SFÆRISKE KOORDINATER: EKSEMPLER OG LØSTE ØVELSER - MATTE - 2025

De sfæriske koordinatene er et sett med stedspunkter i tredimensjonalt rom som består av en radiell koordinat og to kantete koordinater kalt polarkoordinat og azimutalkoordinat.

Figur 1, som vi ser nedenfor, viser de sfæriske koordinatene (r, θ, φ) til et punkt M. Disse koordinatene er referert til et ortogonalt system av kartesiske akser X, Y, Z med opprinnelse O.

Figur 1. Sfæriske koordinater (r, θ, φ) til et punkt M. (wikimedia commons)

I dette tilfellet er koordinaten r for punkt M avstanden fra dette punktet til opprinnelsen O. Den polare koordinaten θ representerer vinkelen mellom den positive halvaksen Z og radiusvektoren OM. Mens azimutalkoordinaten φ er vinkelen mellom den positive halvaksen X og radiusvektoren OM ', hvor M' er den ortogonale projeksjonen til M på XY-planet.

Den radielle koordinaten r tar bare positive verdier, men hvis et punkt befinner seg ved opprinnelsen så er r = 0. Den polare koordinaten θ tar som en minimumsverdi 0º for punkter plassert på den positive halvaksen Z og en maksimal verdi 180º for punktene er lokalisert på den negative halvaksen Z. Til slutt tar den azimutalkoordinaten φ som en minimumsverdi 0º og en maksimal høyde på 360º.

0 ≤ r <∞

0 ≤ θ ≤ 180º

0 ≤ φ <360º

Endring av koordinater

Deretter vil formlene som tillater oppnåelse av de kartesiske koordinatene (x, y, z) til et punkt M bli gitt under forutsetning av at de sfæriske koordinatene til det samme (r, θ, φ) punktet er kjent:

x = r Sen (θ) Cos (φ)

y = r Sen (θ) Sen (φ)

z = r Cos (θ)

På samme måte er det nyttig å finne forholdene til å gå fra de kartesiske koordinatene (x, y, z) til et gitt punkt til de sfæriske koordinatene til nevnte punkt:

r = √ (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2)

θ = Arctan (√ (x ^ 2 + y ^ 2) / z)

φ = Arctan (y / x)

Vektorbase i sfæriske koordinater

Fra de sfæriske koordinatene er det definert en ortonormal basis av basisvektorer, som er betegnet med Ur , Uθ , Uφ . I figur 1 er disse tre enhetsvektorene vist, som har følgende egenskaper:

- Ur er enhetsvektoren tangens til den radielle linjen θ = ctte og φ = ctte;

- Uθ er enhetsvektoren tangens til buen φ = ctte og r = ctte;

- Uφ er enhetsvektoren tangens til buen r = ctte og θ = ctte.

Linje- og volumelementer i sfæriske koordinater

Posisjonsvektoren til et punkt i rommet i sfæriske koordinater er skrevet slik:

r = r Ur

Men en uendelig variasjon eller forskyvning av et punkt i tredimensjonalt rom, i disse koordinatene, kommer til uttrykk ved følgende vektorrelasjon:

d r = dr Ur + r dθ Uθ + r Sen (θ) d φ Uφ

Til slutt skrives et uendelig volum dV i sfæriske koordinater slik:

dV = r ^ 2 Sen (θ) dr dθ dφ

Disse forholdene er veldig nyttige for beregning av linje- og volumintegraler i fysiske situasjoner som har sfærisk symmetri.

Forhold til geografiske koordinater

Geografiske koordinater forstås som de som tjener til å lokalisere steder på jordoverflaten. Dette systemet bruker koordinatene for breddegrad og lengdegrad for å lokalisere posisjonen på jordoverflaten.

I det geografiske koordinatsystemet antas jordoverflaten å være sfærisk med radius Rt, selv om det er kjent å være flatet ved polene, og et sett med imaginære linjer kalt paralleller og meridianer.

Figur 2. Lengdegrad α og breddegrad β av en observatør på jordoverflaten.

Breddegraden β er en vinkel dannet av en radius som starter fra midten av jorden til det punktet du vil plassere. Det måles fra ekvatorialplanet, som vist i figur 2. På den annen side er lengdegraden α vinkelen som meridianen til punktet som befinner seg, danner i forhold til nullmeridianen (kjent som Greenwich-meridianen).

Breddegraden kan være nord- eller sør-breddegraden, avhengig av om stedet du befinner deg er på den nordlige halvkule eller på den sørlige halvkule. Tilsvarende kan lengdegraden være vest eller øst avhengig av om beliggenheten er vest eller øst for nullmeridianen.

