TRIANGELULIKHET: BEVIS, EKSEMPLER, LØSTE ØVELSER - MATTE - 2025

Det kalles ulik trekantegenskap som oppfyller to reelle tall som består av den absolutte verdien av deres sum er alltid mindre enn eller lik summen av deres absolutte verdier. Denne egenskapen er også kjent som Minkowskis ulikhet eller trekantet ulikhet.

Denne egenskapen med tall kalles trekantet ulikhet, fordi i trekanter skjer det at lengden på den ene siden alltid er mindre enn eller lik summen av de to andre, selv om denne ulikheten ikke alltid gjelder i området trekanter.

Figur 1. Den absolutte verdien av summen av to tall er alltid mindre enn eller lik summen av deres absolutte verdier. (Utarbeidet av R. Pérez)

Det er flere bevis på den trekantede ulikheten i reelle tall, men i dette tilfellet vil vi velge en basert på egenskapene til den absolutte verdien og den binomiale kvadraten.

Teorem: For hvert par av tall a og b som tilhører de reelle tallene har vi:

- a + b - ≤ - a - + - b -

Demonstrasjon

Vi begynner med å vurdere det første medlemmet av ulikheten, som vil bli kvadratisk:

- a + b - ^ 2 = (a + b) ^ 2 = a ^ 2 + 2 ab + b ^ 2 (Ekv. 1)

I forrige trinn brukte vi egenskapen at et hvilket som helst kvadratisk antall er lik den absolutte verdien av nevnte kvadratiske tall, det vil si: -x- ^ 2 = x ^ 2. Den firkantede binomiale utvidelsen har også blitt brukt.

Hvert tall x er mindre enn eller lik dens absolutte verdi. Hvis tallet er positivt er det likt, men hvis tallet er negativt vil det alltid være mindre enn et positivt tall. I dette tilfellet sin egen absolutte verdi, det vil si at det kan anføres at x ≤ - x -.

Produktet (ab) er et tall, derfor gjelder det at (ab) ≤ - ab -. Når denne egenskapen brukes til (ekv. 1) har vi:

- a + b - ^ 2 = a ^ 2 + 2 (ab) + b ^ 2 ≤ a ^ 2 + 2 - ab - + b ^ 2 (ekv. 2)

Når man tar hensyn til at - ab - = - a - b - la (ekv. 2) kan skrives som følger:

- a + b - ^ 2 ≤ a ^ 2 + 2 - a - b - + b ^ 2 (ekv. 3)

Men siden vi tidligere sa at kvadratet til et tall er lik den absolutte verdien av det kvadratiske tallet, kan likning 3 skrives om på følgende måte:

- a + b - ^ 2 ≤ -a- ^ 2 + 2 -a- -b- + -b- ^ 2 (ekv. 4)

I det andre medlemmet av ulikheten anerkjennes et bemerkelsesverdig produkt, som når det påføres fører til:

- a + b - ^ 2 ≤ (-a- + -b -) ^ 2 (ekv. 5)

I det forrige uttrykket skal det bemerkes at verdiene som skal kvadreres i begge medlemmene av ulikheten er positive, derfor må det også tilfredsstilles at:

- a + b - ≤ (-a- + -b-) (ekv. 6)

Det forrige uttrykket er akkurat det du ønsket å demonstrere.

eksempler

Neste gang vil vi sjekke den trekantede ulikheten med flere eksempler.

Eksempel 1

Vi tar verdien a = 2 og verdien b = 5, det vil si begge positive tall, og vi sjekker om ulikheten er tilfreds eller ikke.

- 2 + 5 - ≤ -2- + -5-

- 7 - ≤ -2- + -5-

7 ≤ 2+ 5

Likhet er verifisert, derfor er trekningen ulikhetsteorem oppfylt.

Eksempel 2

Følgende verdier a = 2 og b = -5 er valgt, det vil si et positivt tall og det andre negative, vi sjekker om ulikheten er tilfreds eller ikke.

