Figur 4. Avhengig av innsatsen, endres den matematiske forventningen når du kaster to ærlige mynter. Kilde: Pixabay.
Løsning
Den tilfeldige variabelen X er verdiene som pengene tar i innsatsen og sannsynlighetene ble beregnet i forrige eksempel, derfor er tabellen over innsatsen:

E (X) = 3. ¼ + 1. ½ + (-5). ¼ = 0
Siden forventet verdi er 0, er dette rettferdig spill, så her forventes det at spilleren ikke vil vinne og heller ikke tape. Imidlertid kan innsatsbeløpene endres for å gjøre innsatsen til et handikapspill eller et handikapspill.
referanser
- Brase, C. 2009. Forståelig statistikk. Houghton Mifflin.
- Olmedo, F. Introduksjon til begrepet forventet verdi eller matematisk forventning om en tilfeldig variabel. Gjenopprettet fra: personal.us.es.
- Statistikk LibreTexts. Forventet verdi av diskrete tilfeldige variabler. Gjenopprettet fra: stats.libretexts.org.
- Triola, M. 2010. Elementær statistikk. 11.. Ed. Addison Wesley.
- Walpole, R. 2007. Probability and Statistics for Science and Engineering. Åttende. Edition. Pearson Education.
