SETT TEORI: EGENSKAPER, ELEMENTER, EKSEMPLER, ØVELSER - MATTE - 2026

Den mengdelære er en gren av matematisk logikk-som er ansvarlig for studiet av relasjoner mellom enheter kalt settene. Settene er preget av å være samlinger av gjenstander av samme art. Nevnte objekter er elementene i settet og kan være: tall, bokstaver, geometriske figurer, ord som representerer objekter, gjenstandene i seg selv og andre.

Det var Georg Cantor, mot slutten av 1800-tallet, som foreslo setteori. Mens andre kjente matematikere på 1900-tallet gjorde sin formalisering: Gottlob Frege, Ernst Zermelo, Bertrand Russell, Adolf Fraenkel blant andre.

Figur 1. Venn-diagram over settene A, B og skjæringspunktet A⋂ B. (Egen utdypning).

Venn-diagrammer er den grafiske måten å representere et sett på, og det består av en lukket planfigur som er elementene i settet.

For eksempel er i figur 1 to sett A og B vist, som har elementer til felles, elementene som er felles for A og B. Disse danner et nytt sett kalt skjæringssettet A og B, som er skrevet i formen symbolsk som følger:

A ∩ B

kjennetegn

Settet er et primitivt konsept som det er i geometri begrepet punkt, linje eller plan. Det er ingen bedre måte å uttrykke konseptet på enn å påpeke eksempler:

Sett E dannet av fargene på Spanias flagg. Denne måten å uttrykke settet kalles ved forståelse. Det samme settet E skrevet av utvidelsen er:

E = {rød, gul}

I dette tilfellet er rødt og gult elementer av sett E. Det skal bemerkes at elementene er oppført i seler og ikke gjentas. Når det gjelder det spanske flagget, er det tre fargede striper (rød, gul, rød), hvorav to blir gjentatt, men elementene gjentas ikke når helheten er uttrykt.

Anta at settet V dannet av de tre første vokalbokstavene:

V = {a, e, i}

Kraftsettet til V, betegnet med P (V), er settet av alle settene som kan dannes med elementene til V:

P (V) = {{a}, {e}, {i}, {a, e}, {a, i}, {e, i}, {a, e, i}}

Typer sett

Finitt sett

Det er et sett der elementene er tellbare. Eksempler på endelige sett er bokstavene i det spanske alfabetet, vokalene til spansk, planetene i solsystemet, blant andre. Antall elementer i et endelig sett kalles dets kardinalitet.

Uendelig sett

Et uendelig sett forstås som alt at antall elementer er utellelige, siden uansett hvor stort antall elementer det er, er det alltid mulig å finne flere elementer.

Et eksempel på et uendelig sett er settet med naturlige tall N, som i utstrakt form uttrykkes som følger:

N = {1, 2, 3, 4, 5,….} Er helt klart et uendelig sett, siden uansett hvor stort et naturlig antall kan være, kan det neste største alltid finnes i en endeløs prosess. Det er tydelig at kardinaliteten til et uendelig sett er ∞.

Tomt sett

Det er settet som ikke inneholder noe element. Det tomme settet V er betegnet med Ø eller av et par nøkler uten elementer inne:

V = {} = Ø.

Det tomme settet er unikt, derfor må det være feil å si "et tomt sett", riktig skjema er å si "det tomme settet".

Blant egenskapene til det tomme settet har vi at det er en undergruppe av ethvert sett:

Ø ⊂ A

Videre, hvis et sett er en undergruppe av det tomme settet, vil nødvendigvis nevnte sett være vakuumet:

A ⊂ Ø ⇔ A = Ø

Unitary sett

Et enhetssett er ethvert sett som inneholder et enkelt element. For eksempel er settet med naturlige satellitter på jorden et enhetlig sett, hvis eneste element er månen. Settet B med heltal mindre enn 2 og større enn null har bare element 1, derfor er det et enhetssett.

