STEINERS TEOREM: FORKLARING, APPLIKASJONER, ØVELSER - FYSISK - 2025

Den Steiner 's teorem , også kjent som parallellakseteoremet, for å vurdere treghetsmomentet for en utvidet legeme, om en akse som er parallell med en annen som passerer gjennom massesenteret til objektet.

Det ble oppdaget av den sveitsiske matematikeren Jakob Steiner (1796 - 1863) og sier følgende: la I _{CM være} treghetsmomentet til objektet med hensyn til en akse som passerer gjennom massesenteret CM og I _z treghetsmomentet i forhold til en annen akse parallelt med dette.

Figur 1. En rektangulær dør som roterer på hengslene har et treghetsmoment som kan beregnes ved å bruke Steiners teorem. Kilde: Pixabay.

Når du kjenner til avstanden D som skiller begge aksene og massen M av det aktuelle legeme, er treghetsmomentet med hensyn til den ukjente aksen:

Treghetsmoment indikerer hvor lett det er for et objekt å rotere rundt en viss akse. Det avhenger ikke bare av massen på kroppen, men av hvordan den distribueres. Av denne grunn er det også kjent som rotasjonsmoment, som er enhetene i det internasjonale systemet Kg. m ² .

Teoremet viser at treghetsmomentet I _z alltid er større enn treghetsmomentet I _CM med en mengde gitt av MD ² .

applikasjoner

Siden et objekt er i stand til å rotere rundt mange akser, og i tabellene vanligvis bare gis treghetsmomentet med hensyn til aksen som går gjennom centroid, letter Steiner's teorem beregningen når det er nødvendig å rotere legemer på akser som ikke stemmer overens med dette.

For eksempel roterer en dør vanligvis ikke rundt en akse gjennom massesenteret, men om en sideakse, der hengslene fester seg.

Ved å kjenne til treghetsmomentet er det mulig å beregne den kinetiske energien assosiert med rotasjonen om aksen. Hvis K er den kinetiske energien, i treghetsmomentet rundt den aktuelle aksen og ω vinkelhastigheten, følger det at:

Denne ligningen er veldig lik den meget kjente formelen for kinetisk energi for et objekt med masse M som beveger seg med hastigheten v: K = ½ Mv ² . Og det er at øyeblikket med treghet eller rotasjonsmoment I spiller den samme rollen i rotasjonen som massen M i oversettelsen.

Bevis for Steiners teorem

Treghetsmomentet til et utvidet objekt er definert som:

I = ∫ r ² dm

Hvor dm er en uendelig masse av massen og r er avstanden mellom dm og rotasjonsaksen z. I figur 2 krysser denne aksen sentrum av massen CM, men den kan være hvilken som helst.

Figur 2. Et objekt utvidet i rotasjon rundt to parallelle akser. Kilde: F. Zapata.

Rundt en annen z 'akse er treghetsmomentet:

I _z = ∫ (r ') ² dm

I henhold til trekanten dannet av vektorene D , r og r ' (se figur 2 til høyre), er det en vektorsum:

r + r ' = D → r' = D - r

De tre vektorene ligger på objektets plan, som kan være xy. Opprinnelsen til koordinatsystemet (0,0) er valgt i CM for å lette beregningene som følger.

På denne måten er den kvadratiske modulen til vektoren r ' :

Nå er denne utviklingen erstattet i integralen av treghetsmomentet I _z, og også definisjonen av tetthet dm = ρ.dV brukes:

Begrepet M. D ² som vises i Steiners teorem kommer fra den første integralen, den andre er treghetsmomentet med hensyn til aksen som går gjennom CM.

For deres del er tredje og fjerde integral verdt 0, siden de per definisjon utgjør stillingen til CM, som er valgt som opprinnelse til koordinatsystemet (0,0).

Løste øvelser

-Løst øvelse 1

Den rektangulære døren i figur 1 har en masse på 23 kg, 1,30 bred og 2,10 m høy. Bestem treghetsmomentet til døren med hensyn til aksen som går gjennom hengslene, forutsatt at døren er tynn og jevn.

Figur 3. Skjematisk for arbeidet eksempel 1. Kilde: modifisert fra Pixabay.

Løsning

Fra en tabell med treghetsmomenter, for en rektangulær plate med masse M og dimensjoner a og b, er treghetsmomentet med hensyn til aksen som går gjennom massesenteret: I _CM = (1/12) M (a ² + b ² ).

En homogen port vil antas (en tilnærming, siden porten i figuren antagelig ikke er slik). I et slikt tilfelle passerer massesenteret gjennom det geometriske sentrum. På figur 3 er det trukket en akse som går gjennom massesenteret og er også parallell med aksen som går gjennom hengslene.

I _CM = (1/12) x 23 kg x (1,30 ² +2,10 ² ) m ² = 11,7 kg.m ²

Bruke Steiners teorem for den grønne rotasjonsaksen:

I = I _CM + MD ² = 11,7 kg.m ² + 23 kg x 0,662 m ² = 21,4 kg.

-Løst øvelse 2

Finn treghetsmomentet til en homogen tynn stang når den roterer om en akse som går gjennom en av endene, se figur. Er det større eller mindre enn treghetsmomentet når det roterer rundt sentrum? Hvorfor?

Figur 4. Skjema for det løste eksemplet 2. Kilde: F. Zapata.

Løsning

I følge tabellen over treghetsmomenter er treghetsmomentet I _CM til en tynn stang med masse M og lengde L: I _CM = (1/12) ML ²

Og Steiners teorem sier at når det roteres rundt en akse som går gjennom den ene enden D = L / 2, blir det:

Den er større, men ikke bare to ganger, men 4 ganger mer, siden den andre halvdelen av stangen (ikke skyggelagt på figuren) roterer og beskriver en større radius.

Påvirkningen av avstanden til rotasjonsaksen er ikke lineær, men kvadratisk. En masse som er dobbelt så stor som en annen vil ha treghetsmoment proporsjonalt med (2D) ² = 4D ² .

referanser

1. Bauer, W. 2011. Fysikk for ingeniørvitenskap og vitenskap. Bind 1. Mc Graw Hill. 313-340.
2. Georgia State University. Rotasjonsbevegelse. Gjenopprettet fra: phys.nthu.edu.tw.
3. Parallell aksestorem. Gjenopprettet fra: hyperphysics.phy-astr.gsu.edu.
4. Rex, A. 2011. Fundamentals of Physics. Pearson. 190-200.
5. Wikipedia. Parallellakssetning. Gjenopprettet fra: en.wikipedia.org