MILETUS TALES TEOREM: FØRSTE, ANDRE OG EKSEMPLER - MATTE - 2026

De første og andre teoremene til Thales of Miletus er basert på å bestemme trekanter fra lignende (første teorem) eller fra sirkler (andre teorem). De har vært veldig nyttige på forskjellige områder. For eksempel var det første teoremet veldig nyttig for å måle store strukturer når det ikke var sofistikerte måleinstrumenter.

Thales of Miletus var en gresk matematiker som ga store bidrag til geometri, hvorav disse to teoremene skiller seg ut (i noen tekster er han også skrevet som Thales) og deres nyttige anvendelser. Disse resultatene har blitt brukt gjennom historien og har gjort det mulig å løse en lang rekke geometriske problemer.

Thales of Miletus

Thales 'første teorem

Thales 'første teorem er et veldig nyttig verktøy som blant annet tillater konstruksjon av en trekant som ligner en annen tidligere kjent. Herfra er forskjellige versjoner av teoremet avledet som kan brukes i flere sammenhenger.

La oss huske noen forestillinger om likhet med trekanter før du gir uttalelse. I hovedsak er to trekanter like hvis deres vinkler er kongruente (de har samme mål). Dette resulterer i det faktum at hvis to trekanter er like, er deres korresponderende (eller homologe) sider proporsjonale.

Thales 'første teorem sier at hvis en linje tegnes parallelt med noen av sidene i en gitt trekant, vil den nye trekanten være den samme som den innledende trekanten.

Det blir også oppnådd et forhold mellom vinklene som er dannet, som vist i figuren nedenfor.

applikasjon

Blant de mange bruksområdene, skiller en av spesiell interesse seg ut og har å gjøre med en av måtene målinger ble gjort av store strukturer i antikken, en tid der Thales bodde og der det ikke var noen moderne måleinstrumenter som de eksisterer nå.

Det sies at det er slik Thales klarte å måle den høyeste pyramiden i Egypt, Cheops. For dette antok Thales at refleksjonene fra solstrålene berørte bakken og dannet parallelle linjer. Under denne antagelsen spikret han en pinne eller stokk vertikalt i bakken.

Han brukte deretter likheten mellom de to resulterende trekantene, den ene dannet av lengden på skyggen av pyramiden (som lett kan beregnes) og høyden på pyramiden (den ukjente), og den andre dannet av lengden på skyggen og høyden på stangen (som også lett kan beregnes).

Ved å bruke proporsjonaliteten mellom disse lengdene, kan pyramidens høyde løses og kjent.

Selv om denne målemetoden kan gi en betydelig tilnærmingsfeil med hensyn til nøyaktigheten av høyden og avhenger av parallelliteten til solstrålene (som igjen avhenger av en presis tid), må det erkjenes at det er en veldig genial ide og det ga et godt målealternativ for tiden.

eksempler

Finn verdien av x i hvert tilfelle:

Thales 'andre teorem

Det andre teoremet om Thales bestemmer en høyre trekant innskrevet i en sirkel på hvert punkt av det samme.

En trekant påskrevet en omkrets er en trekant med toppunktene på omkretsen, og dermed forblir inneholdt i den.

Spesielt angir Thales 'andre teorem følgende: gitt en omkrets av sentrum O og diameter AC, bestemmer hvert punkt B i omkretsen (annet enn A og C) en høyre trekant ABC, med rett vinkel

Som begrunnelse, la oss merke oss at både OA og OB og OC tilsvarer omkretsens radius; Derfor er målingene deres de samme. Av dette følger at trekantene OAB og OCB er likeartede, hvor

Det er kjent at summen av vinklene til en trekant er lik 180º. Ved å bruke dette med trekant ABC har vi:

2b + 2a = 180º.

Tilsvarende har vi at b + a = 90º og b + a =

Legg merke til at den høyre trekanten levert av Thales 'andre teorem er nøyaktig den hvis hypotenuse er lik diameteren på omkretsen. Derfor bestemmes den fullstendig av halvcirkelen som inneholder poengene i trekanten; i dette tilfellet den øvre halvcirkel.

La oss også observere at i høyre trekant oppnådd ved hjelp av Thales 'andre teorem, er hypotenusen delt i to like store deler av OA og OC (radien). I sin tur er dette tiltaket lik segmentet OB (også radien), som tilsvarer medianen til trekanten ABC med B.

