TREKANTER: HISTORIE, ELEMENTER, KLASSIFISERING, EGENSKAPER - VITENSKAP - 2026

De trekanter er flat og lukkede geometriske figurer, som består av tre sider. En trekant bestemmes av tre linjer som skjærer hverandre i to, og danner tre vinkler med hverandre. Den trekantede formen, full av symbolikk, er til stede i utallige objekter og som et konstruksjonselement.

Trekantens opprinnelse går tapt i historien. Fra det arkeologiske beviset er det kjent at den primitive menneskeheten kjente det godt, ettersom de arkeologiske levningene bekrefter at den ble brukt i verktøy og våpen.

Figur 1. Trekanter. Kilde: Publicdomainpictures.

Det er også tydelig at de gamle egypterne hadde en solid kunnskap om geometri og særlig den trekantede formen. De gjenspeiles i de arkitektoniske elementene i de monumentale bygningene.

I Rhind papyrus finner du formler for beregning av områdene med trekanter og trapezoider, samt noen volumer og andre begreper om rudimentær trigonometri.

For deres del er det kjent at babylonerne var i stand til å beregne arealet av trekanten og andre geometriske figurer, som de brukte til praktiske formål, for eksempel deling av landet. De var også kunnskapsrike om mange egenskaper ved trekanter.

Imidlertid var det de gamle grekerne som systematiserte mange av de geometriske begrepene som var rådende i dag, selv om mye av denne kunnskapen ikke var eksklusiv, siden den sikkert ble delt med disse andre eldgamle sivilisasjonene.

Trekantelementer

Elementene i hvilken som helst trekant er angitt i den følgende figuren. Det er tre: toppunkt, sider og vinkler.

Figur 2. Notasjon av trekanter og deres elementer. Kilde: Wikimedia Commons, modifisert av F. Zapata

-Vertices : er skjæringspunktene mellom linjene hvis segmenter bestemmer trekanten. I figuren over skjærer for eksempel linjen L _AC som inneholder segmentet AC, linjen L _AB som inneholder segmentet AB nøyaktig i punkt A.

- Sider : mellom hvert par av toppunktene tegnes et linjesegment som utgjør den ene siden av trekanten. Dette segmentet kan betegnes med sluttbokstavene eller ved å bruke en bestemt bokstav for å kalle det. I eksemplet i figur 2 kalles side AB også "c".

- Vinkler : Mellom hver side med en vanlig toppunkt oppstår en vinkel, hvis toppunkt sammenfaller med trekantens. Generelt angis vinkelen med en gresk bokstav, som det ble sagt i begynnelsen.

For å bygge en bestemt trekant, med en gitt form og størrelse, har du bare ett av følgende datasett:

-De tre sidene, ganske åpenbare når det gjelder en trekant.

-To sider og vinkelen mellom dem, og straks tegnes den gjenværende siden.

-To (indre) vinkler og siden mellom dem. I forlengelse av trekkes de to manglende sidene og trekanten er klar.

Notasjon

Generelt i trekantnotering brukes følgende konvensjoner: vertekser er angitt med store bokstaver, sider med små bokstaver og vinkler med greske bokstaver (se figur 2).

På denne måten blir trekanten navngitt i henhold til hjørnene. For eksempel er trekanten til venstre i figur 2 trekant ABC, og den til høyre er trekant A'B'C.

Det er også mulig å bruke andre notasjoner; for eksempel er vinkelen a i figur 2 betegnet som BAC. Legg merke til at bokstaven i toppunktet går i midten og bokstavene er skrevet i retning mot klokken.

Andre ganger brukes en vogn for å betegne vinkelen:

α = ∠A

Typer trekanter

Det er flere kriterier for klassifisering av trekanter. Det mest vanlige er å klassifisere dem etter mål på sidene deres eller etter målene på deres vinkler. Avhengig av mål på sidene, kan trekantene være: skalaer, isosceles eller sidelignende:

-Scaleno : de tre sidene er forskjellige.

-Isósceles : den har to like sider og en annen side.

-Equilátero : de tre sidene er like.

Figur 3. Klassifisering av trekanter ved deres sider. Kilde: F. Zapata

I henhold til målet på vinklene deres, blir trekantene navngitt slik:

- Hindring , hvis en av de indre vinklene er større enn 90º.

- Akutt vinkel , når de tre indre vinklene i trekanten er akutte, det vil si mindre enn 90º

- Rektangel , hvis en av de indre vinklene er verdt 90º. Sidene som danner 90º kalles ben, og siden motsatt rett vinkel er hypotenusen.

Figur 4. Klassifisering av trekanter etter deres indre vinkler. Kilde: F. Zapata.

