KONJUGERE INDRE OG EKSTERNE VINKLER: EKSEMPLER, ØVELSER - MATTE - 2026

De vinkler konjugater er dem som er lagt til resultatene for å være 360, uavhengig av de nevnte vinkler er tilstøtende eller ikke. To konjugerte vinkler er vist på figur 1, betegnet α og β.

I dette tilfellet har vinklene α og β i figuren en felles toppunkt og sidene deres er vanlige, derfor er de nærliggende. Forholdet mellom dem uttrykkes som følger:

α + β = 360º

Figur 1. To konjugerte sentrale vinkler, sum. Kilde: Wikimedia Commons. Ingen maskinlesbar forfatter gitt. Thiago R Ramos antok (basert på opphavsrettskrav). Det er en klassifisering av vinklene etter summen. Andre viktige definisjoner inkluderer komplementære vinkler, hvis sum er 90º, og supplerende vinkler, som totalt er 180º.

På den annen side, la oss nå vurdere to parallelle linjer kuttet av en sekant, hvis arrangement er vist nedenfor:

Figur 2. Parallelle linjer kuttet av en sekant. Kilde: F. Zapata.

Linjene MN og PQ er parallelle, mens linjen RS er fast, og skjærer parallellene på to punkter. Som det fremgår, bestemmer denne konfigurasjonen dannelsen av 8 vinkler, som har blitt betegnet med små bokstaver.

Vel, i henhold til definisjonen gitt i begynnelsen, er vinklene a, b, c og d konjugert. Og på samme måte er e, f, g og h, siden begge tilfeller er sanne:

a + b + c + d = 360º

OG

e + f + g + h = 360º

For denne konfigurasjonen er to vinkler konjugert hvis de er på samme side i forhold til den festede linjen RS og begge er indre eller eksterne. I det første tilfellet snakker vi om indre konjugerte vinkler, mens i det andre er de ytre konjugerte vinkler.

eksempler

I figur 2 er de ytre vinklene de som er utenfor området avgrenset av linjene MN og PQ, de er vinklene A, B, G og H. Mens vinklene som ligger mellom de to linjene er C, D, E og F.

Nå er det nødvendig å analysere hvilke vinkler som er til venstre og hvilke til høyre for sekanten.

Til venstre for RS er vinklene A, C, E og G. Og til høyre er vinklene B, D, F og H.

Vi fortsetter med å bestemme de konjugerte vinkelparene, i henhold til definisjonen gitt i forrige seksjon:

-A og G, eksternt og til venstre for RS.

-D og F, internt og til høyre for RS.

-B og H, eksternt og til høyre for RS.

-C og E, internt og til venstre for RS.

Egenskap av konjugerte vinkler mellom parallelle linjer

De konjugerte vinklene mellom parallelle linjer er supplerende, det vil si summen deres er lik 180º. På denne måten er følgende for figur 2 sant:

A + G = 180º

D + F = 180º

B + H = 180º

C + E = 180º

Parene med tilsvarende vinkler for parallelle linjer

De er de som befinner seg på samme side av den siktede linjen, de er ikke tilstøtende, og den ene av dem er intern og den andre er ekstern. Det er viktig å visualisere dem, siden målet deres er det samme, fordi de er motsatte vinkler av toppunktet.

Når vi returnerer til figur 2, blir de korresponderende vinkelparene identifisert som:

-A og E

-C og G

-B og F

-D og H

Indre vinkler på en firedoblet

Firedeler er 4-sidige polygoner, blant dem firkanten, rektangelet, trapesformet, parallellogrammet og rombusen. Uansett form, i noen av dem er det sant at summen av deres indre vinkler er 360 º, derfor oppfyller de definisjonen gitt i begynnelsen.

La oss se noen eksempler på firedoblinger og hvordan du beregner verdien av deres indre vinkler i henhold til informasjonen i de foregående seksjoner:

eksempler

a) Tre av vinklene på et firedoblet mål 75º, 110º og 70º. Hvor mye skal den gjenværende vinkelen måle?

b) Finn verdien på vinkelen ∠Q i figur 3 i.

c) Beregn målet på vinkelen ∠A i figur 3 ii.

Løsning på

La α være den manglende vinkelen, den er tilfreds med at:

α + 75º + 110º + 70º = 360º → α = 105º

Løsning b

Fig. 3i er en trapes, og to av de indre vinklene er rett, som er merket med en farget firkant i hjørnene. For denne firedoblingen bekreftes følgende:

∠R + ∠S + ∠P + ∠Q = 360º; ∠S = ∠R = 90 °; ∠P = 60º

Og dermed:

∠ Q = 2 x 90º + 60º = 240º

Løsning c

Firedoblingen i figur 3 ii er også en trapes, som følgende er sant:

∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360º

Og dermed:

4x -5 + 3x + 10 +180 = 360

7x + 5 = 180

x = (180 - 5) / 7

x = 25

For å bestemme vinkelen som er bedt om i utsagnet, bruker vi at ∠A = 4x - 5. Ved å erstatte den tidligere beregnede verdien av x følger det at ∠A = (4 × 25) -5 = 95º

Øvelser

- Oppgave 1

Når du vet at en av vinklene som er vist, er 125º, finner du målene for de 7 gjenværende vinklene i følgende figur og rettferdiggjør svarene.

Figur 4. Treningens linjer og vinkler 1. Kilde: F. Zapata.

Løsning

Vinkel 6 og vinkel 125º er indre konjugater, hvis sum er 180º, i henhold til egenskapen til konjugerte vinkler, derfor:

∠6 + 125º = 180º → ∠6 = 180º - 125º = 55º

På den annen side er and6 og ∠8 motsatte vinkler av toppunktet, hvis mål er det samme. Derfor måler ∠8 55º.

Vinkelen ∠1 er også motsatt av toppunktet ved 125º, da kan vi bekrefte at ∠1 = 125º. Vi kan også appellere til at de tilsvarende vinkelparene har samme mål. I figuren er disse vinklene:

∠7 = 125 º

∠2 = ∠6 = 55 º

∠1 = ∠5 = 125º

∠4 = ∠8 = 55 º

- Oppgave 2

Finn verdien av x i følgende figur og verdiene for alle vinklene:

Figur 5. Linjer og vinkler for trening 2. Kilde: F. Zapata.

Løsning

Siden de er tilsvarende par, følger det at F = 73º. Og på den annen side er summen av de konjugerte parene 180º, derfor:

3x + 20º + 73º = 180º

3x = 180º - 73º -20º = 87

Endelig er verdien av x:

x = 87/3 = 29

Når det gjelder alle vinklene, er de oppført i følgende figur:

Figur 6. Vinkler fra øvelse 2. Kilde: F. Zapata.

referanser

1. Vinkelgrupper. Komplementær, utfyllende og forklarende vinkelforklaring. Gjenopprettet fra: thisiget.com/
2. Baldor, A. 1983. Plane and Space Geometry and Trigonometry. Patria kulturgruppe.
3. Corral, M. Matematikk LibreTexts: Angles. Gjenopprettet fra: math.libretexts.org.
4. Mathmania. Klassifisering og konstruksjon av vinkler etter deres måling. Gjenopprettet fra: mathematania.com/
5. Wentworth, G. Plane Geometry. Gjenopprettet fra: gutenberg.org.
6. Wikipedia. Konjugerte vinkler. Gjenopprettet fra: es.wikipedia.org.