DIAMETER: SYMBOLER OG FORMLER, HVORDAN FÅ DET, OMKRETS - MATTE - 2025

Den diameter er den rette linje som passerer gjennom sentrum av en lukket flat kurve eller et tall i to eller tre dimensjoner, og som også slutter seg til dens motsatte punkter. Det er vanligvis en sirkel (en flat kurve), en sirkel (en flat figur), en kule eller en høyre sirkulær sylinder (tredimensjonale gjenstander).

Selv om omkrets og sirkel vanligvis tas som synonymer, er det en forskjell mellom de to begrepene. Omkretsen er den lukkede kurven som omslutter sirkelen, som oppfyller betingelsen om at avstanden mellom noen av punktene og sentrum er den samme. Denne avstanden er ingen ringere enn omkretsens radius. I stedet er sirkelen en flat figur avgrenset av omkretsen.

Figur 1. Diameteren til sykkelhjul er en viktig funksjon i utformingen av dem. Kilde: Pixabay.

Når det gjelder omkrets, sirkel og kule, er diameteren et rett segment som inneholder minst tre punkter: sentrum pluss to punkter på kanten av omkretsen eller sirkelen, eller overflaten av sfæren.

Og når det gjelder den høyre sirkulære sylinderen, refererer diameteren til tverrsnittet, som sammen med høyden er dets to karakteristiske parametere.

Omkretsens og sirkelens diameter, symbolisert med ø eller ganske enkelt bokstaven “D” eller “d”, er relatert til dens omkrets, kontur eller lengde, som er betegnet med bokstaven L:

L = π.D = π. eller

Så lenge det er en omkrets, er kvoten mellom dens lengde og diameter det irrasjonelle tallet π = 3.14159…, slik:

π = L / D

Hvordan få diameteren?

Når du har tegningen av omkretsen eller sirkelen, eller direkte den sirkulære gjenstanden, for eksempel en mynt eller en ring, for eksempel, er det veldig enkelt å finne diameteren med en linjal. Du må bare sørge for at linjens kant berører to punkter på omkretsen og midten av den samtidig.

En tykkelse, vernier eller tykkelse er veldig egnet for å måle ytre og indre diametre på mynter, bøyler, ringer, muttere, rør og mer.

Figur 2. Digital vernier som måler diameteren til en mynt. Kilde: Pixabay.

Hvis vi i stedet for objektet eller tegningen har data som radius R, så multipliserer vi med 2 har vi diameteren. Og hvis lengden eller omkretsen av omkretsen er kjent, kan diameteren også bli kjent ved å tømme:

En annen måte å finne diameteren er ved å kjenne området til sirkelen, den sfæriske overflaten, tverrsnittet av sylinderen, det krumme området til sylinderen eller volumene til sfæren eller sylinderen. Det kommer an på hvilken geometrisk figur det er. For eksempel er diameter involvert i følgende områder og volumer:

-Sirkelsrearea : π. (D / 2) ²
-rea på den sfæriske overflaten : 4π. (D / 2) ²
-Volum av sfæren : (4/3) π. (D / 2) ^3-
Volum av sfæren høyre sirkulær sylinder : π. (D / 2) ^2. H (H er sylinderens høyde)

Tall med konstant bredde

Sirkelen er en flat figur med konstant bredde, siden uansett hvor du ser på den, er bredden diameter D. Det er imidlertid andre kanskje mindre kjente figurer som også er konstant.

La oss først se hva som forstås av bredden på en figur: det er avstanden mellom to parallelle linjer - støttelinjer - som igjen er vinkelrett på den gitte retningen og som fengsler figuren, som vist i venstre bilde:

Figur 3. Bredde på en hvilken som helst flat figur (til venstre) og Reuleaux trekant, en figur med konstant bredde (til høyre). Kilde: F. Zapata.