- 2 - 5 - ≤ -2- + --5-

- -3 - ≤ -2- + --5-

3 ≤ 2 + 5

Ulikheten er tilfreds, derfor er den trekantede ulikhetsteoremet bekreftet.

Eksempel 3

Vi tar verdien a = -2 og verdien b = 5, det vil si et negativt tall og det andre positive, vi sjekker om ulikheten er tilfreds eller ikke.

- -2 + 5 - ≤ --2- + -5-

- 3 - ≤ --2- + -5-

3 ≤ 2 + 5

Ulikheten blir verifisert, derfor er teoremet oppfylt.

Eksempel 4

Følgende verdier a = -2 og b = -5 er valgt, det vil si begge negative tall, og vi sjekker om ulikheten er tilfreds eller ikke.

- -2 - 5 - ≤ --2- + --5-

- -7 - ≤ --2- + --5-

7 ≤ 2+ 5

Likhet bekreftes, derfor er Minkowskisks ulikhetsteorem oppfylt.

Eksempel 5

Vi tar verdien a = 0 og verdien b = 5, det vil si et tall null og den andre positive, så sjekker vi om ulikheten er tilfreds eller ikke.

- 0 + 5 - ≤ -0- + -5-

- 5 - ≤ -0- + -5-

5 ≤ 0+ 5

Likestilling blir oppfylt, derfor er trekningen ulikhetsteorem bekreftet.

Eksempel 6

Vi tar verdien a = 0 og verdien b = -7, det vil si et tall null og den andre positive, så sjekker vi om ulikheten er tilfreds eller ikke.

- 0 - 7 - ≤ -0- + --7-

- -7 - ≤ -0- + --7-

7 ≤ 0+ 7

Likhet blir verifisert, derfor er det trekantede ulikhetsteoremet oppfylt.

Løste øvelser

I de følgende øvelser representerer du geometrisk trekanten ulikhet eller Minkowski ulikhet for tallene a og b.

Tallet a vil bli representert som et segment på X-aksen, dets opprinnelse O sammenfaller med null for X-aksen og den andre enden av segmentet (ved punkt P) vil være i positiv retning (til høyre) av X-aksen hvis en > 0, men hvis a <0 vil den være i retning av X-aksens negative retning, så mange enheter som dens absolutte verdi indikerer.

Tilsvarende vil tallet b være representert som et segment hvis opprinnelse er på punkt P. Det andre ekstreme, det vil si punkt Q vil være til høyre for P hvis b er positivt (b> 0) og punkt Q vil være -b - enheter til venstre for P hvis b <0.

Oppgave 1

Grafer ulikheten i trekanten for a = 5 og b = 3 - a + b - ≤ - a - + - b -, hvor c = a + b.

Oppgave 2

Grafer den trekantede ulikheten for a = 5 og b = -3.

- a + b - ≤ - a - + - b -, hvor c = a + b.

Oppgave 3

Vis grafisk ulikheten i trekanten for a = -5 og b = 3.

- a + b - ≤ - a - + - b -, hvor c = a + b.

Oppgave 4

Konstruer grafisk den trekantede ulikheten for a = -5 og b = -3.

- a + b - ≤ - a - + - b -, hvor c = a + b.

referanser

1. E. Whitesitt. (1980). Boolean Algebra and its Applications. Redaksjonelt selskap Continental CA
2. Mícheál O 'Searcoid. (2003) Elements of Abstract Analysis. . Institutt for matematikk. University College Dublin, Beldfield, Dublind.
3. J. Van Wyk. (2006) Matematikk og ingeniørvitenskap i informatikk. Institutt for informatikk og teknologi. National Bureau of Standards. Washington, DC 20234
4. Eric Lehman. Matematikk for informatikk. Google Inc.
5. K Thomson Leighton (1980). Kalkulus. Institutt for matematikk og informatikk og AI-laboratorium, Massachussetts Institute of Technology.
6. Khan Academy. Triangel Ulikhetsteorem. Gjenopprettet fra: khanacademy.org
7. Wikipedia. Trekantet ulikhet. Gjenopprettet fra: es. wikipedia.com