Binært sett

Et sett er binært hvis det bare har to elementer. For eksempel settet X, slik at x er en reell talløsning på x ^ 2 = 2. Dette settet med utvidelse er skrevet slik:

X = {-√2, + √2}

Universalsett

Det universelle settet er et sett som inneholder andre sett av samme type eller art. For eksempel er det universelle settet med naturlige tall settet med reelle tall. Men de reelle tallene er et universelt sett også av hele tallene og de rasjonelle tallene.

Kjerneartikler

- Forhold mellom sett

I samlinger kan det opprettes forskjellige typer forhold mellom dem og deres elementer. Hvis to sett A og B har nøyaktig de samme elementene imellom, etableres et likestillingsforhold, betegnet som følger:

A = B

Hvis alle elementene i et sett A tilhører et sett B, men ikke alle elementene i B tilhører A, så mellom disse settene er det en inkluderingsrelasjon som betegnes slik:

A ⊂ B, men B ⊄ A

Ovennevnte uttrykk lyder: A er en undergruppe av B, men B er ikke en undergruppe av A.

For å indikere at noen element eller elementer tilhører et sett, blir medlemssymbolet ∈ brukt, for eksempel for å si at x element eller elementer tilhører settet A er skrevet symbolsk slik:

x ∈ A

Hvis et element ikke hører til settet A, er denne relasjonen skrevet slik:

og ∉ A

Medlemskapsforholdet eksisterer mellom elementene i et sett og settet, med det eneste unntak av kraftsettet, kraftsettet er samlingen eller settet av alle mulige sett som kan dannes med elementene i nevnte sett.

Anta at V = {a, e, i}, kraftsettet er P (V) = {{a}, {e}, {i}, {a, e}, {a, i}, {e, i} , {a, e, i}}, i så fall blir settet V et element i settet P (V) og kan skrives:

V ∈ P (V)

- Egenskaper ved inkludering

Den første egenskapen til inkludering slår fast at hvert sett er inneholdt i seg selv, eller med andre ord, at det er en undergruppe av seg selv:

A ⊂ A

Den andre egenskapen til inkludering er transitivitet: hvis A er en delmengde av B og B på sin side er en delmengde av C, så er A en undergruppe av C. I symbolsk form skrives transittivitetsforholdet som følger:

(A ⊂ B) ^ (B ⊂ C) => A ⊂ C

Nedenfor er Venn-diagrammet som tilsvarer transittiviteten for inkludering:

Figur 2. (A ⊂ B) ^ (B ⊂ C) => A ⊂ C

- Drift mellom sett

Kryss

Krysset er en operasjon mellom to sett som gir opphav til et nytt sett som tilhører samme universelle sett som de to første. Sånn sett er det en lukket operasjon.

Symbolisk er kryssoperasjonen formulert slik:

A⋂B = {x / x∈A ^ x∈B}

Et eksempel er følgende: settet A for bokstavene i ordet "elementer" og settet B for bokstavene i ordet "gjentatt", skjæringspunktet mellom A og B er skrevet slik:

A⋂B = {e, l, m, n, t, s} ⋂ {r, e, p, t, i, d, o, s} = {e, t, s}. Det universelle settet U for A, av B og også av A⋂B er settet med bokstavene i det spanske alfabetet.

Union

Samlingen av to sett er settet som er dannet av elementene som er felles for de to settene, og de ikke-vanlige elementene i de to settene. Foreningens operasjon mellom sett er uttrykt symbolsk slik:

A∪B = {x / x∈A vx∈B}

Forskjell

Differanseoperasjonen til sett A minus sett B er angitt av AB. AB er et nytt sett dannet av alle elementene som er i A og som ikke tilhører B. Symbolisk er det skrevet slik:

A - B = {x / x ∈ A ^ x ∉ B}

Figur 3. A - B = {x / x ∈ A ^ x ∉ B}

Symmetrisk forskjell

Den symmetriske forskjellen er en operasjon mellom to sett der det resulterende sett består av elementene som ikke er felles for de to settene. Den symmetriske forskjellen er symbolsk representert slik:

A⊕B = {x / x∈ (AB) ^ x∈ (BA)}

eksempler

Eksempel 1

Venn-diagrammet er en grafisk måte å representere sett på. For eksempel er settet C for bokstavene i ordsettet representert slik:

Eksempel 2

Det er vist nedenfor ved Venn-diagrammer at vokalsettet i ordet "sett" er et delsett av bokstavsettet i ordet "sett".

