KONGRUENS: KONGRUENTE FIGURER, KRITERIER, EKSEMPLER, ØVELSER - MATTE - 2025

Den kongruens i geometri sier at dersom to plane figurer ha den samme form og dimensjoner, disse er sammenfallende. For eksempel er to segmenter kongruente når lengdene deres er like. På samme måte har kongruente vinkler samme mål, selv om de ikke er orientert på samme måte i planet.

Begrepet "kongruens" kommer fra Latin congruentia, hvis betydning er korrespondanse. Dermed tilsvarer to kongruente figurer nøyaktig hverandre.

Figur 1. Firedobber ABCD og A'B'C'D 'i figuren er kongruente: sidene deres har samme mål, som deres indre vinkler. Kilde: F. Zapata.

For eksempel, hvis vi overlegger de to firedoblinger på bildet, vil vi finne at de er kongruente, siden arrangementet på sidene deres er identisk og de måler det samme.

Ved å plassere firedoblinger ABCD og A'B'C'D 'oppå hverandre, vil tallene stemme nøyaktig. De sammenfallende sidene kalles homologe eller tilsvarende sider, og symbolet ≡ brukes til å uttrykke kongruens. Så vi kan si at ABCD ≡ A'B'C'D '.

Kongruensskriterier

Følgende egenskaper er vanlige for kongruente polygoner:

-Den samme form og størrelse.

-Identiske målinger av vinklene deres.

-Det samme tiltaket på hver av sidene.

I tilfelle at to aktuelle polygoner er regelmessige, det vil si at alle sider og indre vinkler måler det samme, sikres kongruens når noen av følgende betingelser er oppfylt:

-Sidene er kongruente

-Potemene har samme mål

-Radiusen til hver polygon måler den samme

Apotemet til en vanlig polygon er avstanden mellom sentrum og en av sidene, mens radiusen tilsvarer avstanden mellom sentrum og et toppunkt eller hjørne av figuren.

Kongruensskriterier brukes ofte fordi så mange deler og deler av alle slag er masseprodusert og må ha samme form og målinger. På denne måten kan de enkelt byttes ut når det er nødvendig, for eksempel muttere, bolter, ark eller belegningsstein på bakken i gaten.

Figur 2. Gatens steinstein er kongruente figurer, siden deres form og dimensjoner er nøyaktig de samme, selv om deres retning på bakken kan endre seg. Kilde: Pixabay.

Kongruens, identitet og likhet

Det er geometriske begreper relatert til kongruens, for eksempel identiske figurer og lignende figurer, som ikke nødvendigvis innebærer at figurene er kongruente.

Legg merke til at de kongruente figurene er identiske, men de firkantede sidene i figur 1 kan være orientert på forskjellige måter på planet og fremdeles forbli kongruente, siden den forskjellige orienteringen ikke endrer størrelsen på sidene eller vinklene deres. I så fall ville de ikke lenger være identiske.

Det andre konseptet er likheten på figurer: to plane figurer er like hvis de har samme form og deres indre vinkler måler det samme, selv om størrelsen på figurene kan være forskjellige. Hvis dette er tilfelle, er ikke tallene kongruente.

Eksempler på kongruens

- Kongruens av vinkler

Som vi antydet i begynnelsen, har kongruente vinkler samme mål. Det er flere måter å oppnå kongruente vinkler på:

Eksempel 1

To linjer med et felles punkt definerer to vinkler, kalt motsatte vinkler på grunn av toppunktet. Disse vinklene har samme mål, derfor er de kongruente.

Figur 3. Motsatte vinkler ved toppunktet. Kilde: Wikimedia Commons.

Eksempel 2

Det er to parallelle linjer pluss en linje t som krysser begge deler. Som i forrige eksempel, når denne linjen skjærer parallellene genererer den kongruente vinkler, en på hver linje på høyre side og en annen to på venstre side. Figuren viser α og α ₁ , til høyre for linje t, som er kongruente.

Figur 4. Vinklene vist på figuren er kongruente. Kilde: Wikimedia Commons. Lfahlberg / CC BY-SA (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0).

Eksempel 3

I et parallellogram er det fire indre vinkler, som er kongruente to til to. Det er de mellom motsatte hjørner, som vist i den følgende figuren, der de to grønne vinklene er kongruente, samt de to vinklene i rødt.

