Den additive nedbrytningen av et positivt heltall består i å uttrykke det som en sum av to eller flere positive heltall. Dermed har vi at tallet 5 kan uttrykkes som 5 = 1 + 4, 5 = 2 + 3 eller 5 = 1 + 2 + 2. Hver av disse måtene å skrive nummeret på er det vi vil kalle additiv spaltning.

Hvis vi tar hensyn, kan vi se at uttrykkene 5 = 2 + 3 og 5 = 3 + 2 representerer den samme sammensetningen; de har begge de samme tallene. Imidlertid, bare for enkelhets skyld, er hvert av tilleggene vanligvis skrevet etter kriteriet fra laveste til høyeste.

Tilsetningsfull nedbrytning

Som et annet eksempel kan vi ta nummeret 27, som vi kan uttrykke som:

27 = 7 + 10 + 10

27 = 9 + 9 + 9

27 = 3 + 6 + 9 + 9

27 = 9 + 18

Tilsetningsvis dekomponering er et veldig nyttig verktøy som lar oss styrke vår kunnskap om nummereringssystemer.

Kanonisk additiv spaltning

Når vi har tall med mer enn to sifre, er en spesiell måte å spalte dem på i multiplene på 10, 100, 1000, 10 000 osv., Som utgjør det. Denne måten å skrive hvilket som helst nummer kalles kanonisk additiv nedbrytning. For eksempel kan tallet 1456 spaltes slik:

1456 = 1000 + 400+ 50 + 6

Hvis vi har nummeret 20 846 295, vil dets kanoniske additive nedbrytning være:

20 846 295 = 20 000 000 + 800 000 + 40 000 + 6000 + 200 + 90 +5.

Takket være denne nedbrytningen, kan vi se at verdien til et gitt siffer er gitt av posisjonen det inntar. La oss ta tallene 24 og 42 som eksempel:

24 = 20 + 4

42 = 40 +2

Her kan vi se at i 24 har 2 en verdi på 20 enheter og de 4 en verdi på 4 enheter; på den annen side, i 42 har de en verdi på 40 enheter og 2 av to enheter. Selv om begge tall bruker de samme sifrene, er verdiene deres totalt forskjellige på grunn av posisjonen de inntar.

applikasjoner

En av applikasjonene som vi kan gi til additiv nedbrytning er i visse typer bevis, der det er veldig nyttig å se et positivt heltall som summen av andre.

Eksempelsteorem

La oss ta som eksempel følgende teorem med de respektive bevisene.

- La Z være et firesifret heltall, så er Z delbar med 5 hvis det tilsvarende tallet til enhetene er null eller fem.

Demonstrasjon

La oss huske hva delbarhet er. Hvis vi har "a" og "b" heltall, sier vi at "a" deler "b" hvis det finnes et helt tall "c" slik at b = a * c.

En av egenskapene til delbarhet forteller oss at hvis "a" og "b" er delbare med "c", så er også subtraksjonen "ab" delbar.

La Z være et firesifret heltall; derfor kan vi skrive Z som Z = ABCD.

Ved å bruke kanonisk additiv nedbrytning har vi:

Z = A * 1000 + B * 100 + C * 10 + D

Det er tydelig at A * 1000 + B * 100 + C * 10 kan deles med 5. For dette har vi at Z er delelig med 5 hvis Z - (A * 1000 + B * 100 + C * 10) er delelig med 5.

Men Z - (A * 1000 + B * 100 + C * 10) = D og D er et ensifret tall, så den eneste måten for det å deles med 5 er at det er 0 eller 5.

Derfor er Z delbar med 5 hvis D = 0 eller D = 5.

Merk at hvis Z har n sifre er beviset nøyaktig det samme, endrer det bare at vi nå ville skrevet Z = A ₁ A ₂ … A _n, og målet ville være å bevise at A _n er null eller fem.

skillevegger

Vi sier at en partisjon av et positivt heltall er en måte vi kan skrive et tall på som en sum av positive heltall.

Forskjellen mellom en additiv dekomponering og en partisjon er at selv om den første søker at det i det minste kan spaltes i to tillegg eller mer, har ikke partisjonen denne begrensningen.

Dermed har vi følgende:

5 = 5

5 = 1 + 4

5 = 2 + 3

5 = 1 + 2 + 2

Ovennevnte er partisjoner av 5.

Det vil si at vi har at hver additiv spaltning er en partisjon, men ikke hver partisjon er nødvendigvis en additiv spaltning.

I tallteori garanterer aritmetikkens grunnleggende teorem at hvert heltall kan skrives unikt som et produkt av primer.

Når du studerer partisjoner, er målet å bestemme på hvor mange måter et positivt heltall kan skrives som summen av andre heltall. Derfor definerer vi partisjonsfunksjonen som presentert nedenfor.

Definisjon

Partisjonsfunksjonen p (n) er definert som antall måter et positivt heltall n kan skrives som en sum av positive heltall.

Når vi kommer tilbake til eksemplet med 5, har vi at:

5 = 5

5 = 1 + 4

5 = 2 + 3

5 = 1 + 1 + 3

5 = 1 + 2 + 2

5 = 1 + 1 + 1 + 2

5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1

Dermed er p (5) = 7.

grafikk

Både partisjoner og additive dekomposisjoner av et nummer n kan representeres geometrisk. Anta at vi har en additiv nedbrytning av n. I denne nedbrytningen kan tilleggene ordnes slik at medlemmene av summen blir bestilt fra minst til størst. Så greit:

n = a ₁ + a ₂ + a ₃ +… + a _r med

a ₁ ≤ a ₂ ≤ a ₃ ≤ … ≤ a _r .

Vi kan tegne denne nedbrytningen på følgende måte: i en første rad markerer vi _1- punktene, deretter i den neste markerer vi _2- poeng , og så videre til vi når _r .

Ta for eksempel tallet 23 og dets følgende nedbrytning:

23 = 5 + 4 + 7 + 3 + 1 +3

Vi bestiller denne nedbrytningen, og vi har:

23 = 1 + 3 + 3 + 4+ 5 + 7

Den tilhørende grafen vil være: