ELLIPSOID: KJENNETEGN OG EKSEMPLER - ARTE - 2025

Den ellipsoide er en overflate på plass som tilhører gruppen av andregradsflate overflater og hvis generelle ligning er av formen:

Det er den tredimensjonale ekvivalent til en ellipse, preget av å ha elliptiske og sirkulære spor i noen spesielle tilfeller. Sporene er kurvene oppnådd ved å krysse ellipsoiden med et plan.

Figur 1. Tre forskjellige ellipsoider: øverst en kule der de tre halvakslene er like, nederst til venstre en sfæroid, med to like halvakser og en annen, og til slutt nederst til høyre, en triaksial sfæroid, med tre forskjellige akser lengde. Kilde: Wikimedia Commons. Ag2gaeh / CC BY-SA (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0)

I tillegg til ellipsoiden er det fem kvadrier til: en-ark og to-arks hyperboloid, to typer paraboloid (hyperbolsk og elliptisk), og den elliptiske kjeglen. Sporene er også koniske.

Ellipsoiden kan også uttrykkes ved standardligningen i kartesiske koordinater. En ellipsoid sentrert ved opprinnelsen (0,0,0) og uttrykt på denne måten, ligner ellipsen, men med en tilleggsbetegnelse:

Verdiene til a, b og c er reelle tall større enn 0 og representerer de tre halvakslene til ellipsoiden.

Ellipsoide egenskaper

- Standard ligning

Standardligningen i kartesiske koordinater for ellipsen sentrert ved punktet (h, k, m) er:

- Parametriske ligninger av ellipsoiden

I sfæriske koordinater kan ellipsoiden beskrives som følger:

x = en synd θ. cos φ

y = b synd θ. sen φ

z = c cos θ

Halvakslene til ellipsoiden forblir a, b og c, mens parameterne er vinklene θ og φ i den følgende figuren:

Figur 2. Det sfæriske koordinatsystemet. Ellipsoiden kan parametriseres ved å bruke de viste vinklene theta og phi som parametere. Kilde: Wikimedia Commons. Andeggs / Public domain.

- Spor etter ellipsoiden

Den generelle ligningen for en overflate i rommet er F (x, y, z) = 0 og sporene til overflaten er kurvene:

- x = c; F (c, y, z) = 0

- y = c; F (x, c, z) = 0

- z = c; F (x, y, c) = 0

Når det gjelder en ellipsoid, er slike kurver ellipser og noen ganger sirkler.

- Volum

Volumet V av ellipsoiden er gitt med (4/3) π ganger produktet av dets tre halvakser:

V = (4/3) π. abc

Spesielle tilfeller av ellipsoiden

-En ellipsoid blir en sfære når alle halvakslene har samme størrelse: a = b = c ≠ 0. Dette gir mening, siden ellipsoiden er som en kule som har blitt strukket annerledes langs hver akser.

-Sfæroiden er en ellipsoid der to av halvakslene er identiske og den tredje er forskjellig, for eksempel kan det være a = b ≠ c.

Sfæroiden kalles også en ellipsoid av revolusjon, fordi den kan genereres ved å rotere ellipser rundt en akse.

Hvis rotasjonsaksen sammenfaller med hovedaksen, er sfæroiden langstrakt, men hvis den faller sammen med mindre akse, er den skrå:

Figur 3. Kulekuleformet på venstre side og kulekuleformet til høyre. Kilde: Wikimedia Commons.

Målet for utflating av sfæroid (elliptisitet) er gitt av forskjellen i lengde mellom de to halvakslene, uttrykt i brøkform, det vil si at det er enhetens utflating gitt av:

f = (a - b) / a

I denne ligningen representerer a den semi-hovedaksen og b den semi-minor aksen. Husk at den tredje aksen er lik en av disse for en sfæroid. Verdien av f er mellom 0 og 1 og for en sfæroid må den være større enn 0 (hvis den var lik 0, ville vi ganske enkelt ha en sfære).

