VARIGNONS TEOREM: EKSEMPLER OG LØSTE ØVELSER - MATTE - 2026

Den teoremet Varignon sier at dersom en hvilken som helst firkanten er kontinuerlig koblet til midtpunktene av sidene, er et parallellogram generert. Dette teoremet ble formulert av Pierre Varignon og utgitt i 1731 i boken Elements of mathematics ”.

Publiseringen av boka skjedde år etter hans død. Siden det var Varignon som introduserte dette teoremet, er parallellogrammet oppkalt etter ham. Teoremet er basert på euklidisk geometri og presenterer geometriske sammenhenger mellom firedoblinger.

Hva er Varignons teorem?

Varignon uttalte at et tall som er definert av midtpunktene til en firkant vil alltid resultere i et parallellogram, og området til parallellogrammet vil alltid være halvparten av det firedoblet hvis det er flatt og konvekst. For eksempel:

På figuren kan du se en firkantet side med et område X, der midtpunktene til sidene er representert av E, F, G og H og når de kobles sammen, danner et parallellogram. Arealet til firkantet vil være summen av områdene av trekantene som er dannet, og halvparten av dette tilsvarer området til parallellogrammet.

Siden området til parallellogrammet er halve arealet av firedoblingen, kan omkretsen til det parallellogrammet bestemmes.

Dermed er omkretsen lik summen av lengdene på diagonalene til firkantet; Dette er fordi medianene til det firkantede sider vil være diagonalene i parallellogrammet.

På den annen side, hvis lengdene på de firkantede diagonalene er nøyaktig de samme, vil parallellogrammet være en romb. For eksempel:

Fra figuren kan man se at ved å gå sammen med midtpunktene på sidene av firkantet oppnås en romb. På den annen side, hvis diagonalene til de firkantede sidene er vinkelrett, vil parallellogrammet være et rektangel.

Parallellogrammet vil også være et kvadrat når firkantet har diagonalene med samme lengde, og de er også vinkelrett.

Teoremet blir ikke bare oppfylt i plane firedoblinger, det implementeres også i romlig geometri eller i store dimensjoner; det vil si i de firedoblinger som ikke er konvekse. Et eksempel på dette kan være en oktaeder, der midtpunktene er centroids i hvert ansikt og danner en parallellpiped.

På denne måten, ved å gå sammen med midtpunktene til forskjellige figurer, kan du få parallelleogrammer. En enkel måte å sjekke om dette virkelig stemmer, er at de motsatte sidene må være parallelle når de forlenges.

eksempler

Første eksempel

Utvidelse av motsatte sider for å vise at det er et parallellogram:

Andre eksempel

Ved å gå sammen med midtpunktene til en romb, oppnås et rektangel:

Teoremet brukes i foreningen av punkter som ligger midt på sidene av en firkantet side, og det kan også brukes til andre typer punkter, for eksempel en triseksjon, penta-seksjon eller til og med et uendelig antall seksjoner ( nth), for å dele sidene av alle firedoblinger i segmenter som er proporsjonale.

Løste øvelser

Oppgave 1

I figuren har vi en firedoblet ABCD av område Z, der midtpunktene til sidene av dette er PQSR. Sjekk at et Varignon-parallellogram er dannet.

Løsning

Det kan sees at å bli med i PQSR-punktene danner et Varignon-parallellogram, nettopp fordi midtpunktene til en firedobling er gitt i utsagnet.

For å demonstrere dette blir først midtpunktene PQSR koblet sammen, slik at det kan sees at det dannes en annen firedobling. For å vise at det er et parallellogram, trenger du bare å tegne en rett linje fra punkt C til punkt A, slik at det kan sees at CA er parallelt med PQ og RS.

På samme måte, når man utvider sidene PQRS, kan det sees at PQ og RS er parallelle, som vist på følgende bilde:

Oppgave 2

Vi har et rektangel slik at lengdene på alle sidene er like. Ved å gå sammen med midtpunktene på disse sidene, dannes en romb ABCD, som er delt av to diagonaler AC = 7cm og BD = 10cm, som sammenfaller med målingene av sidene på rektangelet. Bestem områdene til romb og rektangel.

Løsning

Husk at området for det resulterende parallellogrammet er halvparten av det firkantede, kan området av disse bestemmes ved å vite at målet til diagonalene sammenfaller med sidene av rektangelet. Så du må:

AB = D

CD = d

Et _rektangel = (AB _* CD) = (10cm _* 7cm) = 70cm ²

En _rhombus = Et _rektangel / 2

En _rombe = 70 cm ² /2 = 35 cm ²

Oppgave 3

På figuren er det en firedobling som har foreningen av punktene EFGH, lengdene på segmentene er gitt. Bestem om foreningen til EFGH er et parallellogram.

AB = 2,4 CG = 3,06

EB = 1,75 GD = 2,24

BF = 2,88 DH = 2,02

HR = 3,94 HA = 2,77

Løsning

Når lengden på segmentene er gitt, kan det verifiseres om det er proporsjonalitet mellom segmentene; det vil si at du kan vite om de er parallelle, og relaterer segmentene til det firkantede på følgende måte:

- AE / EB = 2,4 / 1,75 = 1,37

- AH / HD = 2,77 / 2,02 = 1,37

- CF / FB = 3,94 / 2,88 = 1,37

- CG / GD = 3,06 / 2,24 = 1,37

Deretter kontrolleres proporsjonaliteten, siden:

AE / EB = AH / HD = CF / FB = CG / GD

Tilsvarende, når man tegner en linje fra punkt B til punkt D, kan man se at EH er parallell med BD, akkurat som BD er parallell med FG. På den annen side er EF parallelt med GH.

Dermed kan det bestemmes at EFGH er et parallellogram, fordi de motsatte sidene er parallelle.

referanser

1. Andres, T. (2010). Matematisk Olympiad Tresure. Springer. New York.
2. Barbosa, JL (2006). Plane euklidisk geometri. SBM. Rio de Janeiro.
3. Howar, E. (1969). Studie av geometrier. Mexico: Hispanic - American.
4. Ramo, GP (1998). Ukjente løsninger på Fermat-Torricelli-problemene. ISBN - Selvstendig arbeid.
5. Vera, F. (1943). Elements of Geometry. Bogota
6. Villiers, M. (1996). Noen eventyr i euklidisk geometri. Sør-Afrika.