HVA ER KOPLANÆRE VEKTORER? (MED LØSTE ØVELSER) - FYSISK - 2025

De koplanare vektorer , eller i samme plan, er de som befinner seg på samme plan. Når det bare er to vektorer, er disse alltid koplanære, siden det er uendelige plan, er det alltid mulig å velge en som inneholder dem.

Hvis du har tre eller flere vektorer, kan det være at noen av dem ikke er i samme plan som de andre, derfor kan de ikke betraktes som planlagte. Følgende figur viser et sett med koplanære vektorer angitt med fet skrift A , B , C og D :

Figur 1. Fire koplanære vektorer. Kilde: self made.

Vektorer er relatert til atferden og egenskapene til fysiske mengder som er relevante for vitenskap og teknikk; for eksempel hastighet, akselerasjon og kraft.

En kraft gir forskjellige effekter på et objekt når måten det påføres varieres, for eksempel ved å endre intensitet, retning og retning. Selv om du bare endrer bare en av disse parameterne, er resultatene betydelig forskjellige.

I mange bruksområder, både i statistikk og dynamikk, er kreftene som virker på et legeme på samme plan, derfor anses de som planlagte.

Betingelsene for at vektorene skal være planlanare

For at tre vektorer skal være planlagte må de ligge i samme plan, og dette skjer hvis de oppfyller noen av følgende betingelser:

-Vektorer er parallelle, derfor er komponentene deres proporsjonale og lineært avhengige.

-Ditt blandede produkt er null.

-Hvis du har tre vektorer og noen av dem kan skrives som en lineær kombinasjon av de to andre, er disse vektorene koplanære. For eksempel, en vektor som er resultatet av summen av to andre, alle tre er i samme plan.

Alternativt kan koplanaritetstilstanden stilles som følger:

Blandet produkt mellom tre vektorer

Det blandede produktet mellom vektorene er definert med tre vektorer u , v og w, noe som resulterer i en skalar som er resultatet av å utføre følgende operasjon:

u · ( v x w ) = u · (v x w )

Først utføres korsproduktet som er i parentes: v x w , hvis resultat er en normal vektor (vinkelrett) på planet der både v og w ligger .

Hvis u er i samme plan som v og w , må naturligvis skalarproduktet (prikkproduktet) mellom u og nevnte normale vektor være 0. På denne måten blir det bekreftet at de tre vektorene er koplanære (de ligger på samme plan).

Når det blandede produktet ikke er null, er resultatet det samme som volumet av parallellpiped som har vektorene u , v og w som tilstøtende sider.

applikasjoner

Coplanar, samtidig og ikke-kollinære krefter

Samtidige krefter blir alle påført på samme punkt. Hvis de også er koplanære, kan de erstattes av en enkelt, som kalles den resulterende kraften og har samme effekt som de opprinnelige kreftene.

Hvis et legeme er i likevekt takket være tre koplanære, samtidige og ikke-kollinære (ikke parallelle) krefter, kalt A , B og C, indikerer Lamys teorem at forholdet mellom disse kreftene (størrelsesorden) er som følger:

A / sin α = B / sin β = C / sin γ

Med α, β og γ som motsatte vinkler til de påførte kreftene, som vist i følgende figur:

Figur 2. Tre koplanære krefter A, B og C virker på et objekt. Kilde: Kiwakwok på engelsk Wikipedia

Løste øvelser

-Øvelse 1

Finn verdien av k, slik at de følgende vektorene er koplanære:

u = <-3, k, 2>

v = <4, 1, 0>

w = <-1, 2, -1>

Løsning

Siden vi har komponentene i vektorene, brukes kriteriet til det blandede produktet, derfor:

u ( v x w ) = 0

Løs v x w først . Vektorene vil komme til uttrykk i form av enhetsvektorene i , j og k som skiller de tre vinkelrette retningene i rommet (bredde, høyde og dybde):

v = 4 i + j + 0 k

w = -1 i + 2 j -1 k

v x w = -4 (ixi) + 8 (ixj) - 4 (ixk) - (jxi) + 2 (jxj) - 2 (jxk) = 8 k + 4 j + k -2 i = -2 i + 4 j + 9 k

Nå vurderer vi det skalare produktet mellom u og vektoren som er resultatet av den forrige operasjonen, og setter operasjonen lik 0:

u ( v x w ) = (-3 i + k j + 2 k ) · (-2 i + 4 j + 9 k ) = 6 + 4k +18 = 0

24 + 4k = 0

Den omsøkte verdien er: k = - 6

Så vektoren u er:

u = <-3, -6, 2>

-Øvelse 2

Figuren viser et objekt hvis vekt er W = 600 N, og henger i likevekt takket være kablene plassert i vinklene vist i figur 3. Er det mulig å anvende Lamys teorem i denne situasjonen? I alle fall finner du størrelsene på T ₁ , T ₂ og T ₃ som muliggjør likevekt.

Figur 3. En vekt henger i likevekt under virkningen av de tre påkjenningene som er vist. Kilde: self made.

Løsning

Lamys teorem er aktuelt i denne situasjonen hvis noden som de tre spenningene blir brukt på blir vurdert, siden de utgjør et system med koplanære krefter. Først er frikroppsdiagrammet for den hengende vekten laget for å bestemme størrelsen på T _3:

Figur 4. Free-body diagram for hengende vekt. Kilde: self made.

Av likevektsbetingelsen følger det at:

Vinklene mellom kreftene er markert med rødt i den følgende figuren, det kan lett bekreftes at summen er 360º. Nå er det mulig å anvende Lamys teorem, siden en av styrkene og de tre vinklene mellom dem er kjent:

Figur 5.- Røde vinkler for å bruke Lamys teorem. Kilde: self made.

T ₁ / sin 127º = W / sin 106º

Derfor: T ₁ = sin 127º (W / sin 106º) = 498,5 N

Igjen blir Lamys teorem brukt for å løse for T ₂ :

T ₂ / sin 127 = T ₁ / sin 127º

T ₂ = T ₁ = 498,5 N

referanser

1. Figueroa, D. Series: Physics for Sciences and Engineering. Volum 1. Kinematikk. 31-68.
2. Fysisk. Modul 8: Vektorer. Gjenopprettet fra: frtl.utn.edu.ar
3. Hibbeler, R. 2006. Mechanics for Engineers. statisk 6. utgave. Continental Publishing Company 28-66.
4. McLean, W. Schaum-serien. Mekanikk for ingeniører: Statikk og dynamikk. 3. utgave. McGraw Hill. 1-15.
5. Wikipedia. Vector. Gjenopprettet fra: es.wikipedia.org.