Med andre ord, lengden på medianen til høyre trekant ABC tilsvarer toppunkt B bestemmes fullstendig av halve hypotenusen. Husk at medianen til en trekant er segmentet fra en av toppunktene til midtpunktet på motsatt side; i dette tilfellet BO-segmentet.

Omskrevet omkrets

En annen måte å se på Thales 'andre teorem er gjennom en omkrets omskrevet til en høyre trekant.

Generelt består en sirkel omskrevet av en polygon av omkretsen som passerer gjennom hver av hjørnene, når det er mulig å tegne den.

Ved å bruke Thales 'andre teorem, gitt en riktig trekant, kan vi alltid konstruere en omkrets som er omskrevet den, med en radius som er lik halvparten av hypotenusen og et circumcenter (sentrum av omkretsen) lik midtpunktet til hypotenusen.

applikasjon

En veldig viktig anvendelse av Thales 'andre teorem, og kanskje den mest brukte, er å finne tangenslinjene til en gitt sirkel, gjennom et punkt P utenfor det (kjent).

Legg merke til at gitt en sirkel (tegnet i blått på figuren nedenfor) og et utvendig punkt P, er det to linjer som tangerer sirkelen som passerer gjennom P. La T og T 'være poengets tangens, r radius av sirkelen, og Eller sentrum.

Det er kjent at segmentet som går fra sentrum av en sirkel til et punkt på tangensen av det samme, er vinkelrett på denne tangentlinjen. Så vinkelen OTP er riktig.

Fra det vi så tidligere i Thales 'første teorem og dens forskjellige versjoner, ser vi at det er mulig å innskrive OTP-trekanten i en annen sirkel (i rødt).

Tilsvarende oppnås det at trekanten OT'P kan være innskrevet innenfor samme forrige omkrets.

Ved Thales 'andre teorem får vi også at diameteren til denne nye omkretsen nettopp er hypotenusen til trekanten OTP (som er lik hypotenusen til trekanten OT'P), og sentrum er midtpunktet til denne hypotenusen.

For å beregne sentrum av den nye omkretsen, så er det nok å beregne midtpunktet mellom sentrum - si M - for den første omkretsen (som vi allerede vet) og punktet P (som vi også kjenner). Da vil radiusen være avstanden mellom dette punktet M og P.

Med radius og sentrum av den røde sirkelen kan vi finne den kartesiske ligningen, som vi husker er gitt av (xh) ² + (yk) ² = c ² , hvor c er radius og punktet (h, k) er sentrum av omkretsen.

Når vi vet nå likningene fra begge sirkler, kan vi krysse dem ved å løse likningssystemet dannet av dem, og dermed oppnå poengene med tangens T og T '. Til slutt, for å kjenne de ønskede tangentlinjene, er det nok å finne ligningen på linjene som går gjennom T og P, og gjennom T 'og P.

Eksempel

Tenk på en omkrets med diameter AC, sentrum O og radius 1 cm. La B være et punkt på omkretsen slik at AB = AC. Hvor høy er AB?

Løsning

Ved Thales 'andre teorem har vi at trekanten ABC er rett og hypotenusen tilsvarer diameteren, som i dette tilfellet måler 2 cm (radiusen er 1 cm). Deretter har vi ved hjelp av Pythagorean teorem:

referanser

1. Ana Lira, PJ (2006). Geometri og trigonometri. Zapopan, Jalisco: Ediciones Umbral.
2. Goodman, A., & Hirsch, L. (1996). Algebra og trigonometri med analytisk geometri. Pearson Education.
3. Gutiérrez, Á. TIL. (2004). Metodikk og anvendelser av matematikk i ESO Kunnskapsdepartementet.
4. Iger. (2014). Matematikk andre semester Zaculeu. Guatemala: IGER.
5. José Jiménez, LJ (2006). Matematikk 2. Zapopan, Jalisco: Ediciones Umbral.
6. M., S. (1997). Trigonometri og analytisk geometri. Pearson Education.
7. Pérez, MA (2009). En historie med matematikk: utfordringer og erobringer gjennom dens karakterer. Redaksjonell visjon Libros.
8. Viloria, N., & Leal, J. (2005). Plane Analytical Geometry. Redaksjonell Venezolana CA