Eksempel 3

Settet Ñ til bokstavene i det spanske alfabetet er et begrenset sett, dette settet med utvidelsen er skrevet slik:

Ñ = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, ñ, o, p, q, r, s, t, u, v, w , x, y, z} og dens kardinalitet er 27.

Eksempel 4

Settet V på vokalene på spansk er en undergruppe av settet Ñ:

V ⊂ Ñ ​​er derfor et begrenset sett.

Det endelige settet V i omfattende form er skrevet slik: V = {a, e, i, o, u} og dets kardinalitet er 5.

Eksempel 5

Gitt settene A = {2, 4, 6, 8} og B = {1, 2, 4, 7, 9}, bestem AB og BA.

A - B er elementene i A som ikke er i B:

A - B = {6, 8}

B - A er elementene i B som ikke er i A:

B - A = {1, 7, 9}

Løste øvelser

Oppgave 1

Skriv i symbolsk form og også i forlengelse av settet P med jevne naturlige tall mindre enn 10.

Løsning: P = {x∈ N / x <10 ^ x mod 2 = 0}

P = {2, 4, 6, 8}

Oppgave 2

Anta at settet A som er dannet av de naturlige tallene som er faktorer på 210, og settet B som ble dannet av de primære naturlige tallene mindre enn 9. Bestem ved forlengelse begge settene og fastslå hvilket forhold det er mellom de to settene.

Løsning: For å bestemme elementene i sett A, må vi begynne med å finne faktorene til det naturlige tallet 210:

210 = 2 * 3 * 5 * 7

Så er settet A skrevet:

A = {2, 3, 5, 7}

Vi vurderer nå settet B, som er primene som er mindre enn 9. 1 er ikke primært fordi det ikke oppfyller definisjonen av prim: "et tall er prim, hvis og bare hvis det har nøyaktig to divisorer, 1 og tallet i seg selv." De to er jevne, og samtidig er de førsteklasses fordi den oppfyller definisjonen av en prim, de andre primene mindre enn 9 er 3, 5 og 7. Så settet B er:

B = {2, 3, 5, 7}

Derfor er de to settene like: A = B.

Oppgave 3

Bestem settet med elementene x som er forskjellige fra x.

Løsning: C = {x / x ≠ x}

Siden hvert element, antall eller objekt er lik seg selv, kan settet C ikke være annet enn det tomme settet:

C = Ø

Oppgave 4

La settet med N med naturlige tall og Z være settet med heltall. Bestem N ⋂ Z og N ∪ Z.

Løsning:

N ⋂ Z = {x ∈ Z / x ≤ 0} = (-∞, 0]

N ∪ Z = Z fordi N ⊂ Z.

referanser

1. Garo, M. (2014). Matematikk: kvadratiske ligninger: Hvordan løse en kvadratisk ligning. Marilù Garo.
2. Haeussler, EF, & Paul, RS (2003). Matematikk for ledelse og økonomi. Pearson Education.
3. Jiménez, J., Rodríguez, M., Estrada, R. (2005). Matematikk 1 SEP. Terskel.
4. Preciado, CT (2005). Matematikkurs 3. Redaksjonell progreso.
5. Matematikk 10 (2018). "Eksempler på endelige sett". Gjenopprettet fra: matematicas10.net
6. Wikipedia. Sett teori. Gjenopprettet fra: es.wikipedia.com