EUKLIDS TEOREM: BEVIS, ANVENDELSE OG ØVELSER - MATTE - 2026

Den Euclid teorem viser egenskapene for en trekant til å trekke en linje som skiller det i to nye trekanter som er like og, i sin tur, er lik den opprinnelige trekanten; da er det et forholdsmessighetsforhold.

Euklid var en av de største matematikere og geometrikere i antikken som utførte flere bevis på viktige teoremer. En av de viktigste er den som bærer navnet hans, som har hatt en bred anvendelse.

Dette har vært tilfelle fordi det gjennom dette teoremet på en enkel måte forklarer de geometriske forholdene som eksisterer i den høyre trekanten, der bena i trekanten er relatert til projeksjonene deres på hypotenusen.

Formler og demonstrasjon

Euclids teorem foreslår at i hver høyre trekant, når en linje tegnes - som representerer høyden som tilsvarer toppunktet til rett vinkel i forhold til hypotenusen - dannes to høyre trekanter fra originalen.

Disse trekantene vil være like med hverandre og vil også være lik den originale trekanten, noe som betyr at deres lignende sider er proporsjonale med hverandre:

Vinklene til de tre trekantene er kongruente; det vil si at når de roteres 180 grader om toppunktet, sammenfaller den ene vinkelen med den andre. Dette innebærer at de alle vil være like.

På denne måten kan likheten som eksisterer mellom de tre trekantene også bekreftes ved like vinkler. Ut fra likheten med trekanter, fastslår Euclid proporsjonene av disse fra to teoremer:

- Høydesetning.

- Stelling av bena.

Dette teoremet har en bred anvendelse. I gamle tider ble det brukt til å beregne høyder eller avstander, noe som representerte et stort fremskritt for trigonometri.

Det brukes for tiden på forskjellige områder som er basert på matematikk, som ingeniørfag, fysikk, kjemi og astronomi, blant mange andre områder.

Høyde teorem

I dette teoremet er det slått fast at i en hvilken som helst høyre trekant er høyden trukket fra riktig vinkel i forhold til hypotenusen det geometriske proporsjonale middelverdien (kvadratet av høyden) mellom fremspringene til bena som den bestemmer på hypotenusen.

Det vil si at høydens kvadrat vil være lik multiplikasjonen av de projiserte benene som danner hypotenusen:

h _c ² = m _* n

Demonstrasjon

Gitt en trekant ABC, som er rett i toppunktet C, genererer plottingen av høyden to like høyre trekanter, ADC og BCD; derfor er deres tilsvarende sider proporsjonale:

På en slik måte at høyden h _c som tilsvarer segmentet CD, tilsvarer hypotenusen AB = c, har vi således:

Dette tilsvarer i sin tur:

Løsning for hypotenusen (h _c ), for å multiplisere de to likestillingens medlemmer, har vi:

h _{c *} h _{c =} m _* n

h _c ² = m _* n

Dermed er verdien av hypotenusen gitt av:

Benetning

I dette teoremet er det slått fast at målet i hvert høyre trekant vil være det geometriske proporsjonalt middel (kvadratet til hvert ben) mellom målet på hypotenusen (fullstendig) og projeksjonen til hvert av dem på det:

b ² = c _* m

a ² = c _* n

Demonstrasjon

Gitt en trekant ABC, som ligger rett ved toppunktet C, på en slik måte at hypotenusen er c, når plottingen av høyden (h) bestemmes fremspringene til bena a og b, som er henholdsvis segmentene m og n, og som ligger på hypotenusen.

Dermed har vi at høyden som trekkes på høyre trekant ABC genererer to like høyre trekanter, ADC og BCD, slik at de tilsvarende sidene er proporsjonale, slik:

DB = n, som er projeksjonen av ben CB på hypotenusen.

AD = m, som er projeksjonen av benet AC på hypotenusen.

