IRRASJONELLE TALL: HISTORIE, EGENSKAPER, KLASSIFISERING, EKSEMPLER - MATTE - 2026

De irrasjonelle tallene er de hvis uttrykk har uendelige desimaltall uten gjentagende mønster, og derfor ikke kan oppnås fra forholdet mellom to heltall.

Blant de mest kjente irrasjonelle tallene er:

Figur 1. Fra topp til bunn følgende irrasjonelle tall: pi, Eulers antall, det gyldne forholdet og to firkantede røtter. Kilde: Pixabay.

Blant dem er uten tvil π (pi) den mest kjente, men det er mange flere. Alle av dem tilhører settet med reelle tall, som er det numeriske settet som grupperer rasjonelle og irrasjonelle tall.

Ellipsisen i figur 1 indikerer at desimalene fortsetter på ubestemt tid. Det som skjer er at plassen til vanlige kalkulatorer bare tillater at få få vises.

Hvis vi ser nøye på, når vi lager kvotienten mellom to hele tall, oppnår vi en desimal med begrensede tall, eller hvis ikke, med uendelige tall der en eller flere blir gjentatt. Vel, dette skjer ikke med irrasjonelle tall.

Historie om irrasjonelle tall

Den store eldgamle matematikeren Pythagoras, født 582 f.Kr. i Samos, Hellas, grunnla den Pythagoreiske tankeskolen og oppdaget det berømte teoremet som bærer hans navn. Vi har det her til venstre (babylonerne kan ha visst det lenge før).

Figur 2. Pythagorean teorem anvendt på en trekant med sider lik 1. Kilde: Pixabay / Wikimedia Commons.

Vel, da Pythagoras (eller sannsynligvis en disippel av ham) anvendte teoremet på en høyre trekant med sider lik 1, fant han det irrasjonelle tallet √2.

Han gjorde det på denne måten:

c = √1 ² + 1 ² = √1 + 1 = √2

Og han innså straks at dette nye tallet ikke kom fra kvotienten mellom to andre naturlige tall, som var de som var kjent på den tiden.

Han kalte det derfor irrasjonelt, og funnet forårsaket stor angst og forvirring blant pytagoreerne.

Egenskaper med irrasjonelle tall

-Den sett alle irrasjonale tall er merket med bokstaven jeg og noen ganger som Q * eller Q ^C . Sambandet mellom irrasjonelle tall I eller Q * og rasjonelle tall Q gir opphav til settet med reelle tall R.

-Med irrasjonelle tall kan de kjente aritmetiske operasjoner utføres: addisjon, subtraksjon, multiplikasjon, divisjon, empowerment og mer.

-Delingen med 0 er heller ikke definert mellom irrasjonelle tall.

-Summen og produktet mellom irrasjonelle tall er ikke nødvendigvis et annet irrasjonelt tall. For eksempel:

√2 x √8 = √16 = 4

Og 4 er ikke et irrasjonelt tall.

-Summen på et rasjonelt antall pluss et irrasjonelt antall gir imidlertid et irrasjonelt resultat. På denne måten:

1 + √2 = 2.41421356237 …

-Produktet av et rasjonelt antall som er forskjellig fra 0 med et irrasjonelt tall er også irrasjonelt. La oss se på dette eksemplet:

2 x √2 = 2.828427125…

-Inversjonen av et irrasjonelt resulterer i et annet irrasjonelt antall. La oss prøve noen:

1 / √2 = 0,707106781 …

1 / √3 = 0,577350269…

Disse tallene er interessante fordi de også er verdiene til noen trigonometriske forhold mellom kjente vinkler. De fleste av de trigonometriske forholdene er irrasjonelle tall, men det er unntak, for eksempel sin 30º = 0,5 = ½, noe som er rasjonelt.

-I summen blir de kommutative og assosiative egenskapene oppfylt. Hvis a og b er to irrasjonelle tall, betyr dette at:

a + b = b + a.

Og hvis c er et annet irrasjonelt tall, så:

(a + b) + c = a + (b + c).

