KOMPLEMENTÆRE VINKLER: HVILKE OG HVORDAN DE BLIR BEREGNET, EKSEMPLER, ØVELSER - MATTE - 2025

To eller flere vinkler er komplementære vinkler hvis summen av målene tilsvarer den i rett vinkel. Som kjent er målet på en rett vinkel i grader 90º, og i radianer er det π / 2.

For eksempel er de to vinklene ved siden av hypotenusen til en høyre trekant komplementære med hverandre, siden summen av målene er 90º. Følgende figur er veldig illustrerende i denne forbindelse:

Figur 1. Til venstre flere vinkler med felles toppunkt. Til høyre en vinkel på 60º som utfyller vinkelen α (alfa). Kilde: F. Zapata.

Totalt fire vinkler er vist i figur 1. α og β er komplementære siden de er tilstøtende og summen fullfører en rett vinkel. Tilsvarende er β komplementær med γ, hvorfra det følger at γ og α er like store.

Siden summen av α og δ er lik 90 grader, kan det sies at α og δ er komplementære. Siden β og δ har samme komplementære α, kan det videre sies at β og δ har samme mål.

Eksempler på komplementære vinkler

Følgende eksempler ber om å finne de ukjente vinklene, merket med spørsmålstegn i figur 2.

Figur 2. Ulike eksempler på komplementære vinkler. Kilde: F. Zapata.

- Eksempler A, B og C

Følgende eksempler er i kompleksitetsrekkefølge.

Eksempel A

I figuren over har vi at de tilstøtende vinklene α og 40º legger opp til en rett vinkel. Det vil si α + 40º = 90º, derfor α = 90º- 40º = 50º.

Eksempel B

Siden β er komplementær til vinkelen på 35º, så er β = 90º - 35º = 55º.

Eksempel C

Fra figur 2C har vi at summen av γ + 15º + 15º = 90º. Med andre ord γ er komplementær til vinkelen 30º = 15º + 15º. Så det:

γ = 90º- 30º = 60º

- Eksempler D, E og F

I disse eksemplene er det flere vinkler involvert. For å finne de ukjente, må leseren anvende begrepet komplementær vinkel så mange ganger som nødvendig.

Eksempel D

Siden X er komplementær til 72º, følger det at X = 90º - 72º = 18º. Videre er Y komplementær til X, så Y = 90º - 18º = 72º.

Endelig Z er utfyllende med Y. Av alt det ovenstående følger det at:

Z = 90º - 72º = 18º

Eksempel E

Vinklene δ og 2δ er komplementære, derfor er δ + 2δ = 90º.

Det vil si 3δ = 90º, noe som innebærer at δ = 90º / 3 = 30º.

Eksempel F

Hvis vi kaller vinkelen mellom que og 10º U, er U en supplement til dem begge, fordi det blir observert at summen deres fullfører en rett vinkel. Som det følger at U = 80º. Siden U er komplementær til ω, så er ω = 10º.

Øvelser

Tre øvelser foreslås nedenfor. I alle av dem må verdien av vinklene A og B i grader finnes, slik at sammenhengene vist i figur 3 blir oppfylt.

Figur 3. Illustrasjoner for komplementære vinkeløvelser. Kilde: F. Zapata.

- Oppgave 1

Bestem verdiene til vinklene A og B fra del I) i figur 3.

Løsning

Fra figuren vist kan man se at A og B er komplementære, derfor A + B = 90º. Vi erstatter uttrykket for A og B som en funksjon av x gitt i del I):

(x / 2 + 7) + (2x + 15) = 90

Begrepene blir deretter gruppert på passende måte og en enkel lineær ligning oppnås:

(5x / 2) + 22 = 90

Trekker 22 fra begge medlemmene har vi:

5x / 2 = 90-22 = 68

Og til slutt blir verdien av x tømt:

x = 2 * 68/5 = 136/5

Nå blir vinkelen A funnet ved å erstatte verdien av X:

A = (136/5) / 2 +7 = 103/5 = 20,6 º.

Mens vinkel B er:

B = 2 * 136/5 + 15 = 347 / 5. = 69,4º.

- Oppgave 2

Finn verdiene til vinklene A og B i bilde II, figur 3.

Løsning

Igjen, siden A og B er komplementære vinkler, følger det at: A + B = 90º. Ved å erstatte uttrykket for A og B som en funksjon av x gitt i del II) i figur 3, har vi:

(2x - 10) + (4x +40) = 90

Som termer er gruppert sammen for å oppnå ligningen:

6 x + 30 = 90

Ved å dele begge medlemmene med 6 får du:

x + 5 = 15

Fra hvilket følger at x = 10º.

Og dermed:

A = 2 * 10 - 10 = 10º

B = 4 * 10 + 40 = 80º.

- Oppgave 3

Bestem verdiene for vinklene A og B fra del III) i figur 3.

Løsning

Igjen er figuren analysert nøye for å finne de komplementære vinklene. I dette tilfellet har vi at A + B = 90 grader. Ved å erstatte uttrykket for A og B som en funksjon av x gitt i figuren, har vi:

(-x +45) + (4x -15) = 90

3 x + 30 = 90

Å dele begge medlemmene med 3 resulterer i følgende:

x + 10 = 30

Fra hvilket følger at x = 20º.

Med andre ord, vinkelen A = -20 +45 = 25º. Og for sin del: B = 4 * 20 -15 = 65º.

Vinkelrette sidevinkler

To vinkler sies å ha vinkelrette sider hvis hver side har en tilsvarende vinkelrett på den andre. Følgende figur tydeliggjør konseptet:

Figur 4. Vinkler på vinkelrette sider. Kilde: F. Zapata.

I figur 4 blir vinklene α og θ for eksempel observert. Legg nå merke til at hver vinkel har sin tilsvarende vinkelrett i den andre vinkelen.

Man ser også at α og θ har den samme komplementære vinkelen z, derfor konkluderer observatøren øyeblikkelig at α og θ har samme mål. Det ser ut til at hvis to vinkler har sider vinkelrett på hverandre, er de like, men la oss se på en annen sak.

Vurder nå vinklene α og ω. Disse to vinklene har også tilsvarende vinkelrette sider, men de kan ikke sies å være like store, ettersom den ene er akutt og den andre er stump.

Legg merke til at ω + θ = 180º. Videre θ = α. Hvis du erstatter dette uttrykket for z i den første ligningen, får du:

δ + α = 180º, der δ og α er gjensidig vinkelrett på sidene.

Generell regel for vinkler på vinkelrette sider

1. Baldor, JA 1973. Plan og romgeometri. Mellomamerikansk kultur.
2. Matematiske lover og formler. Vinkelmålsystemer. Gjenopprettet fra: ingemecanica.com.
3. Wentworth, G. Plane Geometry. Gjenopprettet fra: gutenberg.org.
4. Wikipedia. Komplementære vinkler. Gjenopprettet fra: es.wikipedia.com
5. Wikipedia. Transportbånd. Gjenopprettet fra: es.wikipedia.com
6. Zapata F. Goniómetro: historie, deler, drift. Gjenopprettet fra: lifeder.com