Deretter bestemmes hypotenusen c av summen av bena på fremspringene:

c = m + n

På grunn av likheten mellom trekantene ADC og BCD, har vi:

Ovennevnte er det samme som:

Løsning for benet "a" for å multiplisere de to likestillingens medlemmer, har vi:

a _* a = c _* n

a ² = c _* n

Dermed er verdien av etappe "a" gitt av:

På grunn av likheten mellom trekantene ACB og ADC, har vi på samme måte:

Ovennevnte er lik:

Løsning for benet "b" for å multiplisere de to likestillingens medlemmer, har vi:

b _* b = c _* m

b ² = c _* m

Dermed blir verdien av benet "b" gitt av:

Forholdet mellom Euclids teoremer

Teoriene med henvisning til høyden og beina er relatert til hverandre fordi målet for begge er laget med hensyn til hypotenusen til høyre trekant.

Gjennom forholdet til Euclids teoremer kan verdien av høyden også bli funnet; Dette er mulig ved å løse verdiene til m og n fra benetningen, og de erstattes i høydesetningen. På denne måten blir det oppfylt at høyden er lik multiplikasjonen av bena, delt med hypotenusen:

b ² = c _* m

m = b ² ÷ c

a ² = c _* n

n = a ² ÷ c

I høydesetningen erstatter vi m og n:

h _c ² = m _* n

h _c ² = (b ² ÷ c) _* (a ² ÷ c)

h _c = (b ² _* a ² ) ÷ c

Løste øvelser

Eksempel 1

Gitt trekanten ABC, rett ved A, bestem målet for AC og AD, hvis AB = 30 cm og BD = 18 cm

Løsning

I dette tilfellet har vi målingene til et av de projiserte benene (BD) og av et av bena i den originale trekanten (AB). På denne måten kan benetningen brukes for å finne verdien av benet BC.

AB ² = BD _* f.Kr.

(30) ² = 18 _* f.Kr.

900 = 18 _* f.Kr.

BC = 900 ÷ 18

BC = 50 cm

Verdien av ben-CD kan bli funnet å vite at BC = 50:

CD = BC - BD

CD = 50 - 18 = 32 cm

Nå er det mulig å bestemme verdien av etappe AC ved å bruke benetesetningen igjen:

AC ² = CD _* BD

AC ² = 32 _* 50

AC ² = 160

AC = √1600 = 40 cm

For å bestemme verdien på høyden (AD), brukes høydesetningen, siden verdiene til de projiserte benene CD og BD er kjent:

AD ² = 32 _* 18

AD ² = 576

AD = √576

AD = 24 cm

Eksempel 2

Bestem verdien for høyden (h) til en trekant MNL, rett i N, vel vitende om målene til segmentene:

NL = 10 cm

MN = 5 cm

PM = 2 cm

Løsning

Vi har et mål på et av bena som er projisert på hypotenusen (PM), så vel som målene på bena i den opprinnelige trekanten. På denne måten kan benetningen brukes for å finne verdien av det andre projiserte benet (LN):

NL ² = PM _* LM

(10) ² = 5 _* LM

100 = 5 _* LM

PL = 100 ÷ 5 = 20

Ettersom verdien på bena og hypotenusen allerede er kjent, kan forholdet mellom høydens teoremer og bena bestemmes:

NL = 10

MN = 5

LM = 20

h = (b ² _* a ² ) ÷ c.

h = (10 ² _* 5 ² ) ÷ (20)

h = (100 _* 25) ÷ (20)

h = 2500 ÷ 20

h = 125 cm.

referanser

1. Braun, E. (2011). Kaos, fraktaler og rare ting. Fund of Economic Culture.
2. Cabrera, VM (1974). Moderne matematikk, bind 3.
3. Daniel Hernandez, DP (2014). 3. års matte. Caracas: Santillana.
4. Encyclopaedia Britannica, i. (nitten nitti fem). Hispanic Encyclopedia: Macropedia. Encyclopedia Britannica Publisher.
5. Euclid, RP (1886). Euclids Elements of Geometry.
6. Guardeño, AJ (2000). Arven fra matematikk: fra Euclid til Newton, geniene gjennom bøkene deres. Sevilla University.