Formler for å endre fra geografisk til sfærisk

For å få disse formlene er det første å etablere et koordinatsystem. XY-planet er valgt for å sammenfalle med ekvatorialplanet, hvor den positive X-halvaksen er den som går fra jordens sentrum og går gjennom nullmeridianen. I sin tur passerer Y-aksen gjennom meridianen 90 ° E. Jordoverflaten har en radius Rt.

Med dette koordinatsystemet ser transformasjonene fra geografisk til sfærisk slik ut:

αEβN → (Rt, θ = 90º-β, φ = α)

αOβN → (Rt, θ = 90º-β, φ = 360º-α)

αEβS → (Rt, θ = 90º + β, φ = α)

αOβS → (Rt, θ = 90º + β, φ = 360º-α)

eksempler

Eksempel 1

De geografiske koordinatene til Palma de Mallorca (Spania) er:

Øst-lengdegrad 38.847º og North Latitude 39.570º. For å bestemme de sfæriske koordinatene som tilsvarer Palma de Mallorca, brukes den første av formlene til formlene i forrige seksjon:

38.847ºE39.570ºN → (r = 6371 km, θ = 90º-39.570º, φ = 38.847º)

Så de sfæriske koordinatene er:

Palma de Mallorca: (r = 6371 km, θ = 50,43 º, φ = 38,85º)

I forrige svar har r blitt tatt lik jordens gjennomsnittlige radius.

Eksempel 2

Når du vet at Malvinas (Falkland) øyene har geografiske koordinater på 59ºO 51,75ºS, bestemmer de tilsvarende polare koordinatene. Husk at X-aksen går fra midten av jorden til 0º meridianen og på ekvatorialplanet; Y-aksen også i ekvatorialplanet og går gjennom 90 ° vest-meridianen; til slutt Z-aksen på jordas rotasjonsakse i sør-nord retning.

For å finne de tilsvarende sfæriske koordinatene bruker vi formlene presentert i forrige avsnitt:

59ºO 51,75ºS → (r = 6371 km, θ = 90º + 51,75º, φ = 360º-59º) som er

Malvinas: (r = 6371 km, θ = 141.75º, φ = 301º)

Øvelser

Oppgave 1

Finn de kartesiske koordinatene til Palma de Mallorca i XYZ kartesiske referansesystem vist i figur 2.

Løsning: Tidligere, i eksempel 1, ble de sfæriske koordinatene oppnådd fra de geografiske koordinatene til Palma de Mallorca. Så formlene presentert ovenfor kan brukes til å gå fra sfærisk til kartesisk:

x = 6371 km Sen (50,43 º) Cos (38,85 º)

y = 6371 km Sen (50,43 º) Sen (38,85 º)

z = 6371 km Cos (50,43 º)

Utføre de tilsvarende beregningene vi har:

Palma de Mallorca: (x = 3825 km, y = 3081 km, z = 4059)

Oppgave 2

Finn de kartesiske koordinatene til Falklandsøyene i XYZ kartesiske referansesystem vist i figur 2.

Løsning: Tidligere, i eksempel 2, ble de sfæriske koordinatene oppnådd fra de geografiske koordinatene til Malvinas-øyene. Så formlene presentert ovenfor kan brukes til å gå fra sfærisk til kartesisk:

x = 6371 km Sen (141,75º) Cos (301º)

y = 6371 km Sen (141,75º) Sen (301º)

z = 6371 km Cos (141,75º)

Ved å utføre de tilsvarende beregningene, får vi:

Falklandsøyene: (x = 2031 km, y = -3381 km, z = -5003)

referanser

1. Arfken G og Weber H. (2012). Matematiske metoder for fysikere. En omfattende guide. 7. utgave. Academic Press. ISBN 978-0-12-384654-9
2. Beregning cc. Løst problemer med sylindriske og sfæriske koordinater. Gjenopprettet fra: calculo.cc
3. Astronomiverksted. Breddegrad og lengdegrad. Gjenopprettet fra: tarifamates.blogspot.com/
4. Weisstein, Eric W. "Sfæriske koordinater." Fra MathWorld-A Wolfram Web. Gjenopprettet fra: mathworld.wolfram.com
5. wikipedia. Sfærisk koordinatsystem. Gjenopprettet fra: en.wikipedia.com
6. wikipedia. Vektorfelt i sylindriske og sfæriske koordinater. Gjenopprettet fra: en.wikipedia.com