The Green 's teorem er en beregningsmetode som brukes til å koble linjen integraler doble integraler eller overflate. Funksjonene som er involvert må betegnes som vektorfelt og defineres i banen C.
For eksempel kan et linjeintegrert uttrykk være veldig vanskelig å løse; ved å implementere Green's teem, blir doble integraler imidlertid ganske grunnleggende. Det er alltid viktig å respektere banens positive retning, dette refererer til mot urviseren.
Green's teorem er et spesielt tilfelle av Stokes teorem, der projeksjonen av vektorfunksjonen utføres i xy-planet.
Definisjon
Uttrykket av Green's Theorem er som følger:
Den første termen viser linjen integrert definert av banen "C", til skalarproduktet mellom vektorfunksjonen "F" og den for vektoren "r".
C: Det er den definerte banen som vektorfunksjonen skal projiseres på så lenge den er definert for det planet.
F: Vektorfunksjon, der hver av komponentene er definert av en funksjon som sådan (f, g).
r: Det er en vektortangens til regionen R som integralen er definert over. I dette tilfellet opererer vi med en differensial av denne vektoren.
I andre periode ser vi Green's teorem utviklet, der det doble integralet som er definert i området R for forskjellen mellom partielle derivater av g og f, er observert, med hensyn til henholdsvis x og y. Ved en arealdifferensial som ikke er noe mer enn produktet av begge todimensjonale differensialer (dx.dy).
Dette teoremet er perfekt anvendelig for rom- og overflateintegraler.
Demonstrasjon
For å bevise Grønns teorem på en enkel måte, vil denne oppgaven bli delt opp i to deler. Først av alt vil vi anta at vektorfunksjonen F bare har en definisjon i versoren i. Mens funksjonen "g" som tilsvarer versoren j, vil være lik null.
Forfatter
F = f (x, y) i + g (x, y) j = f (x, y) i + 0
r = x i + y j
dr = dx i + dy j
Først utvikler vi linjen integrert over bane C, som banen er sektorisert for i 2 seksjoner som går først fra a til b og deretter fra b til a.
Definisjonen av den grunnleggende teorem for kalkulus brukes for en klar integral.
Uttrykket er omorganisert til et enkelt integral, det negative blir gjort til en vanlig faktor, og rekkefølgen på faktorene blir reversert.
Når man observerer dette uttrykket i detalj, blir det tydelig at når vi bruker de primitive funksjonskriteriene, er vi i nærvær av integralen av uttrykket avledet fra f med hensyn til y. Evaluert i parametere
Nå er det nok å anta at vektorfunksjonen F bare er definert for g (x, y) j . Når man opererer på en måte som ligner på forrige tilfelle, oppnås følgende:
For å fullføre blir de to korrekturene tatt og sammenføyd i tilfelle hvor vektorfunksjonen tar verdier for begge versjoner. På denne måten blir det vist hvordan linjen integrert etter å ha blitt definert og betraktet som en endimensjonal bane, kan utvikles fullt ut for planet og rommet.
F = f (x, y) i + g (x, y) j
På denne måten blir Greens teorem bevist.
applikasjoner
Bruken av Green's teorem er bred i grenene av fysikk og matematikk. Disse strekker seg til enhver applikasjon eller bruk som kan gis til linjeintegrering.
Det mekaniske arbeidet som utføres av en kraft F gjennom en bane C, kan utvikles av en linjeintegral som uttrykkes som et dobbelt integral av et område ved Green's teorem.
Treghetsmomentene til mange organer som er utsatt for ytre krefter på forskjellige bruksområder, reagerer også på linjeintegraler som kan utvikles med Green's teorem.
Dette har flere funksjoner i resistensstudiene av materialer som er under bruk. Der eksterne verdier kan kvantifiseres og tas i betraktning før utviklingen av forskjellige elementer.
Generelt letter Green's teorem forståelsen og definisjonen av områdene der vektorfunksjoner er definert med hensyn til et område langs en bane.
Historie
Den ble publisert i 1828 i arbeidet Matematisk analyse til teoriene om elektrisitet og magnetisme, skrevet av den britiske matematikeren George Green. I det blir ganske avgjørende seksjoner i anvendelsen av kalkulus i fysikk utforsket, som begrepet potensielle funksjoner, Grønns funksjoner og anvendelsene av hans selvtitulerte teorem.
George Green formaliserte sin studentkarriere i en alder av 40 år, og var til nå en helt selvlært matematiker. Etter å ha studert ved University of Cambridge fortsatte han forskningen, og ga bidrag innen akustikk, optikk og hydrodynamikk som fortsatt er gyldige i dag.
Forhold til andre teoremer
Green's teorem er et spesielt tilfelle, og det oppstår fra 2 andre veldig viktige teoremer innen kalkulusfeltet. Dette er Kelvin-Stokes teorem og divergensen eller Gauss Ostrogradski teorem.
Med utgangspunkt i en av de to teoremene, kan man komme frem til Green's teorem. Visse definisjoner og proposisjoner er nødvendige for å utvikle slike bevis.
Øvelser
- Følgende øvelse viser hvordan du kan transformere en linjeintegral til en dobbel integral med hensyn til et område R.
Det opprinnelige uttrykket er følgende:
Fra der de korresponderende funksjonene af og g tas
f (x, y) = x 3 g (x, y) = yx
df / dy = 0 dg / dx = y
Det er ingen enkelt måte å definere grensene for integrasjon når Grønns teorem brukes. Men det er måter integralene etter å ha blitt definert kan være enklere. Så optimalisering av integrasjonsgrensene fortjener oppmerksomhet.
Hvor når vi løser integralene vi får:
Denne verdien tilsvarer i kubiske enheter til området under vektorfunksjonen og over det trekantede området definert av C.
Når det gjelder linjen integrert uten å utføre Green sin metode, ville det ha vært nødvendig å parametrere funksjonene i hver del av regionen. Det vil si utføre 3 parameteriserte integraler for oppløsningen. Dette er tilstrekkelig bevis på effektiviteten som Robert Green brakte med sitt teorem til beregningen.
referanser
- Introduksjon til kontinuummekanikk. W Michael Lai, David H. Rubin, Erhard Krempl, David Rubin Butterworth-Heinemann, 23. jul. 2009
- Multivariatberegning. James Stewart. Cengage Learning, 22. mars 2011
- En uformell historie om Green's teorem og tilknyttede ideer. James Joseph Cross. Institutt for matematikk, University of Melbourne, 1975
- Varmeledning ved hjelp av grønne funksjoner. Kevin D. Cole, James V. Beck, A. Haji-Sheikh, Bahman Litkouhi. Taylor & Francis, 16. jul 2010
- Anvendelse av Green's Teemem til ekstremisering av lineære integraler. Forsvarets tekniske informasjonssenter, 1961