Ved siden av høyre er Reuleaux-trekanten, som er en figur med konstant bredde og som oppfyller tilstanden som er spesifisert i venstre figur. Hvis bredden på figuren er D, blir dens omkrets gitt av Barbier's teorem:

L = π.D

Kloakkene i byen San Francisco i California er formet som en Reuleaux-trekant, oppkalt etter den tyske ingeniøren Franz Reuleaux (1829 - 1905). På denne måten kan ikke lokkene falle gjennom hullet og mindre materiale brukes til å produsere dem, siden deres område er mindre enn sirkelen:

A = (1- √3) .πD ² = 0,705.D ²

Mens for en sirkel:

A = π. (D / 2) ² = (π / 4) D ² = 0,785. D ²

Men denne trekanten er ikke det eneste tallet med konstant bredde. Du kan bygge de såkalte Reuleaux-polygonene med andre polygoner som har et ulikt antall sider.

Omkrets diameter

I den neste figuren er elementene i sirkelen, definert som følger:

Akkord : linjesegment som blir sammen med to punkter på omkretsen. På figuren er akkorden som blir sammen med punktene C og D, men det kan tegnes uendelige akkorder som blir sammen med ethvert par par på omkretsen.

Diameter : det er akkorden som passerer gjennom sentrum, og forbinder to punkter i omkretsen med sentrum O. Det er den lengste akkorden til en omkrets, av den grunn kalles den "hovedakkorden".

Radius : linjesegment som forbinder sentrum med ethvert punkt på omkretsen. Verdien, som diameteren, er konstant.

Omkrets : det er settet med alle punkter like langt fra O.

Bue : det er definert som et omkretssegment avgrenset av to radier (ikke tegnet i figuren).

Figur 4. Deler av omkretsen, inkludert diameteren, som passerer gjennom midten. Kilde: Wikimedia Commons.

- Eksempel 1

Rektanglet som er vist er 10 tommer høyt, som når det rulles danner en høyre sirkulær sylinder hvis diameter er 5 tommer. Svar på følgende spørsmål:

Figur 5. Et rullet rektangel blir en høyre sirkulær sylinder. Kilde: Jiménez, R. Mathematics II. Geometri og trigonometri. Andre. Edition. Pearson.

a) Hva er kontur av røret?
b) Finn rektanglets område
c) Finn tverrsnittsarealet til sylinderen.

Løsning på

Rissets kontur er L = π.D = 5π in = 15,71 in.

Løsning b

Området til rektangelet er base x høyde, med base L allerede beregnet, og høyden er 10 tommer i henhold til utsagnet, derfor:

A = 15,71 i x 10 in = 157,1 i ² .

Løsning c

Til slutt beregnes det forespurte området slik:

A = π. (D / 2) ² = (π / 4) D ² = (π / 4) x (5 in.) ² = 19.63 in . ² .

- Eksempel 2

Beregn det skyggelagte området i figur 5a. Plassen har side L.

Figur 6. Finn det skyggelagte området i venstre figur. Jiménez, R. Matematikk II. Geometri og trigonometri. Andre. Edition. Pearson.

Løsning

I figur 5b er to halvsirkler av samme størrelse tegnet i rosa og blått, lagt på den opprinnelige figuren. Mellom dem lager de en komplett sirkel. Hvis du finner området med kvadratet og trekker fra sirkelområdet, lager du det skyggelagte området i figur 5b. Og ser nøye på, viser det seg at det er halvparten av det skyggelagte området i 5a.

-Kvart område: L ²
-Diameter av halvcirkel: L
-Sirkulærrea: π. (L / 2) ² = (π / 4) L ²
-Differens av områder = halvparten av skyggelagt område =

L ² - (π / 4) L ² = L ² = 0,2146 L ²

-Skygget område = 2 x 0,2146 L ² = 0,4292L2

Hvor mange diametre har en omkrets?

Du kan tegne uendelige diametre på en sirkel, og alle av dem måler det samme.

referanser

1. Antonio. Reuleaux-trekanter og andre kurver med konstant bredde. Gjenopprettet fra: divulgators.com.
2. Baldor, A. 2002. Plane and Space Geometry and Trigonometry. Patria kulturgruppe.
3. Jiménez, R. Matematikk II. Geometri og trigonometri. Andre. Edition. Pearson.
4. Wikipedia. Reuleaux trekant. Gjenopprettet fra: es.wikipedia.org.
5. Wolfram MathWorld. Diameter. Gjenopprettet fra: mathworld.wolfram.com.