Den lineære interpolasjonen er en metode som har sin generelle Newton-interpolasjon og tilnærming for å bestemme for en ukjent verdi som er mellom to gitte tall; det vil si at en mellomverdi blir funnet. Det brukes også på omtrentlige funksjoner, der verdiene f (a) og f (b) er kjent og vi vil vite mellomproduktet til f (x) .
Det er forskjellige typer interpolering, for eksempel lineær, kvadratisk, kubikk og i høyere grad, den enkleste er den lineære tilnærmingen. Prisen som må betales med lineær interpolasjon er at resultatet ikke vil være så nøyaktig som ved tilnærminger ved bruk av funksjoner i høyere grad.
Definisjon
Lineær interpolasjon er en prosess som lar deg utlede en verdi mellom to veldefinerte verdier, som kan være i en tabell eller i en linjediagram.
Hvis du for eksempel vet at 3 liter melk er verdt $ 4 og at 5 liter er verdt $ 7, men du vil vite hva verdien av 4 liter melk er, interpolerer du for å bestemme den mellomliggende verdien.
Metode
For å estimere en mellomverdi på en funksjon, blir funksjonen f (x) tilnærmet ved hjelp av en linje r (x) , noe som betyr at funksjonen varierer lineært med «x» for en seksjon «x = a» og «x = b "; det vil si for en verdi "x" i intervallet (x 0 , x 1 ) og (y 0 , y 1 ), blir verdien av "y" gitt av linjen mellom punktene og uttrykkes ved følgende forhold:
(y - y 0 ) ÷ (x - x 0 ) = (y 1 - y 0 ) ÷ (x 1 - x 0 )
For at en interpolasjon skal være lineær, må interpolasjonspolynomet være av grad 1 (n = 1), slik at det passer til verdiene x 0 og x 1.
Lineær interpolasjon er basert på likhetstegn mellom trekanter, på en slik måte at man, avledet geometrisk fra forrige uttrykk, kan oppnå verdien av "y", som representerer den ukjente verdien for "x".
På den måten må du:
a = solbrun Ɵ = (motsatt ben 1 ÷ tilstøtende ben 1 ) = (motsatt ben 2 ÷ tilstøtende ben 2 )
Uttrykt på en annen måte er det:
(y - y 0 ) ÷ (x - x 0 ) = (y 1 - y 0 ) ÷ (x 1 - x 0 )
Løsning for «og» fra uttrykkene, har vi:
(y - y 0 ) * (x 1 - x 0 ) = (x - x 0 ) * (y 1 - y 0 )
(y - y 0 ) = (y 1 - y 0 ) *
Dermed oppnås den generelle ligningen for lineær interpolasjon:
y = y 0 + (y 1 - y 0 ) *
Generelt gir lineær interpolasjon en liten feil på den reelle verdien av den sanne funksjonen, selv om feilen er minimal sammenlignet med hvis du intuitivt velger et tall nær det du vil finne.
Denne feilen oppstår når du prøver å tilnærme verdien av en kurve med en rett linje; I disse tilfellene må størrelsen på intervallet reduseres for å gjøre tilnærmingen mer presis.
For bedre resultater angående tilnærmingen, anbefales det å bruke funksjoner i grad 2, 3 eller enda høyere grader for å utføre interpolasjonen. For disse tilfellene er Taylor-teoremet et veldig nyttig verktøy.
Løste øvelser
Oppgave 1
Antall bakterier per volumenhet som eksisterer i en inkubasjon etter x timer er presentert i følgende tabell. Du vil vite hva som er volumet av bakterier i løpet av 3,5 timer.
Løsning
Referansetabellen etablerer ikke en verdi som indikerer mengden av bakterier i en tid på 3,5 timer, men det er øvre og nedre verdier som tilsvarer en tid på henholdsvis 3 og 4 timer. Den veien:
x 0 = 3 og 0 = 91
x = 3,5 y =?
x 1 = 4 og 1 = 135
Nå brukes den matematiske ligningen for å finne den interpolerte verdien, som er følgende:
y = y 0 + (y 1 - y 0 ) * .
Deretter erstattes de tilsvarende verdiene:
y = 91 + (135 - 91) *
y = 91 + (44) *
y = 91 + 44 * 0,5
y = 113.
Dermed oppnås det at i en tid på 3,5 timer er antall bakterier 113, som representerer et mellomnivå mellom volumet av bakterier som eksisterer i tidene 3 og 4 timer.
Oppgave 2
Luis har en iskremfabrikk, og han vil gjøre en studie for å bestemme inntektene han hadde i august basert på utgiftene som ble gjort. Administratoren av selskapet lager en graf som uttrykker dette forholdet, men Luis vil vite:
Hva er inntekten for august hvis det ble påløpt en utgift på 55 000 dollar?
Løsning
Det er gitt en graf med verdier av inntekter og utgifter. Luis vil vite hva inntektene er for august hvis fabrikken hadde en utgift på 55.000 dollar. Denne verdien reflekteres ikke direkte i grafen, men verdiene er høyere og lavere enn dette.
Først blir det laget en tabell hvor du enkelt kan relatere verdiene:
Nå brukes interpolasjonsformelen for å bestemme verdien av y
y = y 0 + (y 1 - y 0 ) *
Deretter erstattes de tilsvarende verdiene:
y = 56 000 + (78 000 - 56 000) *
y = 56 000 + (22 000) *
y = 56 000 + (22 000) * (0,588)
y = 56.000 + 12.936
y = 68.936 dollar.
Hvis det ble foretatt en utgift på 55 000 dollar i august, var inntekten 68 936 dollar.
referanser
- Arthur Goodman, LH (1996). Algebra og trigonometri med analytisk geometri. Pearson Education.
- Harpe, P. d. (2000). Temaer i geometrisk gruppeteori. University of Chicago Press.
- Hazewinkel, M. (2001). Lineær interpolasjon ", Encyclopedia of Mathematics.
- , JM (1998). Elementer av numeriske metoder for engineering. UASLP.
- , E. (2002). En kronologi med interpolasjon: fra eldgamle astronomi til moderne signal- og bildebehandling. Fortsettelser av IEEE.
- numerisk, I. a. (2006). Xavier Tomàs, Jordi Cuadros, Lucinio González.