BOOLSK ALGEBRA: HISTORIE, TEOREMER OG POSTULATER, EKSEMPLER - MATTE - 2025

Den Boolsk algebra eller Boolsk algebra er algebraisk notasjonen som brukes for behandling av binære variabler. Det dekker studier av enhver variabel som bare har to mulige utfall, komplementære og gjensidig eksklusive. For eksempel er variabler hvis eneste mulighet er sanne eller usanne, korrekte eller uriktige, på eller av grunnlaget for studien av boolsk algebra.

Boolsk algebra utgjør grunnlaget for digital elektronikk, noe som gjør den ganske til stede i dag. Det styres av begrepet logiske porter, der kjente operasjoner i tradisjonell algebra er særlig berørt.

Kilde: pexels.com

Historie

Boolsk algebra ble introdusert i 1854 av den engelske matematikeren George Boole (1815 - 1864), som var en selvlært lærd på den tiden. Hans bekymring oppsto fra en eksisterende konflikt mellom Augustus De Morgan og William Hamilton, om parametrene som definerer dette logiske systemet.

George Boole hevdet at definisjonen av de numeriske verdiene 0 og 1 tilsvarer, innen logikkfeltet, henholdsvis tolkningen Nothing og Universe.

George Booles intensjon var å definere, gjennom egenskapene til algebra, uttrykk for proposisjonell logikk som er nødvendig for å håndtere variabler av binær type.

I 1854 ble de mest betydningsfulle delene av den boolske algebra utgitt i boken "En undersøkelse av tankelovene som de matematiske teoriene om logikk og sannsynlighet er basert på."

Denne nysgjerrige tittelen vil senere bli oppsummert som "Theloven of thought" ("Theloven of thought"). Tittelen ble berømt på grunn av den umiddelbare oppmerksomheten den fikk fra datidens matematiske samfunn.

I 1948 anvendte Claude Shannon det på utformingen av bistabile elektriske bryterkretser. Dette fungerte som en introduksjon til anvendelsen av boolsk algebra innenfor hele den elektronisk-digitale ordningen.

Struktur

Elementærverdiene i denne typen algebra er 0 og 1, som tilsvarer henholdsvis FALSE og TRUE. De grunnleggende operasjonene i boolsk algebra er 3:

- OG drift eller konjunksjon. Representert av en periode (.). Produktets synonym.

- ELLER betjening eller disjunksjon. Representert med et kryss (+). Synonym for summen.

- IKKE drift eller negasjon. Representert av prefikset NOT (NOT A). Det er også kjent som et komplement.

Hvis i et sett A 2 lover for intern sammensetning er definert betegnet som produkt og sum (. +), Sies trippelen (A. +) å være en boolsk algebra hvis og bare hvis nevnte trippel oppfyller betingelsen om å være et gitter distribusjon.

For å definere et fordelingsgitter må distribusjonsbetingelsene være oppfylt mellom de gitte operasjonene:

. er fordelende med hensyn til summen + a. (b + c) = (a. b) + (a. c)

+ er distribuerende med hensyn til produktet. a + (b. c) = (a + b). (a + c)

Elementene som utgjør sett A må være binære, og dermed ha univers eller tomromverdier.

applikasjoner

Det største applikasjonsscenariet er den digitale grenen, der den tjener til å strukturere kretsene som utgjør den logiske operasjonen. Kunsten å være enkel i kretsen til fordel for å optimalisere prosesser er resultatet av riktig anvendelse og praksis av boolsk algebra.

Fra utdyping av elektriske paneler, som går gjennom overføring av data, til å komme til programmering på forskjellige språk, kan vi ofte finne boolsk algebra i alle slags digitale applikasjoner.

Boolske variabler er veldig vanlige i strukturen for programmering. Avhengig av hvilket programmeringsspråk som brukes, vil det være strukturelle operasjoner i koden som bruker disse variablene. Kondisjonene og argumentene til hvert språk innrømmer boolske variabler for å definere prosessene.

postulater

Det er teoremer som styrer de strukturelle logiske lovene i boolsk algebra. På samme måte er det postulater for å kjenne de mulige resultatene i forskjellige kombinasjoner av binære variabler, avhengig av operasjonen som er utført.

Sum (+)

OR- operatøren hvis logiske element er unionen (U) er definert for binære variabler som følger:

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 0 = 1

1 + 1 = 1

Produkt (.)

AND- operatøren hvis logiske element er krysset (∩) er definert for binære variabler som følger:

0. 0 = 0

0. 1 = 0

en . 0 = 0

en . 1 = 1

Motsatt (IKKE)

IKKE- operatøren hvis logiske element er komplementet (X) 'er definert for binære variabler som følger:

IKKE 0 = 1

IKKE 1 = 0

Mange av postulatene skiller seg fra sine kolleger i vanlig algebra. Dette skyldes domenet til variablene. For eksempel kan ikke legge til universeelementer i boolsk algebra (1 + 1) ikke gi det konvensjonelle resultatet av 2, fordi det ikke hører til elementene i det binære settet.

teoremer

Regel for null og enhet

Enhver enkel operasjon som involverer et element med de binære variablene, er definert:

0 + A = A

1 + A = 1

0. A = 0

en . A = A

Like krefter eller idempotency

Operasjoner mellom like variabler er definert som:

A + A = A

TIL . A = A

complementation

Enhver operasjon mellom en variabel og dens komplement er definert som:

A + IKKE A = 1

TIL . IKKE A = 0

Oppløsning eller dobbelt negasjon

Enhver dobbel negasjon vil bli betraktet som den naturlige variabelen.

IKKE (IKKE A) = A

kommutativ

A + B = B + A; Kommutativitet av summen.

TIL . B = B. TIL ; Produktets kommutativitet.

assosiativ

A + (B + C) = (A + B) + C = A + B + C; Assosiativiteten til summen.

TIL . (B. C) = (A. B). C = A. B. C; Produktassosiativitet.

distributive

A + (B. C) = (A + B). (A + C); Distribusjon av summen i forhold til produktet.

TIL . (B + C) = (A. B) + (A + C); Produktets distribusjon i forhold til summen.

Opptakslover

Det er mange absorpsjonslover blant flere referanser, noen av de mest kjente er:

TIL . (A + B) = A

TIL . (IKKE A + B) = A. B

IKKE A (A + B) = IKKE A. B

(A + B). (A + IKKE B) = A

A + A. B = A

A + IKKE A. B = A + B

IKKE A + A. B = IKKE A + B

TIL . B + A. IKKE B = A

Morgan's teorem

Det er transformasjonslover, som håndterer par variabler som samhandler mellom de definerte operasjonene av boolsk algebra (+.).

IKKE (A. B) = IKKE A + IKKE B

IKKE (A + B) = IKKE A. IKKE B

A + B = IKKE (IKKE A + IKKE B)

TIL . B = IKKE (IKKE A. IKKE B)

duality

Alle postulater og teoremer besitter dualitetens fakultet. Dette innebærer at ved å utveksle variabler og operasjoner, blir det resulterende forslaget bekreftet. Det vil si når du bytter 0 for 1 og AND for OR eller omvendt; det opprettes et uttrykk som også vil være fullstendig gyldig.

For eksempel hvis postulatet er tatt

en . 0 = 0

Og dualitet blir brukt

0 + 1 = 1

Et annet perfekt gyldig postulat oppnås.

Karnaugh kart

Karnaugh-kartet er et diagram som brukes i boolsk algebra for å forenkle logiske funksjoner. Den består av et todimensjonalt arrangement som ligner på sannhetstabellene i proposisjonell logikk. Dataene fra sannhetstabellene kan tas direkte på Karnaugh-kartet.

Karnaugh-kartet har plass til opptil 6 variabler. For funksjoner med et større antall variabler, anbefales bruk av programvare for å forenkle prosessen.

Forslaget ble foreslått i 1953 av Maurice Karnaugh, og ble etablert som et fast verktøy innen boolsk algebra, fordi implementeringen synkroniserer menneskelig potensial med behovet for å forenkle boolske uttrykk, et sentralt aspekt i flyt av digitale prosesser.

eksempler

Boolsk algebra brukes til å redusere logiske porter i en krets, der prioriteringen er å bringe kompleksiteten eller nivået til kretsen til sitt lavest mulige uttrykk. Dette skyldes beregningsforsinkelsen som hver gate antar.

I det følgende eksemplet vil vi observere forenklingen av et logisk uttrykk til dets minste uttrykk ved å bruke teoremer og postulater av boolsk algebra.

IKKE (AB + A + B). IKKE (A + IKKE B)

IKKE. IKKE (A + IKKE B); Factoring A med en felles faktor.

IKKE. IKKE (A + IKKE B); Etter setning A + 1 = 1.

IKKE (A + B). IKKE (A + IKKE B); av teorem A. 1 = A

(IKKE A. IKKE B). ;

Av Morgan's teorem NOT (A + B) = NOT A. IKKE B

(IKKE A. IKKE B). (IKKE A. B); Ved dobbelt negasjonsteorem NOT (NOT A) = A

IKKE A. IKKE B. IKKE A. B; Algebraisk gruppering.

IKKE A. IKKE A. IKKE B. B; Kommutativitet av produkt A. B = B. TIL

IKKE A. IKKE B. B; Av teorem A. A = A

IKKE A. 0; Av teorem A. IKKE A = 0

0; Av teorem A. 0 = 0

TIL . B. C + IKKE A + A. IKKE B. C

TIL . C. (B + IKKE B) + IKKE A; Factoring (A. C) med en felles faktor.

TIL . C. (1) + IKKE A; Av teorem A + NOT A = 1

TIL . C + IKKE A; Etter regel om null teorem og enhet 1. A = A

IKKE A + C ; Ved lov av Morgan A + NOT A. B = A + B

For denne løsningen må Morgan lov utvides til å definere:

IKKE (IKKE A). C + IKKE A = IKKE A + C

Fordi IKKE (IKKE A) = A ved involvering.

Forenkle logikkfunksjonen

IKKE A. IKKE B. IKKE C + IKKE A. IKKE B. C + IKKE A. IKKE C ned til sitt minste uttrykk

IKKE A. IKKE B. (IKKE C + C) + IKKE A. IKKE C; Factoring (IKKE A. IKKE B) med vanlig faktor

IKKE A. IKKE B. (1) + IKKE A. IKKE C; Av teorem A + NOT A = 1

(IKKE A. IKKE B) + (IKKE A. IKKE C); Etter regel om null teorem og enhet 1. A = A

IKKE A (IKKE B + IKKE C); Factoring IKKE A med en felles faktor

IKKE A. IKKE (B. C); Av Morgan lover IKKE (A. B) = IKKE A + IKKE B

IKKE I følge Morgans lover IKKE (A. B) = IKKE A + IKKE B

Et av de 4 alternativene med fet skrift representerer en mulig løsning for å redusere kretsnivået

Forenkle den logiske funksjonen til sin enkleste form

(A. IKKE B. C + A. IKKE B. B. D + IKKE A. IKKE B). C

(A. IKKE B. C + A. 0. D + IKKE A. IKKE B). C; Av teorem A. IKKE A = 0

(A. IKKE B. C + 0 + IKKE A. IKKE B). C; Av teorem A. 0 = 0

(A. IKKE B. C + IKKE A. IKKE B). C; Etter setning A + 0 = A

TIL . IKKE B. C. C + IKKE A. IKKE B. C; Ved distribusjon av produktet med hensyn til summen

TIL . IKKE B. C + IKKE A. IKKE B. C; Av teorem A. A = A

IKKE B. C (A + IKKE A) ; Factoring (IKKE B. C) med vanlig faktor

IKKE B. C (1); Av teorem A + NOT A = 1

IKKE B. C; Etter regel om null teorem og enhet 1. A = A

referanser

1. Boolsk algebra og dens anvendelser J. Eldon Whitesitt. Continental Publishing Company, 1980.
2. Matematikk og ingeniørfag i informatikk. Christopher J. Van Wyk. Institutt for informatikk og teknologi. National Bureau of Standards. Washington, DC 20234
3. Matematikk for informatikk. Eric Lehman. Google Inc.
   F Thomson Leighton Institutt for matematikk og informatikk og AI-laboratoriet, Massachussetts Institute of Technology; Akamai Technologies.
4. Elements of Abstract Analysis. Mícheál O'Searcoid PhD. Institutt for matematikk. University College Dublin, Beldfield, Dublind.
5. Introduksjon til logikk og metodikken til deduktive vitenskaper. Alfred Tarski, New York, Oxford. Oxford University press.