Referansen ellipsoid

Planetene og stjernene generelt er vanligvis ikke perfekte kuler, fordi rotasjonsbevegelsen rundt aksene deres flater kroppen ved polene og buler den ved ekvator.

Det er grunnen til at Jorden viser seg å være som en lang sfæroid, selv om den ikke er så overdrevet som den i forrige figur, og for sin del er gassgiganten Saturn den flatest av planetene i solsystemet.

Så en mer realistisk måte å representere planetene på er å anta at de er som en sfæroid eller revolusjon ellipsoid, hvis semi-hovedakse er ekvatorialradius og halvminorakse polaradius.

Nøye målinger utført på kloden har gjort det mulig å bygge referansesellipsoiden til jorden som den mest presise måten å arbeide den matematisk på.

Stjernene har også rotasjonsbevegelser som gir dem mer eller mindre flate former. Den raske stjernen Achernar, den åttende lyseste stjernen på nattehimmelen, i den sørlige stjernebildet Eridanus er bemerkelsesverdig elliptisk sammenlignet med de fleste. Det er 144 lysår fra oss.

På det andre ytterpunktet fant forskere for noen år siden den mest sfæriske gjenstanden som noen gang er funnet: stjernen Kepler 11145123, 5000 lysår unna, dobbelt så stor som vår sol og en forskjell mellom halvakslene på bare 3 km. Som forventet snurrer det også saktere.

Når det gjelder jorden, er den ikke en perfekt sfæroid verken på grunn av den robuste overflaten og lokale tyngdekraftsvariasjoner. Av denne grunn er det mer enn ett referansesfæroid tilgjengelig, og på hvert sted velges den mest passende for den lokale geografien.

Hjelpen fra satellitter er uvurderlig når det gjelder å lage stadig mer nøyaktige modeller av jordas form, takket være dem er det for eksempel kjent at sørpolen er nærmere ekvator enn nordpolen.

Figur 4. Haumea, den trans-Neptuniske dvergplaneten har en ellipsoidal form. Kilde: Wikimedia Commons.

Numerisk eksempel

På grunn av jordens rotasjon genereres en sentrifugalkraft som gir den formen av en avlang ellipsoid, i stedet for en kule. Jordens ekvatorialradius er kjent for å være 3963 miles og polaradiusen er 3942 miles.

Finn likningen av ekvatorialspor, den for denne ellipsoiden og målet for utflating. Sammenlign også med elliptisiteten til Saturn, med dataene gitt nedenfor:

-Snurr ekvatorial radius: 60,268 km

-Polar radius av Saturn: 54,364 km

Løsning

Det kreves et koordinatsystem, som vi vil anta sentrert om opprinnelsen (sentrum av jorden). Vi vil anta den vertikale z-aksen og sporet som tilsvarer ekvator, ligger på xy-planet, tilsvarer z = 0-planet.

I ekvatorialplanet er halvakslene a og b like, derfor a = b = 3963 miles, mens c = 3942 miles. Dette er et spesielt tilfelle: en sfæroid sentrert ved punktet (0,0,0) som nevnt ovenfor.

Ekvatorialspor er en sirkel med radius R = 3963 miles, sentrert ved opprinnelsen. Det beregnes ved å lage z = 0 i standardligningen:

Og standardligningen for den terrestriske ellipsoiden er:

f _Jorden = (a - b) / a = (3963-3942) miles / 3963 miles = 0,0053

f _Saturn = (60268-54363) km / 60268 km = 0,0980

Merk at elliptisiteten f er en dimensjonsløs mengde.

referanser

1. ArcGIS for Desktop. Sfæroider og kuler. Gjenopprettet fra: desktop.arcgis.com.
2. BBC World. Mysteriet om det mest sfæriske objektet som noensinne er oppdaget i universet. Gjenopprettet fra: bbc.com.
3. Larson, R. Calculus and Analytical Geometry. Sjette utgave. Bind 2. McGraw Hill.
4. Wikipedia. Ellipsoiden. Gjenopprettet fra: en.wikipedia.org.
5. Wikipedia. Spheroid. Gjenopprettet fra: en.wikipedia.org.