-Den fordelende egenskapen til multiplikasjon med hensyn til tillegg er en annen kjent egenskap som også gjelder for irrasjonelle tall. I dette tilfellet:

a. (b + c) = ab + ac

-En irrasjonell a har det motsatte: -a. Når de legges sammen blir resultatet 0:

a + (- a) = 0

Mellom to forskjellige begrunnelser er det minst ett irrasjonelt tall.

Plassering av et irrasjonelt nummer på den virkelige linjen

Den virkelige linjen er en horisontal linje der de reelle tallene er lokalisert, hvor de irrasjonelle tallene er en viktig del.

For å finne et irrasjonelt tall på den virkelige linjen, i geometrisk form, kan vi bruke Pythagorean teorem, en linjal og et kompass.

Som eksempel skal vi finne √5 på den virkelige linjen, som vi tegner en høyre trekant med sidene x = 2 og y = 1, som vist på figuren:

Figur 3. Metode for å finne et irrasjonelt tall på den virkelige linjen. Kilde: F. Zapata.

Ved den pytagoreiske teorem er hypotenusen til en slik trekant:

c = √2 ² + 1 ² = √4 + 1 = √5

Nå er kompasset plassert med punktet 0, der en av hjørnene i den høyre trekanten også er. Poenget med kompassblyanten skal være i toppunkt A.

Det tegnes en omkretsbue som skjærer seg til den virkelige linjen. Siden avstanden mellom sentrum av omkretsen og ethvert punkt på den er radius, som er lik √5, er skjæringspunktet også langt √5 fra sentrum.

Fra grafen kan man se at √5 er mellom 2 og 2,5. En kalkulator gir oss den omtrentlige verdien av:

√5 = 2.236068

Og slik at ved å bygge en trekant med passende sider, kan andre irrasjonelle befinner seg, for eksempel √7 og andre.

Klassifisering av irrasjonelle tall

Irrasjonelle tall er klassifisert i to grupper:

-Algebraic

-Transcendental eller transcendental

Algebraiske tall

Algebraiske tall, som kanskje eller ikke er irrasjonelle, er løsninger av polynomligninger som har generell form:

a _n x ⁿ + a _n-1 x ^n-1 + a _n-2 x ^n-2 +…. + a ₁ x + a _o = 0

Et eksempel på en polynomligning er en kvadratisk ligning som denne:

x ³ - 2x = 0

Det er lett å vise at det irrasjonelle tallet √2 er en av løsningene i denne ligningen.

Transcendente tall

På den annen side oppstår aldri de transcendente tallene, selv om de er irrasjonelle, som en løsning på en polynomligning.

De transcendente tallene som finnes hyppigst i anvendt matematikk er π på grunn av dets forhold til omkretsen og tallet e, eller Eulers antall, som er basen til naturlige logaritmer.

Trening

En grå firkant er plassert på en svart firkant i stillingen angitt på figuren. Området til den svarte firkanten er kjent for å være 64 cm ² . Hvor mye er lengdene på begge rutene?

Figur 4. To firkanter, hvorav vi ønsker å finne lengden på sidene. Kilde: F. Zapata.

Svare

Arealet til et torg med side L er:

A = L ²

Siden den svarte firkanten er 64 cm ² i området, må siden være 8 cm.

Denne målingen er den samme som diagonalen på den grå firkanten. Bruke Pythagorean teorem på denne diagonalen, og huske at sidene på et kvadrat måler det samme, vil vi ha:

8 ² = L _g ² + L _g ²

Hvor L _g er siden av den grå firkanten.

Derfor: 2L _g ² = 8 ²

Å bruke kvadratrot på begge sider av likestillingen:

L _g = (8 / √2) cm

referanser

1. Carena, M. 2019. Pre-University Mathematics Manual. National University of the Litoral.
2. Figuera, J. 2000. Matematikk 9.. Grad. CO-BO-utgaver.
3. Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Hall.
4. Pedagogisk portal. Irrasjonelle tall og deres egenskaper. Gjenopprettet fra: portaleducativo.net.
5. Wikipedia. Irrasjonelle tall. Gjenopprettet fra: es.wikipedia.org.