DELVISE DERIVATER: NOTASJON, EKSEMPLER OG LØSTE ØVELSER - MATTE - 2026

De partielle derivatene av en funksjon av flere variabler er de som bestemmer endringshastigheten for funksjonen når en av variablene har en uendelig variasjon, mens de andre variablene forblir uendret.

For å gjøre ideen mer konkret, antar saken om en funksjon av to variabler: z = f (x, y). Det partielle derivat av funksjonen f med hensyn til variabelen x beregnes som det ordinære derivat med hensyn til x, men tar variabelen y som om den var konstant.

Figur 1. Funksjon f (x, y) og dens partielle derivater ∂ _x f y ∂ _y f ved punkt P. (Utdypet av R. Pérez med geogebra)

Delvis derivatnotasjon

Den partielle deriverte operasjonen av funksjonen f (x, y) på variabelen x er angitt på en av følgende måter:

I delvise derivater brukes symbolet ∂ (en slags avrundet bokstav d også kalt Jacobis d), i motsetning til det vanlige derivatet for enkeltvariabile funksjoner der bokstaven d brukes som derivat.

Generelt sett resulterer det partielle derivat av en multivariat funksjon, med hensyn til en av dens variabler, i en ny funksjon i de samme variablene i den opprinnelige funksjonen:

∂ _x f (x, y) = g (x, y)

∂ _y f (x, y) = h (x, y).

Beregning og betydning av det partielle derivat

For å bestemme endringshastigheten eller helningen til funksjonen for et spesifikt punkt (x = a, y = b) i retningen parallelt med X-aksen:

1- Funksjonen ∂ _x f (x, y) = g (x, y) blir beregnet , tar det ordinære derivatet i variabelen x og lar variabelen y være fast eller konstant.

2- Så blir verdien til punktet x = a og y = b erstattet der vi ønsker å kjenne endringshastigheten til funksjonen i x-retningen:

{Helling i x-retningen på punktet (a, b)} = ∂ _x f (a, b).

3- For å beregne endringshastigheten i y-retningen ved koordinatpunktet (a, b), beregner du først ∂ _og f (x, y) = h (x, y).

4- Deretter erstattes punktet (x = a, y = b) i det forrige resultatet for å oppnå:

{Helling i y-retningen på punktet (a, b)} = ∂ _y f (a, b)

Eksempler på partielle derivater

Noen eksempler på partielle derivater er som følger:

Eksempel 1

Gitt funksjonen:

f (x, y) = -x ^ 2 - y ^ 2 + 6

Finn de partielle derivater av funksjonen f med hensyn til variabelen x og variabelen y.

Løsning:

∂ xf = -2x

∂ yf = -2y

Merk at for å beregne det partielle deriverte av funksjonen f med hensyn til variabelen x, ble det ordinære derivatet med hensyn til x utført, men variabelen y ble tatt ut som om den var konstant. Tilsvarende i beregningen av det partielle derivat av f i forhold til y, er variabelen x blitt tatt som om den var en konstant.

Funksjonen f (x, y) er en overflate som kalles en paraboloid vist i figur 1 i okerfarge.

Eksempel 2

Finn endringshastigheten (eller helningen) til funksjonen f (x, y) fra eksempel 1, i retning av X-aksen og Y-aksen for punktet (x = 1, y = 2).

Løsning: For å finne bakkene i x- og y-retningen på det gitte punktet, bytter du bare verdiene til punktet i funksjonen ∂ _x f (x, y) og i funksjonen ∂ _y f (x, y):

∂ _x f (1,2) = -2⋅ 1 = -2

∂ _og f (1,2) = -2⋅ 2 = -4

Figur 1 viser tangenslinjen (i rød farge) til kurven bestemt av skjæringspunktet mellom funksjonen f (x, y) med planet y = 2, hellingen til denne linjen er -2. Figur 1 viser også tangenslinjen (i grønt) til kurven som definerer skjæringspunktet mellom funksjonen f med planet x = 1; Denne linjen har skråning -4.

Øvelser

Oppgave 1

Et konisk glass på et gitt tidspunkt inneholder vann slik at overflaten av vannet har radius r og dybde h. Men glasset har et lite hull i bunnen som vann går tapt gjennom med en hastighet på C kubikkcentimeter per sekund. Bestem nedstigningshastigheten fra vannoverflaten i centimeter per sekund.

Løsning:

Først av alt er det nødvendig å huske at volumet av vann på det gitte øyeblikk er:

Volum er en funksjon av to variabler, radius r og dybde h: V (r, h).

Når volumet endres med en uendelig mengde dV, endres også radius r for vannoverflaten og dybden h av vannet i henhold til følgende forhold:

dV = ∂ _r V dr + ∂ _h V dh

Vi fortsetter med å beregne de partielle derivater av V med hensyn til henholdsvis r og h:

∂ _r V = ∂ _r (⅓ π r ^ 2 h) = ⅔ π rh

∂ _h V = ∂ _h (⅓ π r ^ 2 h) = ⅓ π r ^ 2

Videre oppfyller radius r og dybde h følgende forhold:

Å dele begge medlemmene med tidsforskjellen dt gir:

dV / dt = π r ^ 2 (dh / dt)

Men dV / dt er volumet av tapt vann per tidsenhet som er kjent for å være C centimeter per sekund, mens dh / dt er nedstigningshastigheten for den frie overflaten av vann, som vil bli kalt v. Det vil si at vannoverflaten på det gitte øyeblikk synker med en hastighet v (i cm / s) gitt av:

v = C / (π r ^ 2).

Som en numerisk applikasjon, antar at r = 3 cm, h = 4 cm, og lekkasjefrekvensen C er 3 cm ^ 3 / s. Da er nedstigningshastigheten på overflaten på det øyeblikket:

v = 3 / (π 3 ^ 2) = 0,11 cm / s = 1,1 mm / s.

Oppgave 2

Clairaut-Schwarz-teoremet sier at hvis en funksjon er kontinuerlig i sine uavhengige variabler og dens partielle derivater med hensyn til de uavhengige variablene også er kontinuerlige, så kan andreordens blandede derivater byttes ut. Sjekk dette teoremet for funksjonen

f (x, y) = x ^ 2 y, det vil si at det må være sant at f _xy f = ∂ _yx f.

Løsning:

∂ _xy f = ∂ _x (∂ _y f) mens ∂ _yx f = ∂ _y (∂ _x f)

∂ _x f = 2 xy; ∂ _y f = x ^ 2

∂ _xy f = ∂ _x (∂ _y f) = 2x

∂ _yx f = ∂ _y (∂ _x f) = 2x

Schwarzs teorem har vist seg å ha, siden funksjonen f og dens partielle derivater er kontinuerlige for alle reelle tall.

referanser

1. Frank Ayres, J., & Mendelson, E. (2000). Beregning 5ed. Mc Graw Hill.
2. Leithold, L. (1992). Beregningen med analytisk geometri. HARLA, SA
3. Purcell, EJ, Varberg, D., & Rigdon, SE (2007). Beregning. Mexico: Pearson Education.
4. Saenz, J. (2005). Differensiell beregning. Hypotenusen.
5. Saenz, J. (2006). Integrert kalkyle. Hypotenusen.
6. Wikipedia. Delvis derivat. Gjenopprettet fra: es.wikipedia.com