ALGEBRAISKE DERIVATER (MED EKSEMPLER) - MATTE - 2025

De algebraiske derivatene består av studiet av derivatet når det gjelder algebraiske funksjoner. Opprinnelsen til begrepet derivat er tilbake til det antikke Hellas. Utviklingen av denne forestillingen var motivert av behovet for å løse to viktige problemer, det ene i fysikk og det andre i matematikk.

I fysikk løser derivatet problemet med å bestemme øyeblikkelig hastighet for et bevegelig objekt. I matematikk lar den deg finne tangenslinjen til en kurve på et gitt punkt.

Selv om det virkelig er mange flere problemer som løses ved å bruke derivatet, så vel som generaliseringene, er resultater som kom etter innføringen av konseptet.

Pionerene for differensialberegningen er Newton og Leibniz. Før vi gir den formelle definisjonen, skal vi utvikle ideen bak den, fra et matematisk og fysisk synspunkt.

Derivatet som helning av tangenslinjen til en kurve

Anta at grafen til en funksjon y = f (x) er en kontinuerlig graf (uten topper eller toppunkt eller hull), og la A = (a, f (a)) være et fast punkt på den. Vi ønsker å finne ligningen til linjetangensen til grafen til funksjonen f ved punkt A.

La oss ta et hvilket som helst annet punkt P = (x, f (x)) på diagrammet, nær punkt A, og tegne den siktede linjen som går gjennom A og P. En secant linje er en linje som skjærer grafen til en kurve med en eller flere poeng.

For å få takenslinjen som vi ønsker, trenger vi bare å beregne skråningen siden vi allerede har et punkt på linjen: punkt A.

Hvis vi beveger punkt P langs diagrammet og kommer nærmere og nærmere punkt A, vil den tidligere nevnte sekantlinjen nærme seg tangenslinjen som vi ønsker å finne. Hvis du tar grensen når "P har en tendens til A", vil begge linjene sammenfalle, derfor er også deres bakker.

Helningen på den hektiske linjen er gitt av

Å si at P nærmer seg A tilsvarer å si at "x" nærmer seg "a". Således vil helningen på tangentlinjen til grafen til f ved punkt A være lik:

Det ovennevnte uttrykket er betegnet med f '(a), og er definert som derivatet av en funksjon f ved punktet "a". Vi ser derfor at analytisk er derivatet av en funksjon på et punkt en grense, men geometrisk er det helningen til tangentlinjen til grafen til funksjonen på punktet.

Nå skal vi se på denne forestillingen fra fysisk synspunkt. Vi vil komme frem til det samme uttrykket fra den forrige grensen, selv om på en annen vei, og dermed oppnå enstemmigheten i definisjonen.

Derivatet som øyeblikkelig hastighet for et bevegelig objekt

La oss se på et kort eksempel på hva øyeblikkelig hastighet betyr. Når det for eksempel sies at en bil for å nå et mål, gjorde det med en hastighet på 100 km i timen, noe som betyr at den på en time kjørte 100 km.

Dette betyr ikke nødvendigvis at bilen i løpet av hele timen alltid var 100 km, bilens hastighetsmåler i noen øyeblikk kunne markere mindre eller mer. Hvis du hadde behov for å stoppe ved et trafikklys, var hastigheten din på det tidspunktet 0 km. Etter en time var reisen imidlertid 100 km.

Dette er det som kalles gjennomsnittshastighet og gis av kvotienten på den tilbakelagte distansen og tiden som vi nettopp har sett. Øyeblikkelig hastighet er derimot den som markerer nålen på bilens hastighetsmåler på et gitt tidspunkt (tid).

La oss se på dette nå mer generelt. Anta at et objekt beveger seg langs en linje og at denne forskyvningen er representert av ligningen s = f (t), der variabelen t måler tid og variabelen s forskyvningen, under hensyntagen til dens begynnelse i øyeblikket t = 0, på hvilket tidspunkt det også er null, det vil si f (0) = 0.

Denne funksjonen f (t) er kjent som posisjonsfunksjonen.

Et uttrykk søkes for objektets øyeblikkelige hastighet på et fast øyeblikk "a". Med denne hastigheten vil vi betegne det med V (a).

La det være et øyeblikk nær øyeblikkelig "a". I tidsintervallet mellom "a" og "t" blir endringen i objektets posisjon gitt av f (t) -f (a).

Gjennomsnittshastigheten i dette tidsintervallet er:

Noe som er en tilnærming av øyeblikkelig hastighet V (a). Denne tilnærmingen vil være bedre når t kommer nærmere "a". Og dermed,

Legg merke til at dette uttrykket er det samme som det som ble oppnådd i forrige tilfelle, men fra et annet perspektiv. Dette er det som er kjent som derivatet av en funksjon f ved et punkt "a" og er betegnet med f '(a), som angitt ovenfor.

Merk at ved å gjøre endringen h = xa, har vi at når "x" har en tendens til "a", "h" har en tendens til 0, og den forrige grensen blir transformert (ekvivalent) til:

Begge uttrykkene er likeverdige, men noen ganger er det bedre å bruke det ene i stedet for det andre, avhengig av tilfelle.

Derivatet av en funksjon f på et hvilket som helst punkt "x" som tilhører dens domene, blir deretter definert på en mer generell måte som

Den vanligste notasjonen som representerer derivatet til en funksjon y = f (x) er den vi nettopp har sett (f 'eller y'). Imidlertid er en annen mye brukt notasjon Leibnizs notasjon som er representert som et av følgende uttrykk:

Siden derivatet i hovedsak er en grense, kan det eller ikke eksistere, siden grenser ikke alltid eksisterer. Hvis den eksisterer, sies den aktuelle funksjonen å være differensierbar på det gitte punktet.

Algebraisk funksjon

En algebraisk funksjon er en kombinasjon av polynomer ved hjelp av addisjon, subtraksjon, produkter, kvoter, krefter og radikaler.

Et polynom er et uttrykk for formen

P _n = a _n x ⁿ + a _n-1 x ^n-1 + a _n-2 x ^n-2 + … + a ₂ x ² + a ₁ x + a ₀

Hvor n er et naturlig tall og alle a _i , med i = 0,1, …, n, er rasjonelle tall og _n ≠ 0. I dette tilfellet sies graden av dette polynomet å være n.

Følgende er eksempler på algebraiske funksjoner:

Eksponentielle, logaritmiske og trigonometriske funksjoner er ikke inkludert her. Avledningsreglene som vi ser neste, er gyldige for funksjoner generelt, men vi vil begrense oss og anvende dem når det gjelder algebraiske funksjoner.

Omkjøringsregler

Derivat av en konstant

Oppgir at derivatet til en konstant er null. Det vil si at hvis f (x) = c, så er f '(x) = 0. For eksempel er derivatet av konstantfunksjon 2 lik 0.

Derivat av en makt

Hvis f (x) = x ⁿ , så er f '(x) = nx ^n-1 . For eksempel, den deriverte av x ³ er 3x ² . Som en konsekvens av dette oppnår vi at derivatet av identitetsfunksjonen f (x) = x er f '(x) = 1x ^1-1 = x ⁰ = 1.

Et annet eksempel er følgende: la f (x) = 1 / x ² , deretter f (x) = x ^-2 og f '(x) = - 2x ^-2-1 = -2x ^-3 .

Denne egenskapen er også gyldige røtter, siden røtter er rasjonelle krefter, og ovenstående kan også brukes i så fall. For eksempel er derivatet av en kvadratrot gitt av

Derivat av addisjon og subtraksjon

Hvis f og g er differensierbare funksjoner i x, er summen f + g også differensierbar og det er tilfreds med at (f + g) '(x) = f' (x) + g '(x).

Tilsvarende har vi det (fg) '(x) = f' (x) -g '(x). Med andre ord er derivatet av en sum (subtraksjon) summen (eller subtraksjonen) av derivatene.

Eksempel

Hvis h (x) = x ² + x-1, da

h '(x) = (x ² ) + (x)' - (1) '= 2x + 1-0 = 2x + 1.

Avledet fra et produkt

Hvis f og g er differensierbare funksjoner i x, så er produktet fg også differensierbart i x, og det er sant at

(fg) '(x) = f' (x) g (x) + f (x) g '(x).

Som en konsekvens følger det at hvis c er en konstant og f er en differensierbar funksjon i x, så er cf også differensierbar i x og (cf) '(x) = cf' (X).

Eksempel

Hvis f (x) = 3x (x ² +1), da

f '(x) = (3x)' (x ² +1) + (3x) (x ² +1) '= 3 (x)' (x ² +1) + 3x

= 3 (1) (x ² +1) + 3x = 3 (x ² +1) + 3x (2x) = 3x ² + 3 + 6x ²

= 9x ² +3.

Derivat av en kvotient

Hvis f og g er differensierbare ved x og g (x) ≠ 0, er f / g også differensierbar ved x, og det er sant at

Eksempel: hvis h (x) = x ³ / (x ² -5x), da

h '(x) = / (x ⁵ -5x) ² = / (x ⁵ -5x) ² .

Kjederegel

Denne regelen gjør det mulig å utlede sammensetningen av funksjoner. Oppgi følgende: Hvis y = f (u) er differensierbar ved u, yu = g (x) er differensierbar ved x, så er komposittfunksjonen f (g (x)) differensierbar ved x, og det er sant at '= f '(g (x)) g' (x).

Det vil si at derivatet av en sammensatt funksjon er produktet av derivatet til den eksterne funksjonen (eksternt derivat) og derivatet av den interne funksjonen (internt derivat).

Eksempel

Hvis f (x) = (x ⁴ -2x) ³ , da

f '(x) = 3 (x ⁴ -2x) ² (x ⁴ -2x)' = 3 (x ⁴ -2x) ² (4x ³ -2).

Det er også resultater for beregning av derivatet av invers av en funksjon, samt generalisering til derivater av høyere orden. Bruksområdene er omfattende. Blant dem skiller seg nytten av optimaliseringsproblemer og maksimale og minimale funksjoner.

referanser

1. Alarcon, S., González, M., & Quintana, H. (2008). Differensiell beregning. ITM.
2. Cabrera, VM (1997). Beregning 4000. Redaksjonell progreso.
3. Castaño, HF (2005). Matematikk før beregning. University of Medellin.
4. Eduardo, NA (2003). Introduksjon til kalkulus. Terskelutgaver.
5. Fuentes, A. (2016). GRUNNLIG matematikk. En introduksjon til kalkulus. Lulu.com.
6. Purcell, EJ, Rigdon, SE, & Varberg, DE (2007). Beregning. Pearson Education.
7. Saenz, J. (2005). Differensialberegning (Andre utg.). Barquisimeto: Hypotenuse.
8. Thomas, GB, & Weir, MD (2006). Beregning: flere variabler. Pearson Education.