Kongruens av trekanter

Når to trekanter har samme form og har samme størrelse, sies de å være kongruente. Selvfølgelig er kongruens relatert til likhet, så hvorfor snakker geometri om "to kongruente trekanter" i stedet for "to like trekanter"?

Vel, det er foretrukket å bruke begrepet "kongruens" for å holde seg til sannheten, siden to trekanter kan ha samme form og størrelse, men være orientert annerledes i planet (se figur 3). Med tanke på geometri ville de ikke lenger være de samme.

Figur 5. Kongruente trekanter, men ikke nødvendigvis like, siden deres orientering i planet er forskjellig. Kilde: F. Zapata.

Kongruensskriterier

To trekanter er kongruente hvis noe av følgende oppstår:

-De tre sidene måler det samme (igjen er dette det mest åpenbare).

-De har to identiske sider og med samme vinkel mellom seg.

-Både har to identiske indre vinkler, og siden mellom disse vinklene måler det samme.

Som det fremgår, handler det om at de to trekantene oppfyller de nødvendige forholdene, slik at når de er bygd, er deres form og størrelse nøyaktig den samme.

Kongruenskriteriene er veldig nyttige, siden utallige deler og mekaniske deler i praksis må produseres i serie, på en slik måte at deres målinger og form er nøyaktig de samme.

Likhet mellom trekanter

En trekant ligner en annen hvis de har samme form, selv om de har forskjellige størrelser. For å sikre at formen er den samme, kreves det at de indre vinklene har samme verdi og at sidene er proporsjonale.

Figur 6. To like trekanter: Størrelsene deres er forskjellige, men proporsjonene er de samme. Kilde: F. Zapata.

Trekantene i figur 2 er også like, som i figur 6. På denne måten:

Når det gjelder sidene, har følgende likhetsforhold:

Egenskaper

De grunnleggende egenskapene til trekanter er som følger:

-Summen av de indre vinklene i en hvilken som helst trekant er alltid 180º.

-For en hvilken som helst trekant er summen av ytre vinkler lik 360 °.

- En ekstern vinkel på en trekant er lik summen av de to innvendige vinklene som ikke ligger i tilknytning til nevnte vinkel.

teoremer

Thales 'første teorem

De tilskrives den greske filosofen og matematikeren Thales of Miletus, som utviklet flere teoremer relatert til geometri. Den første av dem sier følgende:

Figur 7. Thales 'teorem. Kilde: F. Zapata.

Med andre ord:

a / a´ = b / b´ = c / c´

Thales 'første teorem gjelder for en trekant, for eksempel har vi den blå trekanten ABC til venstre, som er skåret av de røde parallellene til høyre:

Figur 8. Thales 'teorem og lignende trekanter.

Den fiolette trekanten AB'C 'ligner den blå trekanten ABC, derfor kan følgende ifølge Thales' teorem skrives:

AB´ / AC´ = AB / AC

Og det er i samsvar med det som tidligere ble forklart i segmentet for likheten mellom trekanter. For øvrig kan parallelle linjer også være vertikale eller parallelle med hypotenusen og lignende trekanter oppnås på samme måte.

Thales 'andre teorem

Dette teoremet viser også til en trekant og en sirkel med sentrum O, slik som de som er vist nedenfor. I denne figuren er AC en diameter på omkretsen, og B er et punkt på den, B er forskjellig fra A og B.

Thales 'andre teorem sier at:

Figur 9. Thales 'andre teorem. Kilde: Wikimedia Commons. Inductiveload.

Det pytagoreiske teoremet

Dette er en av de mest kjente teoremene i historien. Det skyldes den greske matematikeren Pythagoras fra Samos (569 - 475 f.Kr.) og er gjeldende for en høyre trekant. Sier det slik:

Hvis vi tar som eksempel den blå trekanten i figur 8, eller den lilla trekanten, siden begge er rektangler, kan det sies at:

AC ² = AB ² + BC ² (blå trekant)

AC´ ² = AB´ ² + BC´ ² (lilla trekant)

Arealet av en trekant

Arealet av trekanten er gitt av produktet fra basen a og dens høyde h, delt med 2. Og ved trigonometri kan denne høyden skrives som h = b sinθ.

Figur 10. Arealet av trekanten. Kilde: Wikimedia Commons.

Eksempler på trekanter

Eksempel 1

Det sies at ved hjelp av hans første teorem, klarte Thales å måle høyden på den store pyramiden i Egypt, et av de 7 underverkene i den eldgamle verden, ved å måle skyggen den projiserte på bakken og skyggen projisert av en stav drevet ned i bakken.

Dette er omrisset av prosedyren fulgt av Tales:

Figur 11. Skjema for å måle høyden på den store pyramiden etter likhet med trekanter. Kilde: Wikimedia Commons. dake

Thales antok riktig at solstrålene slår parallelt. Med dette i tankene, forestilte han seg den store høyre trekanten til høyre.

Der D er pyramidens høyde og C er avstanden over bakken målt fra sentrum til skyggen som pyramiden støpte på ørkenbunnen. Å måle C kan være arbeidskrevende, men det er absolutt enklere enn å måle høyden på pyramiden.

På venstre side er den lille trekanten, med bena A og B, der A er høyden på staven som er drevet vertikalt ned i bakken og B er skyggen den kaster. Begge lengder er målbare, som C (C er lik lengden på skyggen + halvparten av pyramiden).

Så, på lik linje med trekanter:

A / B = D / C

Og høyden på den store pyramiden viser seg å være: D = C. (A / B)

Eksempel 2

Takstolene i sivil konstruksjon er strukturer laget av tynne rette stenger av tre eller metall krysset, som brukes som støtte i mange bygninger. De er også kjent som takstoler, takstoler eller takstoler.

I dem er trekantene alltid til stede, ettersom stengene er sammenkoblet på punkter som kalles noder, som kan fikses eller leddes.

Figur 12. Trekanten er til stede i rammen av denne broen. Kilde: PxHere.

Eksempel 3

Metoden kjent som triangulering gjør det mulig å oppnå plasseringen av utilgjengelige punkter ved å kjenne til andre avstander som er lettere å måle, forutsatt at det dannes en trekant som inkluderer det ønskede stedet mellom hjørnene.

For eksempel, i den følgende figuren ønsker vi å vite hvor skipet befinner seg i sjøen, betegnet som B.

Figur 13. Trianguleringsplan for å lokalisere skipet. Kilde: Wikimedia Commons. Colette

Først måles avstanden mellom to punkter ved kysten, som på figuren er A og C. Deretter må vinklene α og β bestemmes ved hjelp av en teodolit, et apparat som brukes til å måle vertikale og horisontale vinkler.

Med all denne informasjonen er en trekant bygget i hvis øvre toppunkt er skipet. Det gjenstår å beregne vinkelen γ ved å bruke egenskapene til trekantene og avstandene AB og CB ved hjelp av trigonometri, for å bestemme skipets plassering i havet.

Øvelser

Oppgave 1

I figuren vist er solstrålene parallelle. På denne måten kaster det 5 meter høye treet en 6 meter lang skygge på bakken. På samme tid er skyggen av bygningen 40 meter. Etter Thales 'første teorem, finn høyden på bygningen.

Figur 14. Ordning for den løste øvelsen 1. Kilde: F. Zapata.

Løsning

Den røde trekanten har sider på henholdsvis 5 og 6 meter, mens den blå har høyde H - bygningens høyde - og base 40 meter. Begge trekanter er like, derfor:

Oppgave 2

Du må kjenne den horisontale avstanden mellom to punkt A og B, men de er plassert på veldig ujevn grunn.

Omtrent ved midtpunktet (P _m ) i nevnte terreng, skiller seg en prominens på 1,75 meter høyt ut. Hvis målebåndet indikerer 26 meters lengde målt fra A til prominensen, og 27 meter fra B til samme punkt, finn avstanden AB.

Figur 15. Ordning for den løste øvelsen 2. Kilde: Jiménez, R. Mathematics II. Geometri og trigonometri.

Løsning

Pythagorean-teoremet brukes på en av de to høyre trekantene i figuren. Begynn med den til venstre:

Hypotenuse = c = 26 meter

Høyde = a = 1,75 meter

AP _m = (26 ² - 1,75 ² ) ^1/2 = 25,94 moh

Påfør nå Pythagoras i trekanten til høyre, denne gangen c = 27 meter, a = 1,75 meter. Med disse verdiene:

BP _m = (27 ² - 1,75 ² ) ^1/2 = 26,94 moh

Avstanden AB blir funnet ved å legge til disse resultatene:

AB = 25,94 m + 26,94 m = 52,88 moh.

referanser

1. Baldor, JA 1973. Plane and Space Geometry. Mellomamerikansk kultur.
2. Barredo, D. Geometrien til trekanten. Gjenopprettet fra: ficus.pntic.mec.es.
3. Jiménez, R. 2010. Matematikk II. Geometri og trigonometri. Andre utgave. Pearson.
4. Wentworth, G. Plane Geometry. Gjenopprettet fra: gutenberg.org.
5. Wikipedia. Triangel. Gjenopprettet fra: es. wikipedia.org.