Figur 5. De indre vinklene til parallellogrammet er kongruente to etter to. Kilde: Wikimedia Commons.

- Kongruens av trekanter

To trekanter med samme form og størrelse er kongruente. For å bekrefte dette er det tre kriterier som kan undersøkes på jakt etter kongruens:

- LLL-kriterium : trekantens tre sider har de samme målene, derfor er L ₁ = L ' ₁ ; L ₂ = L ' ₂ og L ₃ = L' _3.

Figur 6. Eksempel på kongruente trekanter, hvis sider måler det samme. Kilde: F. Zapata.

- ALA- og AAL-kriterier : trekanter har to like innvendige vinkler, og siden mellom disse vinklene har samme mål.

Figur 7. ALA- og AAL-kriterier for trekantkongruens. Kilde: Wikimedia Commons.

- LAL-kriterium : to av sidene er identiske (tilsvarende), og det er samme vinkel mellom dem.

Figur 8. LAL-kriterium for kongruens av trekanter. Kilde: Wikimedia Commons.

Løste øvelser

- Oppgave 1

To trekanter er vist i følgende figur: ΔABC og ΔECF. Det er kjent at AC = EF, at AB = 6 og at CF = 10. Videre er vinklene ∡BAC og ∡FEC kongruente og vinklene ∡ACB og ∡FCB er også kongruente.

Figur 9. Trekanter for det bearbeidede eksemplet 1. Kilde: F. Zapata.

Da er lengden på segment BE lik:

(i) 5

(ii) 3

(iii) 4

(iv) 2

(v) 6

Løsning

Ettersom de to trekantene har en side med lik lengde AC = EF mellom de samme vinklene ∡BAC = ∡CEF og ∡BCA = ∡CFE, kan det sies at de to trekantene er kongruente av ALA-kriteriet.

Det vil si ΔBAC ≡ ΔCEF, så vi må:

BA = CE = AB = 6

BC = CF = 10

AC = EF

Men segmentet som skal beregnes er BE = BC - EC = 10 - 6 = 4.

Så riktig svar er (iii).

- Oppgave 2

Tre trekanter er vist på figuren nedenfor. Det er også kjent at de to indikerte vinklene måler 80º hver og at segmentene AB = PD og AP = CD. Finn verdien på vinkelen X angitt på figuren.

Figur 10. Trekanter for det løste eksemplet 2. Kilde: F. Zapata.

Løsning

Du må bruke egenskapene til trekantene, som er detaljerte trinn for trinn.

Trinn 1

Med utgangspunkt i LAL trekant kongruens kriterium, kan det anføres at BAP og PDC trekantene er kongruente:

ΔBAP ≡ ΔPDC

Steg 2

Ovennevnte fører til å bekrefte at BP = PC, derfor er trekanten ΔBPC isosceles og ∡PCB = ∡PBC = X.

Trinn 3

Hvis vi kaller vinkelen BPC γ, følger det at:

2x + γ = 180º

Trinn 4

Og hvis vi kaller vinklene APB og DCP β og α vinklene ABP og DPC, har vi:

α + β + γ = 180º (siden APB er en plan vinkel).

Trinn 5

Videre α + β + 80º = 180º ved sum av de indre vinklene i trekanten APB.

Trinn 6

Kombinere alle disse uttrykkene vi har:

α + β = 100º

Trinn 7

Og derfor:

y = 80º.

Trinn 8

Til slutt følger det at:

2X + 80º = 180º

Med X = 50º.

referanser

1. Baldor, A. 1973. Plane and Space Geometry. Mellomamerikansk kultur.
2. Stiftelsen CK-12. Congruent polygoner. Gjenopprettet fra: ck 12.org.
3. Kos deg med matte. Definisjoner: Radius (polygon). Gjenopprettet fra: enjoylasmatematicas.com.
4. Matematisk åpen referanse. Testing av polygoner for kongruens. Gjenopprettet fra: mathopenref.com.
5. Wikipedia. Kongruens (geometri). Gjenopprettet fra: es.wikipedia.org.
6. Zapata, F. Trekanter, historie, elementer, klassifisering, egenskaper. Gjenopprettet fra: lifeder.com.